【正文】 導(dǎo)入 任務(wù) 。 例 1 討論函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處的連續(xù)性． 解 ? ? 62lim)(lim 222 ??? ?? xxf xx，而 6)2( ?f ，即 )2()(lim2 fxfx ??．因此，函數(shù) 2)( 2 ?? xxf 在 2?x 處連續(xù)． 例 2. 討論函數(shù)?????????.2,s in,2,c o s1)( ??xxxxxf 在點(diǎn) 2??x 的連續(xù)性． 解 這是一個(gè)分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性問題．由于 )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右兩側(cè)表達(dá)式不同，所以先討論函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 2??x 的左、右連續(xù)性． 因?yàn)? ? ? ???????????? ???? 212co s1co s1l i m)(l i m22???? fxxf xx， ?????????? ???? 212s i ns i nl im)(l im22???? fxxf xx， 所以 )(xf 在點(diǎn) 2??x 左、右連續(xù)，因此 )(xf 在點(diǎn) 2??x 連續(xù)． 例 ： ? ? 11lim)(lim00 ???? ?? ?? xxf xx， 0lim)(lim 300 ?? ?? ?? xxf xx． 雖然當(dāng) 0?x 時(shí)的左、右極限都存在，但當(dāng) 0?x 時(shí)，函數(shù) )(xf 并不趨近于某一個(gè)確定的常數(shù)，因而當(dāng) 0?x 時(shí) )(xf 的極限不存在，故函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0?x不連續(xù)． 討論函數(shù)??? ???? .0, ,0,1)( 3 xx xxxf在點(diǎn) 0?x 的連續(xù)性． 解 作出它的圖象（如下圖所示）， y 1 O 1 x 1 2 小結(jié) 、區(qū)間連續(xù)性定義及判定條件； 習(xí)題 2： 10 （ 1） （ 2） 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 7 課 題 函數(shù)的連續(xù)性 間斷點(diǎn) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué) 時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念，會(huì)判斷間斷點(diǎn)的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性 能力目標(biāo) ：能用連續(xù)的定義描述專業(yè)現(xiàn)象的特征 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型 任務(wù)二：會(huì)利用函數(shù)的連續(xù)性求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。 任務(wù) 1的解決： = n n n ) 05 . 0 1 ( 1000 lim ? ? ? 結(jié)論： 計(jì)算結(jié)果說明隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，一年后該儲(chǔ)戶在銀行的存錢不會(huì)無限變大，該儲(chǔ)戶一年本息和最多不超過 1052美元。 第二天后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 2)(1000 ? ， ?? 則一年后 儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 365)(1000 ? 一般地，若該儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，則有一年后本息共計(jì)： nn )(1000 ? 于是，可以得到如果儲(chǔ)戶等間隔地結(jié)算 n次，一年后本息共計(jì)的一個(gè)函數(shù)： nnns )(1000)( ?? 隨著結(jié)算次數(shù)的無限增加，有 ??n ,故一年后本息共計(jì)： nn n )(1000lim ??? 怎樣計(jì)算上述極限？引入課題 . 0sinlimxxx? ?？， 1lim (1 )xx x?? ??？ 要極限 1 1. 第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx 下面將證明第一個(gè)重要極限： 1sinlim0 ?? x xx。 證明：當(dāng) ??x 時(shí)，分子、分母極限均不存在，故不能用167。 【例 5】求 32 2lim221 ????? xxxxx。 注：以上定理對(duì)數(shù)列亦成立。 鞏固知識(shí)，明確要求，整理知識(shí)結(jié)構(gòu)與思想方法，培養(yǎng)學(xué)生 的組織能力，形成完整的知識(shí)體系 . 