【正文】 22 2 2 22222221l n( 1 ) l n( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 1 )1l n( 1 ) ( )1l n( 1 ) 1 11 1 1l n( 1 ) 1 1 1(1 4( 1 ) 4( 1 1l n( 1 ) 1 1 1ln1 4 1 2( 1 )111 1 1l n( 1 ) l n4 112tt dt t d ttttdttdtt t ttdtt t t tttCt t txx xxx xx??? ? ? ? ???????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ????? ? ? ???????? 2原 式）） 2 （ ）1( 1 )1 1 1l n( 1 ) l n( ( 1 ) ) l n( ( 1 ) )22Cxxxx x x x x Cx????? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 17）（本題滿分 10 分） 計(jì)算二重積分 ()D x y dxdy???，其中 22( , ) ( 1 ) ( 1 ) 2 ,D x y x y y x??? ? ? ? ? ???. 【解析】由 22( 1) ( 1) 2xy? ? ? ?得 2(sin cos )r ????， 32( sin c os )4( ) ( c os sin )04Dx y dx dy d r r rdr? ??? ? ?? ?? ? ? ??? ? ? 332( si n c os )14 ( c os si n )034rd? ??? ? ?? ? ? ?? ? ?????? 2384 ( c os si n ) ( si n c os ) ( si n c os )34d?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 3384 ( c os si n ) ( si n c os )34d?? ? ? ? ??? ? ? ?? 334 4438 8 14 ( sin c o s ) ( sin c o s ) ( sin c o s )3 3 44d ???? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 83?? （ 18）（本題滿分 11 分） ① 證明拉格朗日中值定理，若函數(shù) ()fx 在 ? ?,ab上連續(xù)，在 ? ?,ab上可導(dǎo)，則? ?,ab?? ，得證 ? ?39。l n( 1 ) l n( 1 )1 l n( 1 ) 1x x x x xdz xx e e xdx x?? ???? ??? ? ? ? ? ??? ???? ??? 代入 1x? 得， ? ? l n 21 , 0 1l n 2 2 l n 2 12z ex? ??? ? ? ???? ?? （ 11）冪級數(shù)21 ( 1)nnnne xn????? 的收斂半徑為 【答案】 1e 【解析】 由題意知， ? ?21 0nnn ea n???? ? ?? ? ? ? ? ?1111 22122111 ()1 1 1 11nnnnnn nnn ne eea nn ena n e ne e??????????????????? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???????????? 所以，該冪級數(shù)的收斂半徑為 1e （ 12）設(shè)某產(chǎn)品的需求函數(shù)為 ()Q QP? ,其對應(yīng)價(jià)格 P 的彈性 ? ? ，則當(dāng)需求量為10000 件時(shí)，價(jià)格增加 1 元會使產(chǎn)品收益增加 元 【答案】 12020 【解析】所求即為 ? ?QP Q P Q? ??? 因?yàn)?p QPQ? ???，所以 Q? ? 所以 ? ? P Q Q Q? ? ? ? 將 10000Q? 代入有 ? ? 12020QP ? ? 。 ⑤由于 F(x)為連續(xù)函數(shù) 結(jié)合這些特點(diǎn)，可見正確選項(xiàng)為 D 。故應(yīng)選 A . （ 4）設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 在區(qū)間 ? ?1,3? 上的圖形為： 則函數(shù) ? ? ? ?0xF x f t dt??的圖形為 （ ） 1 ()fx 2 0 2 3 x 1 O ??A . ??B . ??C . ??D . 【答案】 D 【解析】此題為定積分的應(yīng)用 知識考核，由 ()y f x? 的圖形可見，其圖像與 x 軸及 y 軸、0xx? 所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù) ()Fx，從而可得出幾個方面的特征： ① ? ?0,1x? 時(shí)， ( ) 0Fx? ，且單調(diào)遞減。 (0)fA? ? . （ 19）（本題滿分 10 分） 設(shè)曲線 ()y f x? ，其中 ()fx是可導(dǎo)函數(shù)，且 ( ) 0fx? .已知曲線 ()y f x? 與直線0, 1yx??及 ( 1)x t t??所圍成 的曲邊梯形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲邊梯形面積值的 t? 倍，求該曲線的方程 . （ 20）（本題滿分 11 分） 設(shè) 1 1 1A = 1 1 10 4 2???????????,1112????????????. （Ⅰ）求滿足 21A??? ， 2 31A??? 的所有向量 2? ， 3? . （Ⅱ）對（Ⅰ）中的任意向量 2? ,3? ，證明 1? ,2? ,3? 線性無關(guān) . （ 21）（本題滿分 11 分） 設(shè)二次型 2 2 21 2 3 1 2 3 1 3 2 3( , , ) ( 1 ) 2 2f x x x a x a x a x x x x x? ? ? ? ? ?. （Ⅰ）求二次型 f 的矩陣的所有特征值 . （Ⅱ）若二次型 f 的規(guī)范形為 2212yy? ，求 a 的值 . （ 22）（本題滿分 11 分） 設(shè)二維隨機(jī)變量 ( , )XY 的概率密度為 0( , ) 0 xe y xf x y ?? ??? ?? 