近世代數(shù)練習(xí)題解答(已修改)
2025-09-15 17:42 本頁面
【正文】 第 1 頁 共 3 頁 近世代數(shù)練習(xí)題解答 一、驗(yàn)證集合 ? ?7 | ,A a b a b?? 是 整 數(shù)關(guān)于普通加法和乘法是一個(gè)整環(huán) .是域嗎？ 證 因 ? ?7 | ,A a b a b?? 是 整 數(shù)是實(shí)數(shù)集的子集， 故? ?7 | ,A a b a b?? 是 整 數(shù)關(guān)于數(shù)的普通加法和乘法滿足：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法對(duì)于加法的分配律 .故只需證明： 1） .A 中的零元 0＝ 0＋ 0 7 存在； 2） . A 中的任意元素 a＋ b 7 的負(fù)元 (－ a)＋ (－ b) 7 也在 A 中； 3） . A 關(guān)于普通乘法是封閉的；事實(shí)上， ( 7 ) ( 7 ) ( 7 ) ( ) 7a b c d a c b d a d b c? ? ? ? ? ? 4） .A 中的單位元 1＝ 1＋ 0 7 存在 5） .A 沒有零因子，事實(shí)上，設(shè) ( 7 ) ( 7 ) 0a b c d? ? ?， 則因?qū)崝?shù)沒有零因子，故 70ab??或 70cd?? 綜上所述， A 關(guān)于數(shù)的加法和乘法作成一個(gè)整環(huán) . 因?yàn)樵趯?shí)數(shù)域中， ? ? 1 111 7 766?? ? ? ?，故在 ? ?7 | ,A a b a b?? 是 整 數(shù)中 17? 不存在逆元 .從而 ? ?7 | ,A a b a b?? 是 整 數(shù)關(guān)于普通加法和乘不是域 .. 二、找出模 10的剩余類加群的所有子群 . 解 因模 10的剩余類加群 10 的子群的階是 10的因子，故子群的階只能是 5和 10，而模 10的剩余類加群 10
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