【正文】 的隱含數(shù)是確定或 xyyxFyxFyxF ),(),(0),( 21 ?? 例 1 求由方程 12 ??? xye yx 確定的隱含數(shù)的導(dǎo)數(shù)).0,0(y? 解 方程兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)，得 yxyye yx ??????? )21(2 解得，xe eyy yx yx ???? ? ?2 22， 所以 2121)0,0( ?????y. 例２ 求曲線 .1164 22 ）處的切線方程，在點(diǎn)（ ???? yxyx 解 因?yàn)?64 22 ??? yxyx , 所以 ,兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)得 02)(8 ?????? yyyxyx ,則 yx yxy 28????. 因此在 (1,1)處切線的斜率為 3)1,1( ??? ?yk, 從而 ,所求切線方程為 )1(31 ??? xy ,即 .043 ??? yx 例３ 設(shè) .,21)13( 35 yxxxy ????? 求 解 等式兩邊分別取絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù) ,有 2211ln2113ln35ln ?????? xxxy , 兩邊分別對(duì) x求導(dǎo) ,得 ,2121112113 335 ?????????? xxxyy 所以 , ].)2(2 1)1(2 113 5[21)13( 35 ?????????? xxxxxxy 注 :上述解法求導(dǎo)時(shí)可省略取絕對(duì)值 . 例４ 設(shè) .),0(2c o s yxxy x ??? 求 解 等式兩邊分別取對(duì)數(shù) ,得 ,ln)2(cosln xxy ? 兩邊分別對(duì) x求導(dǎo) ,得x xxxyy 2c o sln)2( s in2 ???? 所以 , )ln2s in22c o s(2c o s xxx xxy x ??? . 2. 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 二 、 參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 求導(dǎo)法則 設(shè)由參數(shù)方程 ),()),(().( ),( xfytty tx ????? ?? 確定的函數(shù)為????其中函數(shù) )(),( tt ?? 可導(dǎo)且0)( ??t? , 可導(dǎo)且則函數(shù) )( xfy ? )).,(()( )( ???? ???? tttdxdy 例 5 求擺線 .2().c os1( ),s i n( 時(shí)的切線方程為常數(shù)）在 ????? ?? ?? tatay ttax 解 擺線上 ））（的點(diǎn)為（ aat ,222 ?? ?? ,又 2cotcos1 sin tttdxdy ??? 所以 ,所求切線斜率 14cot ?? ?k ,從而所求切線方程為 2 )2( axay ???? ? , 即 02 )4( ???? ayx ? . 導(dǎo)法 二、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法 由幾個(gè)初等函數(shù)能過乘、除、乘方、開方所構(gòu)成的比較復(fù)雜的函數(shù)，冪指函數(shù)()[ ( )]vxy u x? 的求導(dǎo)，在 ()[ ( )]vxy u x? )(xfy? 的兩邊先取對(duì)數(shù)，然后利用隱函數(shù)求導(dǎo)法求導(dǎo)，可簡化求導(dǎo)運(yùn)算． 例 已知 39。39。y . 解 令 uy ln? ， 2vu? ， wv sin? ， xw 1? ，由復(fù)合 函數(shù)求導(dǎo)法則有 xwvuxwvu xwvuwvuyy )39。1 1)(arc tan239。s ectan)(s ec 39。cos)(sin 39。ln)( 39。39。 ????????? vv uvvuvu 推論 39。39。 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例培養(yǎng)學(xué)生勤奮鉆研，求是嚴(yán)謹(jǐn)，積極學(xué)習(xí)的精神。本節(jié)將運(yùn)用極限概念對(duì)它加以描述和研究， 案例 1某日氣溫變化 案例 2小孩個(gè)子的長高 2 函數(shù)在 一 點(diǎn)連 續(xù) 的概念 定義１ 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量0xxx ??? 趨于零時(shí)，對(duì) 應(yīng)的函數(shù)增量也趨于零，即 ? ? 0)()(limlim0000 ?????? ???? xfxxfy xx， 則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，或稱 0x 是 )(xf 的一個(gè)連續(xù)點(diǎn)． 定義２ 若 )()(lim00 xfxfxx ??，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)． ② 左右連 續(xù)的概念 若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處左連續(xù)；若 )()(lim00 xfxfxx ???，則稱函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處右連續(xù)． ⑵ 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)的充分必要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處既左連續(xù)又右連續(xù)． 由此可知，函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件： ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義， ② )(lim0 xfxx?存在， ③ 這個(gè)極限等于函數(shù)值 )(0xf ． ⑶ 函數(shù)在 區(qū)間上連續(xù)的概念 在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)，稱為在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連 續(xù)，該區(qū)間也稱為函數(shù)的連續(xù)區(qū)間．如果連續(xù)區(qū)間包括端點(diǎn)，那么函數(shù)在右端點(diǎn)連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點(diǎn)連續(xù)是指右連續(xù)． 說明： （ 1） 點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義本質(zhì)相同，只是敘述的角度不同。 