【正文】 準(zhǔn)則 2．（夾逼定理）設(shè) ? ? ? ? ? ?xhxfxg ?? 若 ? ? Axg ?lim ， ? ? Axh ?lim ，則 ? ? Axf ?lim 3．兩個(gè)重要公式 公式 1． 1sinlim0 ?? xxx 公式 2． ennn ??????? ???11lim ； eu uu ??????? ???11lim ； ? ? ev vv ???10 1lim 4．用無(wú)窮小重要性質(zhì)和等價(jià)無(wú)窮小代換 5． 用泰勒公式（比用等價(jià)無(wú)窮小更深刻）（數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二） 當(dāng) 0?x 時(shí)， ? ?nnx xnxxxe 0!!21 2 ?????? ? ? ? ? ? ? ?121253 0!121!5!3s i n ?? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxx 2242 0!21!4!21c o s ??????? ? ? ? ? ? ? ?nnn xnxxxxx 01321ln 132 ???????? ?? ? ? ? ?1212153 012153ar ct an ??? ???????? nnn xnxxxxx ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?nn xxn nxxx 0! 11!2 111 2 ??????????? ??????? ?? 6．洛必達(dá)法則 法則 1．（ 00 型）設(shè)（ 1） ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 12 （ 2） x 變化過(guò)程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） （注：如果 ? ?? ?xg xf??lim不存在且不是無(wú)窮大量情形，則不能得出 ? ?? ?xgxflim不存在且不是無(wú)窮大量情形） 法則 2．（ ?? 型）設(shè)（ 1） ? ? ??xflim ， ? ? ??xglim （ 2） x 變化過(guò)程中， ??xf? ， ??xg? 皆存在 （ 3） ? ?? ? Axg xf ???lim（或 ? ） 則 ? ?? ? Axg xf ?lim（或 ? ） 7．利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式： ? ? ? ? ? ?0000lim xfx xfxxfx ??? ????? [如果存在 ] 8．利用定積分定義求極限 基本公式 ? ??? ?????????? 1011lim dxxfnkfnnkn [如果存在 ] 9．其它綜合方法 10．求極限的反問(wèn)題有關(guān)方法 乙 典型例題 一．通過(guò)各種基本技巧化簡(jiǎn)后直接求出極限 例 1．設(shè) 0?ma ， 0?nb 求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx ???????? ?????? ?? 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 13 例 2．設(shè) 0?a ， 1?r ，當(dāng) ? ?1lim ??? ??? nn arara ? 解： ? ? rarraarara nnnn ????????????? 111limlim 1? 特例（ 1）求 ? ????????? ??????????????????????? ???nnn 321323232lim 132 ? 解：例 2 中取 32?a ， 32??r ，可知原式5232132?????????? （ 2） 342323131121211lim ?????????????????????? nnn?? 例 3．求nnnnn 3223lim 11 ?????? 例 4．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ????? ?nkn lkk11lim 特例：（ 1） ? ? 111lim 1 ?????? nkn kk （ 2） ? ?4321lim 1 ?????? nkn kk 例 5．設(shè) l 是正整數(shù)，求 ? ?? ????? ??nkn lkklkl1 222lim 特例：（ 1?l ） ? ? 1112lim 1 22 ???????nkn kkk （ 2?l ） ? ?? ?452112222lim 21 22 ????????? nkn kk k 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 14 例 6．設(shè) 0?d 為常數(shù)，求 ? ? ?????? ???????? 222 1111lim n dnn dnn ? 例 7．求下列各極限 （ 1） x xxx????11lim0 （ 2） x xxx33011lim ???? （ 3）xx xxx ??? ???? 11 11lim330 （ 4） ? ?xxxxx 3lim 22 ?????? 二．用兩個(gè)重要公式 例 1．求 xxx ?? ?? sinlim 例 2．求 ? ?xx xxx c os1 s in1t a n1lim0 ? ???? 解一：原式 ? ? ? ?? ?? ?xxxx xxx s in1t a n1c o s1 1s in1t a nlim 0 ???? ???? ? ? ?? ?21t anlim21co s1 co s1t anlim21 00 ??? ?? ?? x xxx xx xx 解二：原式 ? ? ? ?? ? ? ?xx xxxx xx xx c os1 s i nt a nl i m21c os1 1s i n11t a n1l i m 00 ? ??? ?????? ?? 21tanlim210 ?? ? x xx 例 3．求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim ??? 例 4．求下列極限 （ 1） 1021lim ??? ?????? ? xx x （ 2） xx xx 10 11lim ?????? ??? （ 3） xx xx ?????? ???? 11lim （ 4） 112 32lim ??? ?????? ?? xx xx 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 15 例 5．求下列極限 （ 1） ? ? xx x cottan1lim ??? （ 2） 141lim ?? xx x （ 3） ? ? xx x 2cot0 coslim? （ 4） ? ? ? ?xx x 3csc0 2coslim? 