8作業(yè) 課本習(xí)題 結(jié)合本專業(yè)特點(diǎn)，達(dá)到理解概念，培養(yǎng)能力，發(fā)展學(xué)生面對(duì)實(shí)際問題，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，解決問題的應(yīng)用意識(shí) . 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 4 課 題 極限（二） 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握極限的四則運(yùn)算法則 能力目標(biāo) ：具有用極限思想分析問題的意識(shí)，感知極限與生活的緊密聯(lián)系 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想融入實(shí)際生活中 任務(wù)描述 任務(wù)一： 對(duì)某種電子產(chǎn)品的銷售作出預(yù)測(cè) 任務(wù)二：運(yùn)用極限的四則運(yùn)算法則求極限 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。這常量取決于預(yù)定的排水量 .設(shè)截面的周長(zhǎng)為 s ，底寬為 x ，試建立 s 與 x 的函數(shù)模型 . 結(jié) 主要知識(shí)點(diǎn)： 1. 學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的意義、方法、內(nèi)容 、要求 、分段函數(shù)、基本初等函數(shù)、復(fù)合函數(shù)和初等函數(shù)的定義，函數(shù)的表示法，基本初等函數(shù)的圖形，初等函數(shù)的函數(shù)值、定義域、值域的確定，復(fù)合函數(shù)的分解。 3理解函數(shù)的概念 2. 函數(shù)的兩要素 3． 函數(shù)的記號(hào) 4． 函數(shù)的三種表示方法 , （ 1）圖像法 （ 2）表格法 （ 3）公式法 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力， 4函數(shù)的性質(zhì) 函數(shù)的有界性、周期性、單調(diào)性、奇偶性 對(duì)于這部分知識(shí)只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 .這也體現(xiàn)了高職數(shù)學(xué)必須遵循的“以應(yīng)用為目的，以必需、夠用”為度的原則 5練習(xí)鞏固 ， 每臺(tái)售價(jià)為 300元，當(dāng)年產(chǎn)量超過 600臺(tái)時(shí)， 鞏固知識(shí) ,形成技能 ,反饋矯正 . 超過部分只能打 8 折出售，這樣可出售200 臺(tái)，如果再多生產(chǎn)，則本年就銷售不出去了，試寫出本年的收益函數(shù)模型 . 2. 一下水道的截面是矩形加半圓形 (如圖 )，截面積為 A ， A 是一常量。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 設(shè)計(jì)意圖 1數(shù)列極限 1 引例：公元前 3 世紀(jì)，道家代表莊子《天下篇》：一尺之棰，日取其半，萬世不竭． 由我國(guó)古代數(shù)學(xué)案例引入概念 , 培養(yǎng)學(xué)生的 的學(xué)習(xí)興趣 和民族自豪感 2函數(shù)的極限 1. 0xx? 時(shí)函數(shù) ()fx的極限 2. 0xx?? ( 0xx?? )時(shí)函數(shù) ()fx的極限 定理 .)(lim)(lim)(lim000 AxfxfAxf xxxxxx ???? ?? ??? 3. ??x 時(shí)函數(shù)的極限 講清概念的內(nèi)涵和外延，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力， 定理 2 AxfxfAxfxxx ???? ???????? )(lim)(lim)(lim 3極限的性質(zhì) 1．唯一性 2．有界性 3．保號(hào)性 注：逆命題不成立 講清定理的條件和結(jié)論 ，感受數(shù)學(xué)知識(shí)的高度嚴(yán)謹(jǐn)與抽象性 ,培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力和語言表達(dá)能力 量 2．極限與無窮小之間的關(guān)系 運(yùn)算性質(zhì) 定理 ． 定理 3. 有限個(gè)無窮小量的乘積是無窮小量． 推論 1. 無窮小量與有界量的乘積是無窮小量． 推論 2. 常數(shù)與無窮小量的乘積是無窮小量． 注意 : 兩個(gè)無窮小之商未必是無窮小， 對(duì)于這部分知識(shí)只是通過例子和圖象講清性質(zhì)、定理的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對(duì)性質(zhì)的運(yùn)用 ，從而培養(yǎng)學(xué)生的解題技巧和邏輯推力能力 . 量 （ 1）無窮大的定義 在自變量的某個(gè)變化過程中，絕對(duì)值可以無限增大的變量稱為這個(gè)變化過程中的無窮大量，簡(jiǎn)稱無窮大． 應(yīng)該注意的是：無窮大量是極限不存在 的一種情形，我們借用極限的記號(hào) ??? )(lim0 xfxx，表示“當(dāng)0xx? 時(shí) , )(xf 是無窮大量” ． （ 2）無窮小量與無窮大量的關(guān)系 定理 4.