【正文】 于點(diǎn) M 外另取一點(diǎn) ),( yxN ，于是割線 MN 和斜率為 0000 )()(t a n xx xfxfxx yy ??????? 其中 ? 為割線 MN 的傾角，當(dāng)點(diǎn) N 沿曲線 C 趨于點(diǎn) M 時(shí)， 0xx? ，如果當(dāng)0xx? 時(shí)，上式的極限存在，設(shè)為 ,k 即 00 )()(lim0 xxxfxfkxx ???? 存在，則此極限 k 是割線斜率的極限，也就是切線的斜率，這里?? 其中,tan?k 為切線 MT 的傾角，于是，通過點(diǎn) ))(,( 00 xfxM 且以 k 為斜率的直線 MT 便是曲線 C 在點(diǎn) M 處的切線．事實(shí)上，NMT? = ???? ??? 時(shí)以及 0, xx ，可見， 0xx? 時(shí)（這時(shí) | | 0MN? ），NMT? 0? ．因此直線 MT 確為曲線 C在點(diǎn) M 處的切線． 概念 1．定義：設(shè)函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 x 在點(diǎn) 0x 處有增量 )0( ??? xx ， xx ??0 仍 在 該 鄰 域 內(nèi) 時(shí) ， 相 應(yīng) 地 ， 函 數(shù) 有 增 量)()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 0000 ( ) ( )l im l imxx f x x f xyxx? ? ? ? ? ? ?? ??? T y o M y=f(x) x0 φ N α x0+△ x Q x 存在，則稱 )(xf 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，并稱此極限值為 )(xf 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)，記為 )(0xf? ，也可記為0000 dddd,)( xxxfxxxyxxyxy ????? 或，即 x xfxxfxyxf xx ? ???????? ???? )()(limlim)( 00000. 若極限不存在，則 稱 )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處不可導(dǎo) . 若固定 0x ，令 xxx ???0 ，則當(dāng) 0??x 時(shí)，有 0xx? ，所以函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù) )(0xf? 也可表示為 0000 )()(lim)( xx xfxfxf x ???? ?. 2． 左導(dǎo)數(shù)與右導(dǎo)數(shù) ① 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處的左導(dǎo)數(shù) )(0xf?? ＝ x xfxxfxyxx ????????? ????)()(limlim 0000. ② 函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處的右導(dǎo)數(shù) )(0xf?? ＝ x xfxxfxyxx ????????? ????)()(limlim 0000. ③函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)的充要條件是 )(xf 在點(diǎn) 0x 處的左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等． 數(shù)的幾何意義 導(dǎo)數(shù)的幾何意義 函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)表示曲線 )(xfy? 在點(diǎn) ))(,( 00 xfx 處的切線斜率 . 關(guān)于導(dǎo)數(shù)的幾何意義的 3點(diǎn)說明 : ①曲線 )(xfy? 上點(diǎn) ),( 00 yx 處的切線斜率是縱標(biāo)變量 y 對(duì)橫標(biāo)變量 x 的導(dǎo)數(shù) .這一點(diǎn)在考慮用參數(shù)方程表示的曲線上某點(diǎn)的切線斜率時(shí)優(yōu)為重要 . ②如果函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)為無窮 (即 ?????? xyx 0lim,此時(shí) )(xf 在 0x處不可導(dǎo) ),則曲線 )(xfy? 上點(diǎn) ),( 00 yx 處的切線垂直于 x 軸 . ③ 函數(shù) 在某點(diǎn)可導(dǎo)幾何上意味著函數(shù)曲線在該點(diǎn)處必存在不垂直于 x 軸的切線 . 變化率： 函數(shù)的增量與自變量增量之比，在自變量增量趨于零時(shí)的極限，即導(dǎo)數(shù) .在科學(xué)技術(shù)中常常把導(dǎo)數(shù)稱為 變 化率 (即因變量關(guān)于自變量的變化率就是因變量關(guān)于自變量的導(dǎo)數(shù) ).變化率反映了因變量隨著自變量在某處的變化而變化的快慢程度 . 導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系 若函數(shù) )(xfy? 在點(diǎn) x 處可導(dǎo)，則 )(xfy? 在點(diǎn) x 處一定連續(xù) .但反過來不一定成立，即在點(diǎn) x 處連續(xù)的函數(shù)未必在點(diǎn) x 處可導(dǎo) . 例 1 求 xxy? 