保險(xiǎn)精算學(xué)生存年金精算現(xiàn)值(完整版)
【正文】 ? 非整數(shù)年齡開(kāi)始付款的生命年金 ? ?? ?1,111101xx u x xxxuqua a auq uqxu??????????定 理 假 設(shè) 死 亡 服 從 均 勻 分 布 則其 中 為 整 數(shù) ,? ? ? ?? ? ? ?1:,( 1 ) ( 1 ),1111:1,1:111u x k x u k x u x kx k x u k x x kkx x u x xxxuxx x xx u xxp p p puq p p uqvkuq a a u i i aui a u iauqa v a puquaauq?????????? ? ?? ? ? ? ?? ? ??????????證 明 我 們 首 先 可 以 知 道由 于 死 亡 服 從 均 勻 分 布 可 以 得 到上 式 兩 端 分 別 乘 以 并 且 對(duì) 求 和 可 得即我 們 又 知 道我 們 得 到 所 要 的 公 式? ?? ?11111..xxxxx u x xx u x xauqqa u a uaa a a????????特 別 在 非 常 小 時(shí) ,(222) 式 可 以 近 似 為 :這 一 近 似 結(jié) 果 在 實(shí) 際 的 應(yīng) 用 中 用 處 較 大 且 效 果 較 好 可 以 看 出 上 式 表 明實(shí) 質(zhì) 上 是 與 的 加 權(quán) 平 均 生存年金的遞推公式 1011111111111111:11111x x xkkx k x k xkkx k x k xkx x k xkkx k xktx t x x xtxa v p apr oo f a v p v pp p pa v p pv p v pv p v p v p aa??????????????????????? ? ??? ? ???? ? ? ??????定 理可 以 一 直 遞 推 下 去 ， 而 求 出 。 設(shè)保險(xiǎn)金的現(xiàn)值為 A,均衡凈保費(fèi)為 P，則 : AA P a P a?? 即 對(duì)不同的保險(xiǎn)和不同的保費(fèi)交付方式，保險(xiǎn)金現(xiàn)值和繳費(fèi)現(xiàn)值的具體形式會(huì)有所不同。 ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ?1.mmmmmmP m a mAP a AAPa??以 表 示 每 年 分 次 等 額 繳 付 的 年 繳 凈 保 費(fèi) ， 表 示 每 年 元 繳 付 次的 年 金 現(xiàn) 值 ， 表 示 保 險(xiǎn) 金 現(xiàn) 值 ， 根 據(jù) 收 支 平 衡 原 則 ， 有 根據(jù)上面的分析，我們可以得到各種壽險(xiǎn)年繳凈保費(fèi)的計(jì)算公式： 保險(xiǎn)種類(lèi) 死亡年末賠付 死亡瞬時(shí)賠付 終身壽險(xiǎn) t年繳費(fèi)終身壽險(xiǎn) n年繳費(fèi)的 n年定期壽險(xiǎn) t年繳費(fèi)的 n年定期壽險(xiǎn) n年繳費(fèi)的 n年兩全壽險(xiǎn) t年繳費(fèi)的 n年兩全壽險(xiǎn) 對(duì)延期生命年金，當(dāng)年金的支付發(fā)生在期首時(shí)，一年 m次繳費(fèi)的年繳凈保費(fèi)為： ? ?? ?:()m nxnx mxnaPaa? 當(dāng)年金在期末支付時(shí)，有 ? ?? ?:()m nxnx mxnaPaa?? ?? ?? ?? ?? ?1,211122mm xx x x xmxxm xxxxxA mP a a d PmaaAPPmma d Pmm?? ? ? ? ?????? ? ?1對(duì) 于 , 將 和 代 入 得例 比例凈保費(fèi) 對(duì)一定時(shí)期繳付一次保費(fèi)的期繳保費(fèi)保單，投保人會(huì)認(rèn)為期初的繳費(fèi)應(yīng)該為接下來(lái)的一期提供擔(dān)保，如果在期初繳費(fèi)后被保險(xiǎn)人出險(xiǎn)，保險(xiǎn)人不僅應(yīng)該按保險(xiǎn)合同實(shí)施賠付，還應(yīng)該按比例退還從出險(xiǎn)到下次預(yù)計(jì)繳費(fèi)期間的保費(fèi)部分。 ? 定期繳付可變額的周期性保險(xiǎn)費(fèi)。 我 們 有 ，11x x n x x x n x x nx x xN N D N N N ND D D? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?從概率的角度看： ? ?? ?? ?111: 1 10010,0.0.Knnnx x x n xk k kx n k n k nk k n kKnnx x n xkknkL e t x KYa K nYa K na E Y a q a q a q a pYa K nYa K na E Y a q a p?? ? ???? ? ??????????? ? ? ? ????????? ? ?? ? ??的 整 值 余 壽 為 期 首 付 定 期 n 年 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 是隨 機(jī) 變 量 ， 設(shè) 為 ， 即期 末 付 定 期 生 存 年 金 給 付 精 算 現(xiàn) 值 是 隨 機(jī) 變 量 滿(mǎn) 足 ：可 以 證 明 兩 種 推 理 方 法 和 結(jié) 論 是 等 價(jià) 的 ， 如 何 證 ？延期定期生存年金 ? ?1 1 1 1110111xnmxnmmmx n t x x n t x n t x m n tnmt t t txxx n x m nxmx n t xn
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