近世代數(shù)練習(xí)題解答(完整版)
【正文】 ? ＋ ( 3cd? )＝ (a＋ c)＋ (b＋ d ) 3 ∈ A ， ( 3)ab? ( 3)cd? ＝ (ac＋ 3bd)＋ (ad＋ bc) 3 ∈ A . (2) A 中零元 0＝ 0＋ 0 3 與單位元 1＝ 1＋ 0 3 存在。 (3) A 中的任意元素 3ab? 的負(fù)元 (－ a)＋ (－ b) 3 也在 A 中；若 3ab?≠ 0， 3ab? ∈ A ，則 ? ? 12 2 2 233abab a b a b? ?? ? ???∈ A . 綜上所述， A 關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成一個(gè)域 . 第 3 頁(yè) 共 3 頁(yè) 七、找出模 15的剩余類加群的所有子群 . 解 因模 15的剩余類加群 15 的子群的階是 15的因子，故子群的階只能是 5和 15，而模 15的剩余類加群 15 是循環(huán)群，因此所有子群至多只有 4個(gè)，但 10 顯然 有下列 4 個(gè)子群 ??[0] 、 ? ?[0],[5],[10] 、 ? ?[0] ,[3],[6] ,[9] ,[12]、 15 .于是模 15的剩余類加群的所有子群是 ??[0] 、 ? ?[0],[5],[10] 、 ? ?[0] ,[3],[6] ,[9] ,[12]、 15 . 八、設(shè) R 是一個(gè)環(huán)，且 R 到 R 之間有一個(gè)一一映射，證明：可以在 R 上定義一個(gè)加法和一個(gè)乘法，使得 R 關(guān)于這個(gè)加法和這個(gè)乘法也作成一個(gè)環(huán) . 證 設(shè) :f R R? 為一一映射， 若 1,r r R? ，則存在惟一的 1,r r R? ，使 得 11( ), ( )r f r r f r?
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