【正文】 ? ? ? ? ? 第 n次觀測(cè)： {y1n, y2n, …, yT1n, yTn} ? 某河流一年的水位值， {y1, y2, …, yT1, yT,}，可以看作一個(gè)隨機(jī)過程。經(jīng)濟(jì)分析中主要研究離散時(shí)間序列。時(shí)間序列模型 ARIMA 時(shí)間序列分析概論 計(jì)量經(jīng)濟(jì)分析中 常用的數(shù)據(jù)類型 截面數(shù)據(jù) 時(shí)間序列數(shù)據(jù) 面板數(shù)據(jù) 一、什么是時(shí)間序列： 所謂時(shí)間序列數(shù)據(jù)，是指反應(yīng)社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、自然等現(xiàn)象的某一數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行時(shí)間上的觀察所得到的數(shù)據(jù)。 按照觀察時(shí)間是否連續(xù)可以分為離散時(shí)間序列和連續(xù)時(shí)間序列。 ? ?,tY t T?時(shí)間序列 ：隨機(jī)過程的一次實(shí)現(xiàn)稱為時(shí)間序列，也用 {Y t }或 Y t表示。) 表示 n個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)，則稱其為嚴(yán)平穩(wěn)過程或強(qiáng)平穩(wěn)過程。 15 321012320 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0w h i te n o i s e4202420 40 60 80 1 0 0 1 2 0 1 4 0 1 6 0 1 8 0 2 0 0D J P Y由白噪聲過程產(chǎn)生的時(shí)間序列（ nrnd） 日元對(duì)美元匯率的收益率序列 ? 隨機(jī)游走（ random walk）過程 ? 對(duì)于下面的表達(dá)式： xt = xt 1 + ut 如果 ut 為白噪聲過程，則稱 xt 為隨機(jī)游走過程。 0ttL x x?i t t iL x x? ???n次一階差分展開式： ，其中 12. 2 時(shí)間序列模型的分類 一般分為四種類型。這是容易理解的，如果 | ?1 | ? 1 ， 則 ( 1 ?1 L ) 1發(fā)散，于是xt 變成一個(gè)非平穩(wěn)隨機(jī)過程。其特征方程是 ( 1 0. 6 L + 0. 1 L2 ) = 0 [1 ( 0. 1 i ) L ] [ 1 ( 0 . 3 + 0. 1 i ) L ] = 0 特征方程的兩個(gè)根是， L1, L2 =ii?31??。 12. 2 時(shí)間序列模型的分類 2. 移動(dòng)平均過程 對(duì)于 M A ( 1) 過程 E( xt) = E ( ut) + E( ? 1 ut 1) = 0 V ar( xt) = V ar( ut) + V ar( ? 1 ut 1 ) = ( 1 + ? 12 ) ?u2 4202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0M A ( 1 ) 5 0 0 0 4 0 0 0 3 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 001 0 0 02 0 0 03 0 0 04 0 0 050 55 60 65 70 75 80 85 90 95 00 05D ( Y ) MA ( 1) 時(shí)間序列 中國(guó)糧食產(chǎn)量 差分 序列 1 2 .2 時(shí)間序列模型的分類 2. 移動(dòng)平均過程 不同 參數(shù)的 移動(dòng)平均 過程 。 很明顯 ， 雖然有限階移動(dòng)平均過程都是平穩(wěn)的，但 對(duì)于無限階移動(dòng)平均過程還須另加約束條件才能保證其平穩(wěn)性。 ? MA(q)模型，只需考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。 若 當(dāng) 期 減 滯后一期變量則稱為 1 階差分 ，若 當(dāng) 期 減 滯后 k 期變量則稱為 k 階差分 。 雖然自然科學(xué)領(lǐng)域中的許多時(shí)間序列都是平穩(wěn)的，但經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中多數(shù)宏觀經(jīng)濟(jì)時(shí)間序列卻都是非平穩(wěn)的，即其均值與方差是隨時(shí)間的變化而變化的。 1 050510152050 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0r a n d o m w a l k下面介紹一種典型的非平穩(wěn)隨機(jī)過 程， 隨機(jī)游走過程 。 dt 是 xt的線性確定性成分，如周期性成分、時(shí)間 t的多項(xiàng)式和指數(shù)形式等。如果一個(gè)序列如下式， xt = ? + dt + ut + ?1 ut 1+ ?2 ut 2 + … + 則 所有研究都是在 ( xt ? dt) 的基礎(chǔ)上進(jìn)行 。則過程 xt的期望是 E( xt) = ? / ? ( 1 ) = ? / ( 1 ?1 ?2 … ?p) = ? 期望 ? 和漂移項(xiàng) ? 的關(guān)系 是： ? ( 1 ) ? = ? 過程 ， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 可 以 寫為， ? ( L ) ( xt ? ) = ? ( L ) ut 因?yàn)榇蜷_ ( xt ? ) ，上式 寫為 ? ( L ) xt = ? ( 1 ) ? + ? ( L ) ut = ? + ? ( L ) ut ，與 原過程 相同。 用生成的序列演示。 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) A R IM A 過程 一般 表達(dá)式 ： ? ( L ) Ddyt = ? + ? ( L ) ut 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別是 p 階 自回 歸和 q 階 移動(dòng)平均算子。 