近世代數(shù)練習(xí)題解答(留存版)
【正文】 環(huán)群，因此所有子群至多只有 4個(gè)，但 10 顯然有 下列 4 個(gè)子群 ??[0] 、 ? ?[0],[5] 、 ? ?[0] ,[2] ,[4] ,[6] ,[8]、 10 .于是模 10的剩余類加群的所有子群是 ??[0] 、 ? ?[0],[5] 、 ? ?[0] ,[2] ,[4] ,[6] ,[8]、 10 . 三、設(shè) G 是一個(gè)群， H 是 G 的一個(gè)非空子集，證明 H 是 G 的子群的充要條件是 1,a b H ab H?? ? ? 證 先證充分性 1． 有單位元 設(shè) aH? ，則 1e aa H???， 且因 G 是一個(gè)群，故 aG?? ，有ae ea a??，而 HG? ，因此 aH?? ，有 ae ea a??. 2． 有逆元 設(shè) aH? ，則因 1e aa H???，故 11a ea H????，且因 G 是一第 2 頁(yè) 共 3 頁(yè) 個(gè)群，故 aG?? ，有 11aa a a e????，而 HG? ，因此 aH?? ，有11aa a a e????. 3． 乘法封閉 設(shè) ,ab H? ，則 1,a b H? ? ，從而 11()ab a b H????， 4． 因結(jié)合律在 G 中成立，而 HG? ，故結(jié)合律在 H 中也成立 . 再證 必要 性 設(shè) ,ab H? ，則 因 H 中有逆元，故 1bH? ? ，又 因 H 中乘法封閉，故 1ab H? ? . 四、設(shè)群 G 與 G 同態(tài)， G 是循環(huán)群，證明 G 也是循環(huán)群 . 證 設(shè)群 G 與
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