主成分分析模型(2)(完整版)
【正文】 成分的貢獻(xiàn)率為 ，由于， 所以 。不難想像這些主成分之間不僅不相關(guān)，而且它們的方差依次遞減。因?yàn)橹鞒煞址治鲈趯υ笜?biāo)變量進(jìn)行變換后形成了彼此相互獨(dú)立的主成分，而且實(shí)踐證明指標(biāo)間相關(guān)程度越高，主成分分析效果越好。第二，可減少指標(biāo)選擇的工作量，對于其它評價(jià)方法，由于難以消除評價(jià)指標(biāo)間的相關(guān)影響，所以選擇指標(biāo)時(shí)要花費(fèi)不少精力，而主成分分析由于可以消除這種相關(guān)影響，所以在指標(biāo)選擇上相對容易些。因此，在實(shí)際工作中，就挑選前幾個(gè)最大的主成分 (一般取信息量包含 85%以上的前幾個(gè)指標(biāo)），雖然這樣做會(huì)損失一部分信息，但是由于它使我們抓住了主要矛盾，并從原始數(shù)據(jù)中進(jìn)一步提取了某些新的信息，因而在某些實(shí)際問題的研究中得益比損失大，這種既減少了變量的數(shù)目又抓住了主要矛盾的做法有利于問題的分析和處理。 因此第一主成分的貢獻(xiàn)率就是第一主成分的方差在全部方差 中的比值。 XXR ?? XXn ?1XX? XXn ?1主成分分析的步驟 （ 1）將原始數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化（目的是消除不同量綱、正逆指標(biāo)的影響） 設(shè)原始數(shù)據(jù)矩陣為 ???????????????xxxxxxxxxnpnnppX???????212222111211按下式進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化（其中 Y為標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)） )( y ijY ? ?jjijijxxy ?? ??? ni ijj xx n 11 ? ???? nij xx jijn 12)(11?（ 2）計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣 R YYR ??（ 3）求相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根及對應(yīng)的特征向量 p??? ??? ?21?????????????????????????????????????????????pppppppaaaaaaaaa????21222122121111, ???（ 4）寫出主成分 ppiiii YaYaYaF ???? ?2211 ki ,1 ??（ 5）將 k個(gè)主成分進(jìn)行綜合，綜合成單個(gè)指標(biāo)，并得出最后排序結(jié)果 主成分進(jìn)行綜合常用的有以下三種方法。 然后，對標(biāo)準(zhǔn)化又加權(quán)后的數(shù)據(jù)陣 計(jì)算協(xié)方差矩陣 ，求 的最大特征值 和特征向量 ， 令 ，最后按 進(jìn)行排序比較或分類劃級。因子分析的任務(wù)，首先是估計(jì)出 {aij}和方差 ，然后將這些抽象因子 {Fi}賦予實(shí)際背景的解釋或說法以命名。主成分分析的數(shù)學(xué)模型實(shí)質(zhì)上是一種變換，而因子分析模型是描述原指標(biāo) X協(xié)方差陣 Σ結(jié)構(gòu)的一種模型，當(dāng) m=p時(shí)，就不能考慮 ε，此時(shí)因子分析也對應(yīng)一種變量變換，但實(shí)際應(yīng)用中，m都小于 p，且為經(jīng)濟(jì)起見總是越小越好。 2ih2ih 02 ?ih2i?（ 3）公共因子 Fj的方差貢獻(xiàn)的統(tǒng)計(jì)意義 將因子載荷矩陣中各列元素的平方和記為 pjaSpiijj ,112 ??? ??稱 Sj為公共因子 Fj對 X的貢獻(xiàn)，即 Sj表示同一公共因子 Fj對諸變量所提供的方差貢獻(xiàn)之和，它是衡量公共因子相對重要性指標(biāo)。旋轉(zhuǎn)的方法有多種，如正交旋轉(zhuǎn)、斜交旋轉(zhuǎn)等，這里僅介紹常用的最大方差正交旋轉(zhuǎn)。用它來計(jì)算每個(gè)樣品的公共因子得分。對 A的估計(jì)方法有很多，這里僅介紹使用較為普遍的主成分法。從因子分析的數(shù)學(xué)模型上看，它與多變量回歸也有類似之處，但本質(zhì)的區(qū)別是因子分析模型作為“自變量”的 F是不可觀測的。 2i?基本思想 因子分析的基本思想是通過變量的相關(guān)系數(shù)矩陣內(nèi)部結(jié)構(gòu)的研究，找出能控制所有變量的少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量去描述多個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，但在這里，這少數(shù)幾個(gè)隨機(jī)變量是不可觀測的，通常稱為因子。它也是將具有錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系的變量（或樣品）綜合為數(shù)量較少的幾個(gè)因子，以再現(xiàn)原始變量與因子之間的相互關(guān)系，同時(shí)根據(jù)不同因子還可以對變量進(jìn)行分類，它也是屬于多元分析中處理降維的一種統(tǒng)計(jì)方法。 第一種方法 ， 將累計(jì)貢獻(xiàn)率達(dá)到 85%的 k個(gè)主成分F1， F2， …
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