【正文】 系 如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)，則 ??xf 在點(diǎn) 0x 處一定連續(xù)，反之不然，即函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，卻不一定在點(diǎn) 0x 處可導(dǎo)。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 25 導(dǎo)數(shù)定義的另一等價形式，令 xxx ??? 0 ， 0xxx ??? ， 則 ? ? ? ? ? ?0000lim xxxfxfxfxx ????? 我們也引進(jìn)單側(cè)導(dǎo)數(shù)概念。 2． 1 導(dǎo)數(shù)與微分 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一．導(dǎo)數(shù)與微分概念 1．導(dǎo)數(shù)的定義 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某鄰域內(nèi)有定義，自變量 x 在 0x 處有增量 x? ，相應(yīng)地函數(shù)增量? ? ? ?00 xfxxfy ????? 。 例 4．求函數(shù) ? ????????????0,1ar c t an0,001xxxxexfx 的間斷點(diǎn)，并確定其類型。 例 3．求函數(shù) ? ? xxxf tan? 的間斷點(diǎn)，并確定其類型。 解： 因 ? ? ? ? 0limlim00 100 ???? ?? ?? xxx exff ? ? ? ? 01s inlimlim00 00 ???? ?? ?? xxxff xx ? ? 00 ?f 即有 ? ? ? ? ? ?00000 fff ???? ，故 ??xf 在點(diǎn) 0?x 連續(xù)。同樣可以定義最小值 m 。這些性質(zhì)以后都要用到。 3．在區(qū)間 I 連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù)，在對應(yīng)區(qū)間仍 連續(xù)且單調(diào)。 常見的第二類間斷點(diǎn)有無窮間斷點(diǎn)和振蕩間斷點(diǎn)。 2．函數(shù)的間斷點(diǎn)的分類 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 20 函數(shù)的間斷點(diǎn)分為兩類： （ 1）第一類間斷點(diǎn) 設(shè) 0x 是函數(shù) ? ?xfy? 的間斷點(diǎn)。 由上述定義 2 可知，如果函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)，則 ??xf 在 0x 處既左連續(xù)也右連續(xù)。 1． 3 連續(xù) 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一． 函數(shù)連續(xù)的概念 1．函數(shù)在點(diǎn) 0x 處連續(xù) 定義 1．設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 的某個鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量 x? （初值為 0x ）趨近于 0 時，相應(yīng)的函數(shù)改變量 y? 也趨近于 0 ，即 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 19 0lim0 ???? yx 或 ? ? ? ?? ? 0lim 000 ?????? xfxxfx 則稱函數(shù) ? ?xfy? 在點(diǎn) 0x 處連續(xù)。 例 1．求 ?????? ??? 111lim0 xx ex 例 2．求 ???????? ?? 2220 c o ss in1lim x xxx 例 3．求 xxx lnsinlim 20 ??? 例 4．設(shè) 0?a ， 0?b 常數(shù)，求 ???????? ???? xxx bax11lim 3．“ ?1 ”型，“ 0 ”型和“ 0? ”型 這類都是 ? ?? ? ? ?xgxflim 形式，可化為 ? ? ? ?? ?xfxge lnlim 而 ? ? ? ?? ?xfxg lnlim 都是“ ??0 ”型 ，按 2 的情形處理 例 1．求 xx x 2sin0lim?? 例 2．求 ? ? xx x 2cot0 coslim? （前面已用重要公式的方法） 解：令 ? ? xxy 2cotcos? ， xxy co slnco tln 2? 2020200 c o slnl i mt a nc o slnl i mc o slnc o tl i mlnl i m x xxxxxy xxxx ???? ??? （“ 00 ”型） = 212tanlim0 ???? x xx， ? 210lim?? ?eyx 例 3．求 xx xx ?????? ???1c o s1s inlim 五．用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 17 例 1．求 1s in13 1lim 23 2 ?? ???? nnnnn 解： ? 013111lim13 1lim3 323 2?????? ?? ????nnnnnnnnn， 11sin 2 ??n ， 根據(jù)有界變量乘無窮小仍是無窮小，可知原式 0? 例 2．求 ? ?? ? ? ?xxe xxxx 5s in21ln1 3a r c ta n2c o s1lim 0 ???? 例 3．求 ? ? ? ?xx xxxx ???? 1lnc o s11c o ss in3lim20 解：這個極限雖是“ 00 ”型，但分子，分母分別求導(dǎo)數(shù)后的極限不存在，因此不能用洛必達(dá)法則。 記以 ? ? ??xflim 3．無窮小與無窮大的關(guān)系 在 x 的同一個變化過程中 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 10 若 ??xf 為無窮大 ， 則 ??xf1為無窮小， 若 ??xf 為無窮小，且 ? ? 0?xf ， 則 ??xf1為無窮大 4．無窮小與極限的關(guān)系 ? ? ? ? ? ?xAxfAxf ?????l i m 其中 ? ? 0lim ?x? 5．兩個無窮小的比較 設(shè) ? ? 0lim ?xf ， ? ? 0lim ?xg ，且 ? ?? ? lxg xf ?lim （ 1） 0?l ，稱 ??xf 是比 ??xg 高階的無窮小，記以 ? ? ? ?? ?xgxf 0? 稱 ??xg 是比 ??xf 低階的無窮小。 （ 3） ? ? Axfx ????lim 任給 0?? ，存在正數(shù) X ，當(dāng) Xx ?? 時，就有 ? ? ???Axf （ 4） ? ? Axfx ???lim 任給 0?? ，存在正數(shù) X ，當(dāng) Xx? 