【正文】 ? ??? 接 受 原 假 設 。 分別抽出如下的樣本： kGG ,1 ? ),( )( ?ipN ?)1()1(2)1(11, nxxx ?)2()2(2)2(12, nxxx ?)()(2)(1 , knkkkxxx ????? ka ann 1? ??? )()(2)(1 , anaa axxx ?ax? ?? ?? kaniaia xn 1 1)(1x??? aniaiaa xn 1)(1x? ?? ? ???? ka ni a1 1 )( x)(xxxW ( a )i( a )i? ?? ? ???? ka ni aa1 1 )( x)(xxxE ( a )ia( a )i?? ???? ka an1 )( x) ( xxxB ( a )i( a )i W=E+B 當 K個總體的均值相等時 , ),1(~ ??nW pW),(~ ?? knW pE),1(~ ??kW pBWEBEE ???? 服從 Wilks Λ分布。 p在一元正態(tài)的情形下 ， 我們有樣本的統(tǒng)計量 當總體的方差未知時 ， 我們必須用樣本的方差 來代替總體的方差 ， 則 那么在多元正態(tài)的情形下 ， 是否有相同的問題呢 ？ 回答時肯定的 。 n ),(~ μ?? nW p?? ?? nl ljil XX1???????????????????????????npnnppnpppnnxxxxxxxxxxxxxxxxxxXXA????????????212222111211212221212111 特別當 是 階對稱陣，則 的分布的下三角部分組成的長向量 X p X? ??? ??? pppppppp xxxxxxx ,1,1,1222111 ????x 在一元正態(tài)隨機變量中，我們曾經(jīng)討論了 分布，在多元 正態(tài)隨機變量也有類似的樣本分布。 167。 ),(~ ?? nW p CC ??),( CC ??nW m三、 抽樣分布 定理 1：設 X1,X2,…… Xn是來自多元正態(tài)總體 Np(?,?)的簡單隨機樣本，有 ),( 11211 ?? pxxx ?1x),( 222212 ?? pxxx ?x),( 21 ?? npnnn xxx ?x???? ni in 11 ??令 ?? ???? n 1i XXXXS ))(( ii 則有 XXXXS i ???? ?? nn jj1)1,(~1 ?? nN p ?、相互獨立和、 S?2),1(~3 ??nWS p、證明： ? ? 為一正交矩陣設?????????????????????????????????nnnijnn??????????2111******?? ? ????? ???? nn XXX ?? 2121 )(令為正交矩陣，所以且獨立同正態(tài)分布由于 ?,),4,3,2,1( ni ??iX獨立同正態(tài)分布)( 21 n???? ???????? ni in n 11)1,3,2,1()()( 1 ??? ?? narEE nj jaja ?????? nj ajr1 ?01 ?? ??ni njaj rrn ???????jijiC o vji ???0),(???nj aj nrn 11 ??nEnE ni in ?? ?? 1 )(1)( ?? ΣZ n nV a r 1)( ?)1,(~1 ???? nNn pn ?X??????n jj1 ))((i XXXXSXXXXS i ???? ?? nn jj1nnnjj ?? ???? ?? 1i XXSnn ?????? ?????S??? ?? 11nj jj??S相互獨立與 S??),1(~11 ??? ??? ??? nW pnj jjS當 ， 時 ， 由卡方分布的定義可知 1?p1????? ?? 11 22 )1(~ni i nyA ?可見維希特分布是由卡方分布在多元下的推廣 。 ),(~ 1 ?? nW p ),(~ 2 ?? nW p ??,pn ?1 pn ?20??|| || ?? ?? ??),(~ 21 nnp??2??p22 ?n 2? 四 、 基于維斯特 (Wishart)分布的統(tǒng)計量 F 在一元方差分析中 ， 常常遇到基于獨立的 分布隨機變量比值的 統(tǒng)計量 。檢驗比例是否符合這一規(guī)律。s Trace 4 33 HotellingLawley Trace 4 33 Roy39。 他們的均值向量差為： 1( , )pN ? ? 和 2( , )pN ? ?112( , , , )nx x x ??x 212( , , , )ny y y ??y ??011 2112 22212pp???????????????????????1μ μ 例 在愛情和婚姻的調(diào)查中，對一個由若干名丈夫和妻子組成的樣本進行了問卷調(diào)查，請他們回答以下幾個問題： (1)你對伴侶的愛情的“熱度”感覺如何？ (2)伴侶對你的愛情的“熱度”感覺如何？ (3)你對伴侶的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？ (4)伴侶對你的愛情的“可結(jié)伴”水平感覺如何？ 回答采用沒有、很小、有些、很大和非常大 5個等級，得到結(jié)果如表。工廠管理部門想了解不同班次工人勞動效率是否存在明顯的差異。 )18,2( ?F 0 1 )18,2( ?F0 )18,2(1 82 ??? FF 方差分析 ：比較 3個或 3個以上的總體均值是否有顯著性差異。 