在 0?x 處的導(dǎo)數(shù) . 0l i m0l i m)0()0(l i m)0( 000 ???? ????? ????? ?????? xxxxx fxff xxx . 例 2 求 ? ???? ?? ，x xxf 1ln)( 00??xx ，的導(dǎo)數(shù) . 解 當(dāng) 0?x 時(shí)，xxf ??? 11)( ， 當(dāng) 0?x 時(shí)， 1)( ?? xf ， 當(dāng) 0?x 時(shí)， x fxfx fxffxx )0()(lim0 )0()(lim)0( 00 ?????? ??， 所以 10lim)0(0 ??????? xxfx，1eln)1l n (l i m0)1l n (l i m)0( 100 ???????? ?? ??? xxx xx xf ， 因此 1)0( ??f ，于是 ????? ???,1,1 1)( xxf .0 ,0??xx 例 求導(dǎo)舉例 例 2 求函數(shù) sinx 的導(dǎo)數(shù) ． 解 ： x∈ R， .c o s)2c o s (22s i nlims i n)s i n (lim)( s i n00 xxxxxxxxxxxx ????????????????? ????? ???? 即， x∈ R， .cos)(sin xx ?? 類似地， x∈ R， .sin)(cos xx ??? 例 3 求函數(shù) lnx 的導(dǎo)數(shù) ． 解 ： x∈ (0，＋∞ )， x xxxxxxxxx ????? ????? ???? )1l n (l i mln)l n (l i m)( l n 00 .1lim 0 xxxxx ?? ???? 即任意 x＞ 0， xx 1)(ln ?? ． 舉例： 10341 1 2, , , 1 0 , 3. xx xy x y y y yx x? ? ? ? ? 總結(jié)：求導(dǎo)步驟 1．求增量 ( ) ( )y f x x f x? ? ? ? ? 2．算比值 ( ) ( ) .y f x x f xxx? ? ? ???? 3．取極限 .)()(limlim)(00 x xfxxfxyxf xx ? ????????? ???? 結(jié) 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 10 課 題 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 — 導(dǎo)數(shù)的基本公式和四則運(yùn)算法則 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式和運(yùn)算法則 能力目標(biāo) ：能用導(dǎo)數(shù)描述生 活和建筑工程專業(yè)中與變化率相關(guān)的問題。39。39。239。39。( 39。 uv wwuvvwuuv w wvuwvu ??? ????? 例 例 1 設(shè) 2335 2 4 co sxy x xx? ? ? ?，求 y? . 解： 45 2 3 ( 3 ) 2 l n 4( s i n )xy x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? 491 0 2 l n 4 s i nxx x xx? ? ? ?. 例 2 設(shè) 2= (1 2 ) ( 5 3 1 )y x x x? ? ?，求： y? . 解 : 22 ( 5 3 1 ) ( 1 2 ) ( 10 3 )y x x x x? ? ? ? ? ? ? 230 2 1xx? ? ? 例 3 設(shè) sin lny x x x? ，求 y? . 解 : 11 s i n l n co s l n s i ny x x x x x x x x? ? ? ? s in ln c o s ln s inx x x x x x? ? ?. 例 4 已知 2 2() 3xxfx x??? ? ,求 : (1)f? . 解 : 22( 2 1 ) ( 3 ) ( 2 ) 1( 3 )x x x xy x? ? ? ? ?? ? ? 2265( 3)xxx??? ?. 1(1) 8f? ? . 例 5 設(shè) 35 2 7xxyx???,求 :y? . 解 : 原式化簡為 5 1 12 2 25 2 7y x x x ?? ? ?. 3 1 32 2 22 5 722y x x x??? ? ? ? 331 ( 2 5 2 7 )2 xxx? ? ?. 求 tanyx? 的導(dǎo)數(shù) . 解 : 首先 sincosxy x? . 22 22c o s sin se cc o sxxyxx?? ??. 同樣 , 2(c ot ) cscxx??? 例 6 設(shè) secyx? ，求 y? 等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 導(dǎo)數(shù)的基本公式 （ 1）、 。 ?? ?? ?xx （ 3）、 。 xx ee ? （ 5）、 。 xx ? （ 7）、 。 xx ?? （ 9）、 。 xx ?? （ 11）、 。 xxx ?? （ 13）、 。 xx ??? （ 15）、 。 (2)熟練運(yùn)用求導(dǎo)法則 。 教學(xué)參考資料 《高等數(shù)學(xué)》，侯風(fēng)波主編，高等教育出版社， 2020. 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 教學(xué)環(huán)節(jié) 教學(xué)內(nèi)容 課題引入 任務(wù) 1： 設(shè) 氣體以 100 3/cm s 的常速注入球狀的氣體，假定氣體的壓力不變，那么當(dāng)半徑為 10cm 時(shí)，氣球半徑增加的速率是多少？ 