其 他 （Ⅰ）求條件概率密度 ()YXf yx ； （Ⅱ）求條件概率 ? ?11P X Y??. （ 23）（本題滿分 11分） 袋中有一個紅球，兩個黑球，三個白 球，現(xiàn)在放回的從袋中取兩次，每次取一個，求 以 X 、 Y 、 Z 分別表示兩次取球所取得的紅、黑與白球的個數(shù) . （Ⅰ）求 ? ?10P X Z??； 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題和解析 一、選擇題： 1～ 8 小題，每小題 4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號內(nèi) . （ 1）函數(shù) 3() sinxxfx x??? 的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)為： （ ） ??A . 1 ??B . 2 ??C . 3 ??D .無窮多個 【答案】 C 【解析】 ? ? 3sinxxfx x??? 則當(dāng) x 取任何整數(shù)時(shí)， ??fx均無意義 故 ??fx的間斷點(diǎn)有無窮多個，但可去間斷點(diǎn)為極限存在的點(diǎn)，故應(yīng)是 3 0xx??的解1,2,3 0, 1x ?? 3200321132111 3 1l i m l i msi n c os1 3 2l i m l i msi n c os1 3 2l i m l i msi n c osxxxxxxx x xxxx x xxxx x xxx? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ????????????? 故可去間斷點(diǎn)為 3 個，即 0, 1? （ 2）當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) sinf x x ax?? 與 2( ) ln(1 )g x x bx??是等價(jià)無窮小，則 （ ） ??A . 1a? ， 16b?? ??B . 1a? ， 16b? ??C . 1a?? ， 16b?? ??D . 1a?? ， 16b? 【答案】 A 【解析】 2( ) s i n , ( ) (1 )f x x a x g x x ln b x? ? ? ?為等價(jià)無窮小，則 22 2 20 0 0 0 0( ) s i n s i n 1 c o s s i nl i m l i m l i m l i m l i m( ) l n ( 1 ) ( ) 3 6x x x x xf x x a x x a x a a x a a xg x x b x x b x b x b x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? ? ?洛 洛230sinlim 166xa ax abbaxa?? ? ? ??? 3 6ab? ?? 故排除 ,BC。 2020 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試 數(shù)學(xué)三試題 一、選擇題： 1～ 8小題，每小題 4分，共 32分，下列每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一個選項(xiàng)是符合題目要求的，請把所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 . （ 1） 函數(shù) 3() sinxxfx x??? 的可去間斷點(diǎn)的個數(shù)為 (A)1. (B)2. (C)3. (D)無窮多個 . （ 2） 當(dāng) 0x? 時(shí)， ( ) sinf x x ax?? 與 2( ) ln(1 )g x x bx??是等價(jià)無窮小，則 (A) 1a? ， 16b?? . （ B） 1a? ， 16b? . (C) 1a?? ， 16b?? . （ D） 1a?? ， 16b? . （ 3） 使不等式1 sin lnx t dt xt ?? 成立的 x 的范圍是 (A)(0,1) . (B)(1, )2? . (C)( , )2?? . (D)( , )??? . （ 4） 設(shè)函數(shù) ? ?y f x? 在區(qū)間 ? ?1,3? 上的圖形 為 則函數(shù) ? ? ? ?0xF x f t dt??的圖形為 (A) (B) ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 ()fx O 2 3 x 1 2 1 1 1 ()fx 2 O 2 3 x 1 1 (C) (D) （ 5）設(shè) ,AB均為 2 階矩陣， *,AB? 分別為 ,AB的伴隨矩陣，若 | | 2,| | 3AB??，則分塊矩陣 OABO??????的伴隨矩陣為 (A) **32OBAO??????. (B) **23OBAO??????. (C) **32OABO??????. (D) **23OABO??????. （ 6） 設(shè) ,AP均為 3階矩陣 ， TP 為 P 的轉(zhuǎn)置矩陣，且 1000 1 00 0 2TP AP???????， 若 1 2 3 1 2 2 3( , , ) , ( , , )PQ? ? ? ? ? ? ?? ? ?，則 TQAQ 為 (A) 2 1 01 1 00 0 2??????. (B) 1 1 01 2 00 0 2??????. (C) 2 0 00 1 00 0 2??????. (D) 1000 2 00 0 2??????. （ 7） 設(shè)事件 A 與事件 B互不相容，則 (A) ( ) 0P AB ? . (B) ( ) ( ) ( )P AB P A P B? . (C) ( ) 1 ( )P A P B?