主成分分析模型(2)(存儲(chǔ)版)
【正文】 共因子上的負(fù)荷，它反映了第 i個(gè)變量在第 j個(gè)公共因子上的相對(duì)重要性。 數(shù)學(xué)模型（正交因子模型） ??????????????????????pmpmpppmmmmFaFaFaXFaFaFaXFaFaFaX??????2211222221212112121111用矩陣表示為： X=AF+ε 且滿足 1)m≤p 2)Cov(F,ε)=0 即 F和 ε是不相關(guān)的 3) mIFD ??????????????100010001)(????即 F1， … ， Fm不相關(guān)且方差皆為 1 ???????????????22221)(pD????即 ε1， … ， εp不相關(guān)，且方差不同 其中 是可實(shí)測(cè)的 p個(gè)指標(biāo)所構(gòu)成 p維隨機(jī)向量， 是不可觀測(cè)的向量。而后者有著極為明確的實(shí)際意義，如人口密度、工業(yè)總產(chǎn)值、產(chǎn)量等。理由是，第一主成分與原始變量 X1，X2， … ， Xp綜合相關(guān)度最強(qiáng)，如果想以一個(gè)綜合變量來代替原來所有變量，則最佳選擇應(yīng)該是 F1；另一方面由于第一主成分 F1對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)變異最大的方向也就是使數(shù)據(jù)信息損失最小，精度最高的一維綜合變量。 ??pii11??11 )( ??FV a r ????? piipii FV a rFV a r1111)()(????pi i1???? pi i121 ????? ?? pi iki i 11 ??值得指出的是：當(dāng)協(xié)方差陣 ∑未知時(shí)，可用其估計(jì)值 S（樣本協(xié)方差陣）來代替。 pjiji ,2,1, ???),( 2 piiii aaa ?依此類推，使 Var(Fp)達(dá)到最大，這個(gè)最大值是在∑的第 p個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)特征向量處達(dá)到。因此在所有的線性組合中所選取的 F1應(yīng)該是方差最大的，故稱 F1為第一主成分。 第二講 主成分分析模型與因子分析模型 主成分概念首先是由 Karl Parson 在 1901年引進(jìn)的 ,不過當(dāng)時(shí)只對(duì)非隨機(jī)變量來討論的 . 1933年 Hotelling將這個(gè)概念推廣到隨機(jī)向量 . 在實(shí)際問題中 ,研究多指標(biāo) (變量 )問題是經(jīng)常遇到的 ,然而在多數(shù)情況下 ,不同指標(biāo)之間是有一定相關(guān)性 .由于指標(biāo)較多再加上指標(biāo)之間有一定的相關(guān)性 ,勢(shì)必增加了分析問題的復(fù)雜性 .主成分分析就是設(shè)法將原來指標(biāo)重新組合成一組新的互相無關(guān)的幾個(gè)綜合指標(biāo)來代替原來指標(biāo) ,同時(shí)根據(jù)實(shí)際需要從中可取幾個(gè)較少的綜合指標(biāo)盡可能多地反映原來指標(biāo)的信息 . 一、主成分分析模型 這種將多個(gè)指標(biāo)化為少數(shù)互相無關(guān)的綜合指標(biāo)的統(tǒng)計(jì)方法就叫主成分分析或稱為主分量分析 .也是數(shù)學(xué)上處理降維的一種方法 .例如 ,某人要做一件上衣要測(cè)量很多尺寸 ,如身長(zhǎng)、袖長(zhǎng)、胸圍、腰圍、肩寬、肩厚等等十幾個(gè)指標(biāo)，但某服裝廠要生產(chǎn)一批新型服裝絕不可能把尺寸的型號(hào)分得過多，而是從多種指標(biāo)中綜合成幾個(gè)少數(shù)的綜合指標(biāo)，做為分類的型號(hào)，利用主成分分析將十幾項(xiàng)指標(biāo)綜合成 3項(xiàng)指標(biāo)，一項(xiàng)是反映長(zhǎng)度的指標(biāo)，一項(xiàng)是反映胖瘦的指標(biāo)，一項(xiàng)是反映特體的指標(biāo)。通常數(shù)學(xué)上的處理就是將原來 p個(gè)指標(biāo)作線性組合，作為新的綜合指標(biāo)，但是這種線性組合，如果不加限制，則可以有很多，我們應(yīng)該如何去選取呢？如果將選取的第一個(gè)線性組合即第一個(gè)綜合指標(biāo)記為 F1，自然希望F1盡可能多的反映原來指標(biāo)的信息，這里的“信息”用什么來表達(dá)？最經(jīng)典的方法就是用 F1的方差來表達(dá)，即 Var(F1)越大，表示 F1包含的信息越多。也就是說，數(shù)學(xué)上可以證明使 Var(F1)達(dá)到最大，這個(gè)最大值是在 ∑的第一個(gè)特征值所對(duì)應(yīng)特征向量處達(dá)到。 如果前 k個(gè)主成分的貢獻(xiàn)率達(dá)到 85%，表明取前 k個(gè)主成分包含了全部測(cè)量指標(biāo)所具有的信息，這樣既減少了變量的個(gè)數(shù)又便于對(duì)實(shí)際問題的分析和研究。 ?iFFF kkv ??? ???? ?2211 第二種方法，只用第一個(gè)主成分作評(píng)估指數(shù)，即 v= F1。 例如，某公司對(duì) 100名招聘人員的知識(shí)和能力進(jìn)行測(cè)試，出了 50道題的試卷，其內(nèi)容包括的面較廣，但總的來講可歸納為六個(gè)方面：語言表達(dá)能力、邏輯思維能力、判斷事物的敏捷和果斷程度、思想修養(yǎng)、興趣愛好、生活常識(shí)等，我們將每一方面稱為
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