（在無窮小量與無窮大量的關(guān)系）自變量的某個(gè)變化過程中，無窮大量的倒數(shù)是無窮小量，非零無窮小量的倒數(shù)是無窮大量． 例 ，下列函數(shù)是無窮大量 1. xyxyxyxy 2)4(,ln)3(,12)2(,11 ?????? 結(jié)合例題講清概念的內(nèi)涵和外延，重點(diǎn)是對(duì)復(fù)合函數(shù)的結(jié)構(gòu) 的分析 6練習(xí)鞏固 課本習(xí)題 2： 1（ 1）（ 2）（ 3）（ 4）， 2（ 1）（ 2），3（ 1）（ 2） 鞏固知識(shí) ,形成技能 ,反饋矯正 . 7課堂小結(jié) 主要知識(shí)點(diǎn)： 1. 極限的概念與方法， 0xx? 及 ??x 時(shí)函數(shù))(xf 極限定義及數(shù)列極限的定義； 2. 函數(shù)極限和數(shù)列極限的幾何意義； 3. 無窮小量、無窮大量的定義； 4. 無窮小量與無窮大量的關(guān)系。 定理 3：設(shè) 0)(lim,)(lim ??? BxgAxf ，則)(lim )(lim)( )(lim xg xfBAxg xf ??。 注：若 0)( 0 ?xQ ，則不能用推論 2來求極限， 需采用其它手段。 當(dāng) 1?x 時(shí)， 1~)1s in( 22 ?? xx ，且 0)(lim 21 ???? baxxx 1 0 , = ( 1 )a b b a? ? ? ? ? 222 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x a x b x a x a x x ax x x x x? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? 2212lim 3124 , 5xx a x b axab??? ? ????? ? ? 【例 9】設(shè) nmba ,0,0 00 ?? 為自然數(shù)，則 ????????????????????????時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)當(dāng)mnmnmnbabxbxbaxaxammmnnnx0l i m00110110????。 第二個(gè)月后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 2)(1000 ? ， ?? ，依此，一年后該儲(chǔ)戶本息共計(jì)： 12)(1000 ? . 若該儲(chǔ)戶每天結(jié)算一次，假設(shè)一年 365天，則每天利率為： 故第一天后儲(chǔ)戶本息共計(jì)： )(1000 ? 。 3. 對(duì)于此極限要求掌握它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)和應(yīng)用。 （ 2） 函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)必須同時(shí)滿足三個(gè)條件：① 函數(shù)在該點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義； ② 函數(shù)在該點(diǎn)的極限存在； ③ 極限值等于該點(diǎn)的函數(shù)值． （ 3）用“點(diǎn)連續(xù)性的兩個(gè)定義”可證明初等函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)性；用“左連續(xù)和右連續(xù)” 可證明分段函數(shù)在其分段 點(diǎn)處的連續(xù)性。 任務(wù)描述 任務(wù)一： 如何計(jì)算變速直線 運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度？ 任務(wù)二：怎樣求平面曲線的切線斜率？ 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。)39。)39。39。 aaa xx ? （ 4）、 。 xx ? （ 8）、 。 xxx ? （ 12） 。 xx ?? （ 16）、 .1 1)c o t(239。1()39。 2 ???????? xxxxxxxwvu1c o t2)1(1c o s1s i n21s i n1)1(c o s21222 2 ????????????， 如果不寫中間變量，可簡(jiǎn)寫成 xxxx xxxxxxy )39。sin ),0( yxxy x 求?? ． 解：將 xxy sin? 兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得 xxy lnsinln ? 將上式兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)，注意到 y 是 x 的函數(shù)，得 ,1s inlnco s1 39。 ?????? ????????????? ????? xxxxxxxxxyy 數(shù) 一、高階導(dǎo)數(shù)定義 一般地，函數(shù) )(xfy? 的導(dǎo)數(shù)仍是 x 的可導(dǎo)函數(shù)時(shí) , 則稱的導(dǎo)數(shù))(xfy ??? )( ??y 為函數(shù) )(xfy? 的二階 y??導(dǎo)數(shù)，記作 或 22dxyd 等． 類似地，有 .,...。lns i n39。 2222 ??????