在學(xué)習(xí)了第 1 3 章 的知識(shí) 后也可以用 DF 、 A D F 檢驗(yàn)判別隨機(jī)過程的平穩(wěn)性。 建立時(shí)間序列 A R IM A 模型的步驟 1 ． 識(shí)別 用相關(guān)圖和偏相關(guān)圖識(shí)別模型形式（確定參數(shù) d, p , q ）。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 表 1 AR MA 過程的自相關(guān)函數(shù)和 偏自相關(guān)函數(shù) MA （ 1 ） xt = ut + ?1ut 1 若 ?1 0 ， k =1 時(shí)有 正峰值然后截尾。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 表 1 AR MA 過程的自相關(guān)函數(shù)和 偏自相關(guān)函數(shù) AR M A （ 1 ， 1 ） xt = ?1xt 1 + ut + ?1ut 1 k =1 有峰值 然后按指數(shù)衰減。 用殘差序列計(jì)算 Q 統(tǒng)計(jì)量 。 （第 3版 309頁(yè)） 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 4 . 時(shí)間序列模型預(yù)測(cè) 若上面所用的 xt 是 yt的 差分變量， D yt = xt，則 yt = yt 1 + D yt 原序列 T +1 期預(yù)測(cè)值應(yīng)按下式計(jì) 算 111 ??? ???? ???? TTTTT xyDyyy 對(duì)于 t T +1 ，預(yù)測(cè)式是 , . . .3,2,?? 1 ??????? TTtDyyy ttt 其中1? ?ty是相應(yīng)上一步的預(yù)測(cè)結(jié)果。估計(jì)結(jié)果見 下 表 ： 表 1 中國(guó)人口差分序列的 5 個(gè) AR I MA 模型估計(jì)結(jié)果 D(y ) AR M A(1 , 1 ) AR (1 ) AR (2 ) M A( 1 ) M A( 2 ) ? 0 . 1 4 2 6 ( 1 0 . 1 ) 0 . 1 4 2 9 ( 8 . 7 ) 0 . 1 4 3 4 ( 1 0 . 4 ) 0 . 1 4 1 9 ( 1 4 . 1 ) 0 . 1 4 2 1 ( 1 1 . 6 ) AR (1 ) 0 . 4 0 0 7 ( 2 . 0 ) 0 . 6 1 7 1 ( 5 . 4 ) 0 . 7 3 4 8 ( 5 . 1 ) ? ? ? ? AR (2 ) ? ? ? ? 0 . 1 9 6 1 ( 1 . 4 ) ? ? ? ? M A( 1 ) 0 . 3 6 8 1 ( 1 . 8 ) ? ? ? ? 0 . 6 1 5 1 ( 5 . 5 ) 0 . 7 7 2 8 ( 5 . 6 ) M A( 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . 2 3 9 8 ( 1 . 7 ) R2 0 . 4 0 9 9 0 . 3 7 9 3 0 . 3 9 9 1 0 . 3 7 0 . 4 1 Q (1 5 ) 5 . 7 (0 . 9 6 ) 6 . 6 (0 . 9 5 ) 6 . 7 (0 . 9 2 ) 1 3 . 9 ( 0 . 4 6 ) 6 . 9 9 ( 0 . 9 0 ) 1 9 5 0 2 0 0 0 51 51 51 51 51 表 1 中第 2 個(gè)估計(jì)結(jié)果是最好的 。 所以模型的隨機(jī)誤差序列 滿足 非自相關(guān)的要求 。 對(duì)上式兩側(cè)求期望， E( D yt) =61 05 ?= 0. 142 9 。 （ 2 ） 71 含義是 前一 期 值 以 1 倍 的 強(qiáng)度 影響 當(dāng) 期 值 。 EViews 7 注意表達(dá)式寫法 1 2 . 7 案例分析（ 中國(guó)人口時(shí)間序列模型 ） 表達(dá)式是 D yt = 0 .1429 + 171 ( D yt 1 0 .1429) + ut ( ) ( ) R2 = 0. 38 , Q ( 10) = 5 . 2 , Q? ( k p q ) = Q0. 05 (1 0 2 ) = 1 5. 5 （ 1 ） t 檢驗(yàn)通過。若以 1 97 0 年為界，把 51 年分為兩個(gè)時(shí)期，即 執(zhí)行計(jì)劃生育政策 以前時(shí)期（ 1949 ? 197 0 ）和 執(zhí)行計(jì)劃生育政策 以后時(shí)期（ 1 97 1 ? 20 0 6 ），則前一個(gè)時(shí)期的人口年平均增長(zhǎng)率為 20 .5 ‰ ，后一個(gè)時(shí)期的年平均增長(zhǎng)率為 14 .1 2 ‰ 。 設(shè)對(duì)時(shí)間序列樣本 { xt}, t = 1, 2, …, T ，所擬合的模型是 xt = ?1 xt 1 + ut + ?1 ut 1 則理論上 T + 1 期 xt的值應(yīng)按下式計(jì)算， xT + 1 = ?1 xT + uT +1 + ?1 uT （ 取 uT + 1 = 0 ） 。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) ARIMA模型識(shí)別舉例 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 2. 模型參數(shù)的估計(jì) （ 不講 ） 3. 診斷與檢驗(yàn) 一是檢驗(yàn)?zāi)Ｐ蛥?shù)的估計(jì)值是否具有統(tǒng)計(jì)顯著性；二是檢驗(yàn)殘差序列的 非自相關(guān)性 。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 12. 6 時(shí)間序列模型的建立與預(yù)測(cè) 表 1 AR MA 過程的自相關(guān)函數(shù)和 偏自相關(guān)函數(shù) AR （ 2 ） xt = ?1xt 1 + ?2xt 2 + ut 指數(shù)或正弦衰減。 1 . 0 0 . 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 AR （ 1 ） xt = ?1xt