要解決此類問題，我們需先學(xué)習(xí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 數(shù)的求導(dǎo)法則 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè) )(ufy? ， )(xu ?? ，則復(fù)合函數(shù) ? ?)(xfy ?? 的導(dǎo)數(shù)為 xuuyxy dddddd ?? 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法是函數(shù)求導(dǎo)的核心：利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法可以解決復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)問題，而且還是隱含數(shù)求導(dǎo)法、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法、參數(shù)方程求導(dǎo)法等的基礎(chǔ)． 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法的關(guān)鍵是：將一個(gè)比較復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)比較簡單的函數(shù)的復(fù)合形式 . 在分解過程中關(guān)鍵是正確的設(shè)置中間變量，就是由表及里一步步地設(shè)置中間變量，使分解后的函數(shù)成為基本初等函數(shù)或易于求導(dǎo)的 初等函數(shù)，最后逐一求導(dǎo)． 求導(dǎo)時(shí)要分清是對(duì)中間變量還是對(duì)自變量求導(dǎo)，對(duì)中間變量求導(dǎo)后，切記要乘以該中間變量對(duì)下一個(gè)中間變量（或自變量）的導(dǎo)數(shù)．當(dāng)熟練掌握該方法后，函數(shù)分解過程可不必寫出 例 例 1 設(shè) )1(sinln 2 xy ? ，求 39。()39。39。1( s i n1s i n 1)39。( ) 0y? ? ，那么它的反函數(shù) )(xfy? 在對(duì)應(yīng)的點(diǎn) x 處可導(dǎo)，且有 )0)(()(1)( ????? yyxf ??或 yxxydd1dd ? 例 1 函數(shù) .ln),1,0( aayaaay xx ????? 證明： 證明 ,)( 0 ,lo gx 內(nèi)單調(diào)在的反函數(shù) ???? yay ax? ??x R，相應(yīng)的 ),0( ???? xay 且 ,0ln1 ?? aydydx 有法則Ⅳ ,得 .lnln1)( aaaydydxya xx ?????? 特別地， .)(, xx eeea ??? 時(shí) 例 2 函數(shù) .1 1),1(a r c s in 2xyxxy ????? 證明 證明 :(略 ) 說明 : xxxx 5c o s)5( s in,c o s)( s in ???? 但 .為什么 ? 結(jié) 復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)法則 反函數(shù)的求導(dǎo)法則 課本習(xí)題 3的部分習(xí)題及 案例解答，以書面形式 《高等數(shù)學(xué)》單元課程設(shè)計(jì) 12 課 題 隱函數(shù)的求導(dǎo)法則和高階導(dǎo)數(shù) 授課班級(jí) 略 上課時(shí)間 2學(xué)時(shí) 課型 理論課 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)目標(biāo) ：掌握隱函數(shù)所確定的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，掌握高階導(dǎo) 數(shù)的概念及求法 能力目標(biāo) ：會(huì)求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，能用二階導(dǎo)數(shù)的意義分析實(shí)際問題概念 情感目標(biāo) ：通過實(shí)際案例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性 任務(wù)描述 任務(wù)一： 會(huì)求隱函數(shù)和參數(shù)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 任務(wù)二：會(huì)求高階導(dǎo)數(shù) 教學(xué)方法 多媒體教學(xué)，案例驅(qū)動(dòng)，提問，啟發(fā)，探討。． 解法二：因?yàn)? xxx exy lnsinsin ?? ，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得 ? ? ? ? ? ?? ??????? ????????? ??????xxxxxxxxxexxeexyxxxxxxxxxs i nlnc o ss i nlnc o slns i ns i nlns i n39。 例 求 )1()1( )2( ???? xxxxy的導(dǎo)數(shù)． 解：將將方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，得 ? ?)1ln ()2ln (ln21ln ????? xxxy ， 將上式兩邊分別對(duì) x 求導(dǎo)，得 ,11211211