【正文】 (30) And substituting Eqs. (19) and (22) into Eq. (16) yields ω,43= n54ω,53。 (27) M43 = M,43: (28) Note that Eqs. (17)–(19) are given as coaxial conditions theorem in nonoriented graph technique. (b) Kinematic analysis Substituting Eqs. (17) and (21) into Eq. (14) yields ω,32= n73ω,72。 M43 and M52. (a) Equations obtained from the graph In Fig. 5, the transfer nodes are as follows: Path I (: Node 2 (pair axes a。 ω52 and ω72 are unknown angular velocities which can be expressed in terms of the three inputs ω21。 Kinematic analysis of bevelgear trains using graphs M. Uygurog?lu and H. Demirel, Gazimag?usa, . Received February 3, 2020。 (34) 其中 ω 0 =[ x32 x43 x52]T為輸出角速度，ω i = [ω 21 ω 61 ω 71]T為輸入角速度， N為齒輪傳動比系數(shù)矩陣。 (25) M52 = M,52+ M,53。值得注意的是相對于參考節(jié)點(diǎn)的測量速度 是 輸入速度 并且這個(gè)測量速度通過 圖 5的顯示 可以很容易的看到 。在圖四 顯示的 齒輪 中 相對速度和力矩之間的關(guān)系 為 = 其中和 分別為 齒輪 i和齒輪 j與載體節(jié)點(diǎn) k相對時(shí)間 。同軸條件 公式 (7)(9)不能從圖表 中得到 。下列同軸條件可廣泛應(yīng)用于計(jì)算未知的角速率。通過定義可知，對于所有的 i和 j都有 ω ij= ω ji ij=1/nji （ 2） 圖 1 顯示 的 Cincinnati Milacron T3機(jī)器人包含 三個(gè)齒輪副。在圖 2中轉(zhuǎn)移 節(jié)點(diǎn)是 : 回 路 1:節(jié)點(diǎn) 3(軸副 b,c)。 (ii) 通過填寫相應(yīng)的節(jié)點(diǎn)確定固定連接 (參考 ) 圖 1 . Cincinnati Milacron 公司 T3機(jī)器人的 功能原理 (iii)通過一條粗實(shí)線連接 相應(yīng)的 節(jié)點(diǎn)連接 表示一對齒輪嚙合的兩個(gè)環(huán)節(jié) 。這個(gè)機(jī)器人 有 7個(gè) 構(gòu)件 ,6個(gè) 轉(zhuǎn)動副和 3個(gè)齒輪副 。 這 種新的圖技術(shù) 已經(jīng) 被 應(yīng) 用 在 錐齒輪傳動的 相對角速率 的 導(dǎo)向的關(guān)系。兩種不同的圖形技術(shù) 被 用于機(jī)器人的 錐齒輪傳動 :無 導(dǎo) 向和導(dǎo)向圖技術(shù)。在這兩種技術(shù)中，輪系運(yùn)動的齒輪結(jié)構(gòu)都是由一個(gè)圖像來表示的。 定向的線 性圖技術(shù) 自從 六十年代早期 [4][7] 就 被應(yīng)用于電網(wǎng)和包括機(jī)械系統(tǒng)一維運(yùn)動 在內(nèi)的 其他類型的集總物理系統(tǒng) ,。 2 機(jī)器人的錐齒輪傳動 通常一個(gè)機(jī)器人機(jī)械臂是一種開環(huán)運(yùn)動鏈 ,因?yàn)樗唵?,易于構(gòu)建。 構(gòu)件 6和 7是 輸入 裝置 。 基本回路方程 值得注意的是 在 圖 2中 ,每個(gè) 輪系邊緣都有一個(gè) 相關(guān)的基本 回 路。 令 齒輪副 的 節(jié)點(diǎn) 為 i和 j并且的轉(zhuǎn)移節(jié)點(diǎn)為 k 。 ω 52=n65 ω 62, （ 4） (3,7)(2)。 （ 6） 其中 ω ij是構(gòu)件 i 相對與構(gòu)件就的 相對旋轉(zhuǎn)角速度。 (iii)兩個(gè)構(gòu)件之間的轉(zhuǎn)動副 主要表現(xiàn) 通過一條定向的粗實(shí)線表示一個(gè)可控的真實(shí)或者虛擬的最終端口 ,這個(gè)轉(zhuǎn)動副與 測量角速度和 時(shí)間有關(guān) 。 (vii)任何的細(xì) 實(shí) 線添加到樹 型圖都會 形成了一個(gè)有一個(gè)細(xì) 實(shí) 線和幾個(gè) 粗實(shí)線 的 基本 回 路。 路徑 II ():節(jié)點(diǎn) 2 個(gè)（軸副 a和 b）。 （ b）運(yùn)動學(xué)分析 將公式（ 17）和（ 21）帶入公式（ 14）中 ω ,32= n73ω ,72。 在無導(dǎo)向 圖 形 技術(shù) 中粗實(shí)線 代表齒輪副和 細(xì)實(shí) 線代表 齒輪副 。 ω43=n54 ω53, (5,6)(2)。 where ωij refers to the relative angular velocity of link i with respect to j. For the robotic bevelgear train considered we have: ω53 = ω52 ω32。 c). Therefore, one can write the following equations for the gear pairs: []=[][] （ 14） []=[][] （ 15） []=[][] （ 16） From the thin lines in Fig. 5, we ?nd the following fundamental circuit equations: Fig. 5. The oriented graph representation of the Cincinnati Milacron T3 ω,72,= ω71ω21 （ 17） ω,62=ω61ω21 （ 18） ω,53=ω52ω32 （ 19） ω,52=ω52 （ 20） ω,32=ω32 （ 21） ω,43=ω43 （ 22） From the nodes the following fundamental cutset equations may be derived: M71 = M,72。 ω43 = n54(ω52 ω32 ). (31) Using Eqs. (29) and (31) we can writeω43 as ω43 = n54(ω52 ω32)= n54 (n65 (ω61 ω21) n73(ω71 ω21)) =n54(n73 n65) ω21 + n54n65ω61 n54n73ω71. (32) Hence, in matrix form 。 (26) M32 = M,32+ M,53。 c ...). This is shown in Fig. 3. (iv) The heavy lines constitute the tree branches of the graph (contains all the nodes and contains no circuits) [7]. (v) The oriented graph representation of a gearpair connection is shown in Fig. 4. The relation between the relative velocities and moments of the gears shown in Fig. 4 is = where and are the moments of gear i and gear j with respect to the carrier arm k,respectively. (vi) In order to determine the carrier arm (transfer node) of a gear pair we start from one of the nodes which represents the gear in meshes and go through the tree branches to reach the other gear. The node on this path, which has di?erent axis labels on opposite sides, is the transfer node of the gear pair. (vii) Any thin line added to the tree forms a fundamental circuit having one thin line and several heavy lines. (viii) The number of fundamental circuits is equal to the number of thin lines. Fig. 3. The oriented graph representation of a turning pair Fig. 4. The oriented graph representation of a gear pair connection Figure 5 shows the oriented graph representation of the Cincinnati Milacron is obtained .by replacing the turning and gear pairs with their oriented graph representations. Kine