時，就有 ? ? ???Axf （ 5） ? ? Axfxx ?? 0lim 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時，就有 ? ? ???Axf （ 6） ? ? Axfxx ??? 0lim（用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的右極限值） 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) ???? 00 xx 時，就有 ? ? ???Axf （ 7） ? ? Axfxx ??? 0lim（用 ? ?00 ?xf 表示 ??xf 在 0x 的左極限值） 任給 0?? ，存在正數(shù) ? ，當(dāng) 00 ???? xx? 時，就有 ? ? ???Axf 其中 ? ?00 ?xf 稱為 ??xf 在 0x 處右極限值， ? ?00 ?xf 稱為 ??xf 在 0x 處左極限值。證明： ? ? ? ? ? ???? x dttfFxF00， f 為奇函數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??????? x x udufFdttfFxF0 000 ? ? ? ? ? ?? ??? x xFduufF00 ??xF? 為偶函數(shù)。 （ B）若 ??xf 為偶 函數(shù)，則 ??xF 為奇函數(shù)。） 4．周期性： 設(shè) ??xf 在 X 上有定義，如果存在常數(shù) 0?T ，使得任意 Xx? ， XTx ?? ，都有 ? ? ? ?xfTxf ?? ，則稱??xf 是周期函數(shù)，稱 T 為 ??xf 的周期。 四．考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1．用極限表示的函數(shù) （ 1） ? ?xfynn ??? lim （ 2） ? ?xtfyxt ,lim?? 2．用變上、下限積分表示的函數(shù) （ 1） ? ?dttfy x??0，其中 ??tf 連續(xù)，則 ? ?xfdxdy? （ 2） ? ?? ?? ? dttfy xx?? 21??，其中 ??x1? ， ??x2? 可導(dǎo)， ??tf 連續(xù)， 則 ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?xxfxxfdxdy1122 ???? ???? 五．函數(shù)的幾種性質(zhì) 1．有界性： 設(shè)函數(shù) ? ?xfy? 在 X 內(nèi)有定義，若存在正數(shù) M ，使 Xx? 都有 ? ? Mxf ? 則稱 ??xf 在 X 上是有界的。就需要關(guān)于 xy arctan? ， xey? ， xy ln? 的圖象很清晰。有時也用 ? ?xfy 1?? 表示，例如 ? ?0,2 ?? xxy 解出 yx? ， ? ?0?y 而 ? ?02 ?? xxy 解出 ? ?0??? yyx 二．基本初等函數(shù) 1．常值函數(shù) cy? （常數(shù)） 2．冪函數(shù) ?xy? （ ? 常數(shù)） 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 3 3．指數(shù)函數(shù) xay? ( 0?a , 1?a 常數(shù) ) xey? （ ??e ，無理數(shù)） 4．對數(shù)函數(shù) xy alog? （ 1,0 ?? aa 常數(shù)） 常用 對數(shù) xxy lglog 10 ?? 自然對數(shù) xxy e lnlog ?? 5．三角函數(shù) xy sin? ； xy cos? ； xy tan? ； xy cot? ； xy sec? ； xy csc? 。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。 7． 2 三重積分 167。 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 1 2020 考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班 高等數(shù)學(xué)講義 主講：汪成議 引言 我們根據(jù)考研數(shù)學(xué)的考試大綱和歷年真題，歸納出所需的數(shù)學(xué)概念、方法和技巧分為（甲）內(nèi)容要點(diǎn)和（乙）典型例題兩大部分來體現(xiàn)。 7． 1 二重積分（全體） 167。 1． 1 函數(shù) 甲 內(nèi)容要點(diǎn) 一．函數(shù)的概念 1．函數(shù)的定義 設(shè) D 是一個非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個對應(yīng)規(guī)則 f ，對每一個 Dx? ，都能對應(yīng)唯一的一個實(shí)數(shù) y ，則這 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 2 個對應(yīng)規(guī)則 f 稱為定義在 D 上的一個函數(shù)，記以 ? ?xfy? ，稱 x 為函數(shù)的自變量， y 為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，D 稱為函數(shù)的定義域，并把實(shí)數(shù)集 ? ?? ?DxxfyyZ ??? , 稱為函數(shù)的值域 2．分段函數(shù) 如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個表達(dá)式表示，而要用兩個或兩個以上的表達(dá)式來表示。 4．反函數(shù) 如果 ? ?xfy? 可以解出 ? ?yx ?? 是一個函數(shù)（單值）則稱它為 ??xf 的反函數(shù)，記以 ? ?yfx 1?? 。例如以后經(jīng)常會用 xx arctanlim???；xx arctanlim??? ； xx e10lim?? ； xx e10lim?? ； xx lnlim0?? 等等。 2．初等函數(shù) 由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。 （注意：有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴(yán)格單調(diào)增加；把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。 二．求函數(shù)的值域 例 1．求 3 3 11?? xey 的值域 人人英語社區(qū)整理 ,不得用于商業(yè)用途 6 例 2．求 ? ?? ??????????????????2,2122,52,323xxxxxxxfy 的值域，并求它的反函數(shù) 三．求復(fù)合函數(shù)有關(guān)表達(dá)式 1．已知 ??xf 和 ??xg ，求 ??? ?xgf 例 1．已知 ? ? 1?? xxxf ，求 ? ? ?????? ?11xff 例 2．