高中新課程數學新課標人教b版必修一111集合的概念教案-文庫吧在線文庫
【正文】 數集，用字母 N 來表示 .”學過集合那一章后，同學們應該對這句話不會感到陌生 .但同學們在接受 這句話時根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作 .在此以前數學家們只是把無限看作永遠在延伸著的，一種變化著成長著的東西來解釋 .無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在 .這種關于無窮的觀念在數學上被稱為潛無限 .十八世紀數學王子高斯就持這種觀點 .用他的話說，就是“??我反對將無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的 .所謂無窮，只是一種說話的方式??”而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在 數學上稱為實無限思想 .由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數 學家的批評與攻擊是無足為怪的 .然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續(xù)正面探討無窮 .他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創(chuàng)立了令人振奮的、意義十分深遠的理論 .這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界 . 最能顯示出他獨創(chuàng)性的是他對無窮集元素個數問題的研究 .他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數 .他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢 .由于一個 無窮集可以與它的真子集建立一一對應――例如同學們很容易發(fā)現自然數集與正偶數集之間存在著一一對應關系――也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數 .這與傳統(tǒng)觀念“全體大于部分”相矛盾 .而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征 .在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他將其稱為可數集 .又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集 .后來當他又證明了代數數 [注 ]集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集 .但出乎意料的是，他在 1873 年證明了實數集的勢大于自然數集 .這不但意味著無理數遠遠多于有理數，而且顯然龐大的代數數與超越數相比而言也只成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成 .”而當他得出這一結論時，
教學課件相關推薦
鄂ICP備17016276號-1