要極限 2 第二個(gè)重要極限： ex xx ???? )11(lim 即 ??5 9 0 4 57 1 8 2 8 1 8 2 8 )11(lim ????? en nx 注意： 1：我們可證明： enx nnxx ???? ???? )11(lim)1(lim 1 ， 2：指數(shù)函數(shù) xey? 及自然對(duì)數(shù) xy ln? 中的底就是這個(gè)常數(shù) e 。如果銀行允許儲(chǔ)戶在一年內(nèi)可任意次結(jié)算，在不計(jì)利息稅的情況下，若儲(chǔ)戶等間隔的地結(jié)算 n次，每次結(jié)算后將 本息全部存入銀行，問 1) 隨著結(jié)算次數(shù)的增多，一年后該儲(chǔ)戶的本息和是否也在增多？ 2) 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢是否會(huì)無限變大？ 案例 分析 若該儲(chǔ)戶每月結(jié)算一次，則每月利率為： 故第一個(gè)月后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： )(1000 ? 。 【例 8】若 3)1s in(lim 221 ????? xbaxxx，求 a,b的值。 【例 4】 3300 9070397lim53530 ?????????? ??? xxxxx（因?yàn)?03005 ??? ）。 推論 2： nn xfxf )]([lim)](lim [ ? （ n 為正整數(shù)）。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 課本習(xí)題、教學(xué)案例 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 3 課 題 極限（一） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：了 解函數(shù)極限的描述性定義 能力目標(biāo) ：具有用極限思想分析問題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn) 、函數(shù)的極限概念和性質(zhì)； ； 難點(diǎn) 熟練練判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處極限是否存在 . 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)求分段函數(shù)在分界點(diǎn)的極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 案例 1氣溫與時(shí)間 案例 2郵件付費(fèi) 從學(xué)生實(shí)際生活中遇到的問題入手，引導(dǎo)學(xué)生分析問題引入概念，這樣能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 （奇偶性、周期性、單調(diào)性和有界性）的定義及其幾何特 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 課本習(xí)題、 教學(xué)案例 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 2 課 題 函數(shù) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：理解復(fù)合函數(shù)、初等函數(shù)的概念、掌握初等函數(shù)的定義 。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 入 任務(wù)一：某商場推出某種電子產(chǎn)品時(shí)，在短期內(nèi)銷量會(huì)迅速增加，然后下降，其函數(shù)關(guān)系為 4003002 ?? t ty，請(qǐng)你對(duì)該產(chǎn)品的長期銷售作出預(yù)測(cè) 分析： 00104001300lim400300limlim22 ??????? ?????????ttttyttt 所以購買次電子產(chǎn)品的人將越來越少，轉(zhuǎn)而買新的電子產(chǎn)品 限的運(yùn)算法則 極限四則運(yùn)算法則 由極限定義來求極限是 不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來求極限。 分析：定理和推論只要求掌握它的意義和運(yùn)用，對(duì)證明不作要求 任務(wù)二：求下列例題中的極限 【例 1】 baxbxabaxbaxxxxxxxxx ??????? ???? 00000 limlimlim)(lim。 解：當(dāng) 1?x 時(shí)，分子、分母均趨于 0，因?yàn)?1?x ，約去公因子 )1( ?x ， 所以 5332 2lim32 2lim1221 ?????? ???? xxxx xxxx。 5，先變形： mmnnmnxmmmnnnxxbxbbxaxaaxbxbxb axaxa??????????? ??? ??????? ????????1010110110 l i ml i m ?????????????????????????????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)mnbamnbamnba00000000000001000000???????????? 【例 10】求 )21(lim222 nnnnn ????? ??。 說明： （ 1）此極限中的 x 一定要用弧度作單位。 通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以知道，只要年利率一定，不管銀行采取多么小時(shí)間間隔的付息方式，都不會(huì)導(dǎo)致付息的無限增多的結(jié)果 任務(wù) 2：求下列極限 【例 1】 22222 ])211(l i m[])211[(l i m)21(l i m exxxxxxxxx ?????? ?????? 【例 2】 ezx zzxzxx ???? ???? )1(lim)1(lim110 【例 3】eexxxxx xxxxxxx 11)11(lim])11(lim[)11(])11[(lim)11(lim 1111 ????????????? ??????????????【例 4】 eennnnn nxnxnx111)2111()2111(lim)12 21(lim)12 12(lim 212121 ?????????????? ????????? 習(xí) 1. 求 下 列 極 限 ： （ 強(qiáng) 調(diào) 函 數(shù) 的 恒 等 變 換 及 變 量 替 換 ） （ 1） 0tanlimxxx?； （ 2） 20 cos1lim x xx ??； （ 3） xxx 35sinlim0?； （ 4） x xxxsin3sinlim0??。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 1案例分析導(dǎo)入課題 前面我們了解了函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的情況 ,通過例 題看到了優(yōu)勢(shì)函數(shù)在某處是不連續(xù)的情況 ,如練習(xí)題 .此時(shí)我們稱函數(shù)為間斷 . 復(fù)習(xí)內(nèi)容 如 : 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x