7 協(xié)方差陣檢驗 多個協(xié)差陣相等的檢驗 實例分析及 SPSS 例 1 35家上市公司 2020年報數(shù)據(jù) ， 考察的 8個指標是： x1： 凈資產(chǎn)收益率 (%) x2： 總資產(chǎn)報酬率 (%) x3： 資產(chǎn)負債率 (%) x4： 總資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率 x5： 流動資產(chǎn)周轉(zhuǎn)率 x6： 已獲利息倍數(shù) x7： 銷售增長率 (%) x8： 資本積累率 (%) 不同行業(yè)的運營能力 (幾個指標組成 )有無差別 ? 聚類分析 ? 系統(tǒng)聚類分析 直觀，易懂。 由此， 我們的問題是如何來選擇樣品間相似的測度指標，如何將有相似性的類連接起來？ 聚類分析根據(jù)一批樣品的許多觀測指標 ，按照一定的數(shù)學公式具體地計算一些樣品或一些參數(shù) (指標 )的 相似程度 ， 把相似的 樣品或指標 歸為一類 ， 把不相似的歸為一類 。 一般來說 ， 計數(shù)得到的數(shù)量是離散數(shù)量 ， 測量得到的數(shù)量是連續(xù)數(shù)量 。 在名義尺度中只取兩種特性狀態(tài)的變量是很重要的 ， 如電路的開和關(guān) ， 天氣的有雨和無雨 ， 人口性別的男和女 ， 醫(yī)療診斷中的 “ 十 ” 和 “ 一 ” ， 市場交易中的買和賣等都是此類變量 。 標準化變換 標準化變換也是對變量的數(shù)值和量綱進行類似于規(guī)格化變換的一種數(shù)據(jù)處理方法 。 而樣品之間的聚類即 Q型聚類分析 ， 則 常用距離 來測度樣品之間的親疏程度 。 Williams)所給定的一種距離，其計算公式為： ?? ???pkjkikjkikij xxxxLd1)( 這是一個 自身標準化 的量，由于它對大的奇異值不敏感，這樣使得它 特別適合于高度偏倚的數(shù)據(jù) 。 ?????? ????????????,002N ?????????? ?11兩點。 如在經(jīng)濟變量分析中 ， 常用相關(guān)系數(shù)表示經(jīng)濟變量之間的親疏程度 。實踐中 ， 在開始進行聚類分析時 ， 不妨試探性地多選擇幾個親疏測度指標 ， 分別進行聚類 ， 然后對聚類分析的結(jié)果進行對比分析 ， 以確定出合適的親疏測度指標 … 0 … 0 ┇ ┇ ┇ ┇ … 0 pGqG 1G 2G nG1G2GnG12d nd121d1nd 2ndnd2 至此，我們已經(jīng)可以根據(jù)所選擇的距離構(gòu)成 樣本點間的距離 表 ,樣本點之間被連接起來。 利用遞推公式計算新類與其它類之間的距離 。 首先采用絕對距離計算距離矩陣： )0(D1G2G 3G4G5G1G2G3G4G5G 0 1 0 0 6 5 0 8 7 2 0 然后 和 被聚為新類 ，得 ： 1G 2G 6G )1(D6G3G5G3G 4G 0 0 5 0 7 2 0 6G4G5G? ?qpijpq GGdM i nD ??? ji xx ，：定義距離：? ? qplDDM i nD qlplrl ，遞推公式： ?? 最短距離法的遞推公式 ? ?qpijpq GGdM i nD ??? ji xx ，：定義距離： ? ?qplDDM i nD qlplrl ，遞推公式： ?? 假設第 p類和第 q類合并成第 r類，第 r類與其它各舊類的距離按最短距離法為： ? ?r l i j r lD M in d G G? ? ?ijxx： ，? ?? ?ij p q lM in d G G G? ? ?ijxx： ，? ?? ?ij p q lM in d G G G? ? ?： ，? ?,q l p lM in D D?0 0 2 0 7G4G5G7G 4G 5G0 0 8G 7G8G7G各步聚類的結(jié)果： (1,2) (3) (4) (5) (1,2,3) (4) (5) (1,2,3) (4,5) (1,2,3,4,5) 最長距離法 用最長距離法對 5個樣。 在 D（ 1） 表再選擇最小的非零數(shù) ， 其對應的兩類有構(gòu)成新類 ， 再利用遞推公式計算新類與其它類之間的距離 。 167。 如在標準化變換之下 ， 夾角余弦實際上就是相關(guān)系數(shù)； 又如若在進行聚類分析之前已經(jīng)對變量的相關(guān)性作了處理 ，則通常就可采用歐氏距離 ， 而不必選用斜交空間距離 。 211 12))((1????????? ? ?? ?phpk hkjkikjhihijxxxxpd ?當各變量之間不相關(guān)時，斜交空間退化為歐氏距離。 (4)馬氏距離 這是印度著名統(tǒng)計學家馬哈拉諾比斯(P． C． Mahalanobis)所定義的一種距離 ， 其計算公式為： )()(2ji1ji xxxx ??????ijd 分別表示第 i個樣品和第 j樣品的 p指標觀測值所組成的列向量 ， 即樣本數(shù)據(jù)矩陣中第 i個和第 j個行向量的轉(zhuǎn)臵 ， ?表示觀測變量之間的協(xié)方差短陣 。0 成立和對一切的 jid ij ?。 即有： jjijij Sxxx ??* ),3,2,1。 中心化變換 中心化變換是一種坐標軸平移處理方法 ， 它是先求出每個變量的樣本平均值 ， 再從原始數(shù)據(jù)中減去該變量的均值 ， 就得到中心化變換后的數(shù)據(jù) 。 167。 例如當我們對企業(yè)的經(jīng)濟效益進行評價時，建立了一個由多個指標組成的指標體系，由于信息的重疊