近世代數(shù)練習(xí)題解答(文件)
【正文】 G 同態(tài)，則存在滿同態(tài) :f G G? ，任取 bG? ，因:f G G? 是滿射，故存在 bG? ，使 ()b f b? ，因 G 是循環(huán)群，故 ()Ga? ，因此 存在 n? ，使 nba? ，記 ()a f a? ，則 ( ) ( )nnb f b f a a? ? ?，這表明()Ga? ，即 G 也是循環(huán)群 . 五、設(shè) R 是整數(shù)環(huán)，證明： (6,8) (2)? ，其中 (6,8) 是由 6和 8生成的理想，（ 2）是由 2生成的主理想 . [分析 ] 由于整數(shù)環(huán)是一個有單位元的交換環(huán)，則由兩個整數(shù) 6和 8生成的理想為 (6， 8)＝ (6)＋ (8)＝ {6k | k∈ }＋ {8l | l∈ }＝ {6k＋ 8l | k， l∈ }. 證 對于任意整數(shù) a， 取 k＝－ a， l＝ a，則 2a＝－ 6a＋ 8a=6k＋ 8l∈ (6， 8). 因此 (6,8) (2)? .另一方面，由 (6) (2)? ， (8) (2)? 知 (6,8) (2)? 綜上 可得 ， (6,8) (2)? . 六、驗證集合 ? ?3 | ,A a b a b?? 是 有 理 數(shù)關(guān)于普通加法和乘法作成一個域 . 證 因 ? ?3 | ,A a b a b?? 是 有 理 數(shù)是實數(shù)集的子集， 故 ? ?3 | ,A a b a b?? 是 有 理 數(shù)關(guān)于數(shù)的普通加法和乘法滿足：加法交換律、加法結(jié)合律、 乘法交換律、乘法對于加法的分配律，故只需證明： (1) A 關(guān)于數(shù)的加法運算與乘法運算封閉 . 3ab?? ， 3cd? ∈ A ，有 ( 3ab
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