三．用夾逼定理求極限 例 1．求 ?????? ????? nnn 2 12654321lim ? 解：令 nnxn 2 12654321 ???? ?， 12 25432 ??? n nyn ? 則 nn yx ??0 ， 于是 12 10 2 ???? nyxxnnn 由夾逼定理可知 0lim 2 ??? nn x，于是原極限為 0 。 定義 2．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)領(lǐng)域內(nèi) 有定義，如果當(dāng) 0xx? 時(shí)，函數(shù) ??xf 的極限值存在，且等于 0x 處的函數(shù)值 ? ?0xf ，即 ? ? ? ?00lim xfxfxx ?? 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，此時(shí)有 ? ? ? ? ? ?000 limlim xfxfxf xxxx ?? ?? ?? 并且有 ? ? ? ? ? ?00 limlim 0 xxxx xfxfxf ?? ?? 即如果函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則在點(diǎn) 0x 處可以交換極限號(hào)和函數(shù)號(hào)的順序。 第一類間斷點(diǎn)包括可去間斷點(diǎn)和跳躍間斷點(diǎn)。 5．初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。對(duì)于分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點(diǎn)兩側(cè)表達(dá)式不同時(shí)，需根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的充要條件進(jìn)行討論。 當(dāng) 0?x 時(shí)，由于 1tanlim0 ?? xxx，所以 0?x 是第一類間斷點(diǎn)，且是可去間斷點(diǎn)。 并稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。 4．微分的定 義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處有增量 x? 時(shí)，如果函數(shù)的增量 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 有下面的表達(dá)式 ? ? ? ?xxxAy ????? 00 ? ?0??x 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 26 其中 ? ?0xA 為與 x? 無(wú)關(guān)， ? ?x?0 是 0??x 時(shí)比 x? 高階的無(wú)窮小。因此稱為一階微分形式不變性。（見(jiàn)上圖） 例 2．討論函數(shù) ? ? 3 2?? xxf 在點(diǎn) 2?x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 有一些常用的初等函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)公式 （ 1） xey? ? ? xn ey ? （ 2） ? ?1,0 ??? aaay x ? ? ? ?nxn aay ln? （ 3） xy sin? ? ? ??????。 例 4．設(shè) ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf 問(wèn) a 和 b 為何值時(shí)， ??xf 可導(dǎo)，且求 ??xf? 。 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于： ①冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù) ②多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)方求導(dǎo)數(shù) 關(guān)于冪指函數(shù) ? ?? ? ? ?xgxfy? 常用的一種方法 ? ? ? ?xfxgey ln? 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。 5．微分的幾何意義 ? ? ? ?00 xfxxfy ????? 是曲線 ? ?fy? 在點(diǎn) 0x 處相應(yīng)于自變量增量 x? 的縱坐標(biāo) ? ?0xf 的增量，微分0xxdy ? 是曲線 ? ?xfy? 在點(diǎn) ? ?? ?000 , xfxM 處切線的縱坐標(biāo)相應(yīng)的增量（見(jiàn)圖）。 人人英語(yǔ)社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 25 導(dǎo)數(shù)定義的另一等價(jià)形式，令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ， 則 ? ? ? ? ? ?0000lim xxxfxfxfxx ????? 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 例 4．求函數(shù) ? ????????????0,1ar c t an0,001xxxxexfx 的間斷點(diǎn)，并確定其類型。 解： 因 ? ? ? ? 0limlim00 100 ???? ?? ?? xxx exff ? ? ? ? 01s inlimlim00 00 ???? ?? ?? xxxff xx ? ? 00 ?f 即有 ? ? ? ? ? ?00000 fff ???? ，故 ??xf 在點(diǎn) 0?x 連續(xù)。這些性質(zhì)以后都要用到。 常見(jiàn)的第二類間斷點(diǎn)有無(wú)窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 由上述定義 2 可知，如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 例 1．求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 例 3．求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4．設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 ???????? ???? xxx b