【正文】 1 + ut 若 ?1 0 ， 平滑地指數衰減。差分后若數據的 極差變大，說明差分 次數太多 了。 它既包括了 AR ， MA 和 A R MA 過程，也包括了 AR I ， I MA和 AR I MA 過程。 偏自相關函數由下式中的紅項組成。 （ 1 ）因為 自相關函數 值是零對稱的，所以通常只觀察 自相關函數 的右半部分， ? 0 , ? 1 , ? 2 , ... 。 對上 式 取 期望 , E( xt) E ( xt 1) E ( xt 2) = ( 1 0. 4) E ( xt) = 0 .05 E( xt) = ? =???= 其中 ( 1 0. 4 ) = 是自回歸特征多項式 ? ( L ) = ( 1 L L L ) ， 當 L =1時的值。當 dt = 0 時，稱 xt為純 線性非確定性過程。隨機游走過程是 p = q = 0 ， d = 1 條件下的A R IM A ( p , d , q ) 過程?？紤]如下模型， ? ( L ) Ddyt = ? ( L ) ut ( 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp ) ( 1 L ) d yt = (1 + ? 1 L + ? 2 L2 +… + ? q Lq ) ut 其中 Ddyt表示 yt經過 d 次差分變?yōu)槠椒€(wěn)過程 ； ? ( L ) 是平穩(wěn) 過程 的自回歸算子 ； ? ( L ) 是 平穩(wěn)過程 的移動平均算子，則稱 yt 為 ( p , d , q ) 階單 積（ 單 整 ） 自回歸移動平均過程，記為 A R IM A ( p , d , q ) 。 注意 ： （ 1 ） 對于 差分 算子 Dkd， 其 上 標 表示 差分 次 數， 其 下 標 表示 差 分階 數。其 可逆性則只依賴于移動平均部分 ，即 ? ( L ) = 0 的根取值應在單位圓之外。 (2 ) 對于 MA ( q ) 過程，不必考慮平穩(wěn)性問題，只需考慮可逆性問題。即必須有 | Hj | 1 或 | Hj 1| 1 ， j = 1 ， 2 ， … ， q 成立。 q??? , 21 ?2u? 由定義可知，任何一個 q階移動平均過程都是由 q+1個白噪聲過程的加權和組成，由于白噪聲過程是平穩(wěn)的，所以 任何一個移動平均模型都是平穩(wěn)的 。 xt 具有平穩(wěn)性的條 件是 ? ( L ) 1 必須收斂，即應有 | Gi | 1, i = 1 , 2, …, p 。用滯后算子表示 ? 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp) xt = ? ? L ) xt = ut 其中 ? ? L ) = 1 ? 1L ? 2 L2 … ? p Lp 稱為 自回歸算子 ，或 自回歸 特征多項式 。 ? 滯后算子適用于分配律。 直觀的看，平穩(wěn)的數據可以看作是一條圍繞其均值上下波動的曲線。 { y21, y22, …, y2n,} 構成了 y2取值的樣本空間。 隨機性時間序列分析方法： ARIMA模型等。 6420242 5 0 0 5 0 0 0 7 5 0 0 1 0 0 0 0 1 2 5 0 0 1 5 0 0 0 1 7 5 0 0SH04 , 0 0 08 , 0 0 01 2 , 0 0 01 6 , 0 0 02 0 , 0 0 02 4 , 0 0 01 9 8 0 1 9 8 5 1 9 9 0 1 9 9 5 2 0 0 0 2 0 0 5 2 0 1 0G D P19782023年 國內生產總值不變價 2023年 上證綜指 3分鐘收益率數據 ? 時間序列具有如下幾個特點： ? 時間序列是對相關的指標變量在不同時間進行觀察得到的結果。 ? 時間序列中的數據可以是一個時期內的數據也可能是一個時點上的數據 。 模擬時間序列數據： 一、時間序列分析的幾個基本概念 8 由隨機變量組成的一個有序序列稱為 隨機過程 ，記為 ，簡記為 Yt。 9 隨機過程的分布及其數字特征 設 {Yt}為一個隨機過程，對任意一個 ， Yt的分布函數為： tT? ( ) ( )tYtF y P Y y??對任意給定的 ，隨機過程 {Yt}有兩個隨機 與之對應，其聯合分布函數為： 12,t t T?12,ttYY 1212, 1 2 1 2( , ) ( , )ttY Y t tF y y P Y y Y y? ? ?一般的，對于任意 的聯合分布函數為： 112, , , , , , , mm t tm N t t t T Y Y?? 112, , , 1 2 1( , , , ) ( , , )t t t mmY Y Y m t t mF y y y P Y y Y y? ? ?均值方程： ( ) ( )tt t YE Y y dF y? ????? ?方差函數： 22( ) [ ( ) ] ( )tt t t YD Y y E Y dF y????? ? ??自協(xié)方差函數： ? ? ? ? ,( , ) ( , )t s t t s s t sC ov Y Y E Y E Y Y E Y t s??? ? ? ? ?????自相關函數（ ACF)： ? ? ? ? ? ?, ( , ), ( , ),t s t stst s C or Y Yt s s??? ??? ? ??偏自相關函數（ PACF)： ? ? ? ? ? ?1111 ( , , , ), ( , , , ) ,t s s tt s s t C ov Y Y Y Yt s C or Y Y Y Y t t s s? ?????? ?隨機過程的平穩(wěn)性 ? 隨機過程的平穩(wěn)性是指隨機過程的統(tǒng)計特征不隨時間的推移而發(fā)生變化。 下面，我們用由 Eviews軟件模擬一個均值為 標準差為 、樣本量為 500的平穩(wěn)數據。 0( 1 ) ( 1 )nn n i iniL C L?? ? ??!! ( ) !inC i n i? ?Lc c? i j i jt t t t i t ? j( L L ) x L x L x x x?? ? ? ? ??滯后算子適用于結合律。 時間序列模型 12. 2 時間序列模型的分類 A R ( p ) 過程中 最常用的是 1 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ut 和 2 階自回歸過程 ： xt = ?1 xt 1 + ?2 xt 2 + ut 64202450 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 3 0 0 2 0 0 1 0 001 0 02 0 01 9 9 9 2 0 0 0 2 0 0 1 2 0 0 2 2 0 0 3 2 0 0 4 2 0 0 5 2 0 0 6D ( Y ) AR( 1) 序列 中國旅游人數 差分 序列 12. 2 時間序列模型的分類 與自回歸模型常聯系在一起的是平穩(wěn)性問題 。而 Gi 1, i = 1, 2, …, p 是特征方程 ? ( L ) = 0 的根，所以保證A R ( p ) 過程具有平穩(wěn)性的條件是特征方程的全部根必須在單位圓（半徑為 1 ）之外，即 | 1/ Gi | 1 。 ? （ 2）移動平均模型的可逆性 ? 對于 MA(1)模型： 27 11t t tx u u? ??? 給定條件 ，如果 MA(1)模型可以表述為 1|| 1 ?? 231 1 1 2 1 3t t t t tx x x x u? ? ?? ? ?? ? ? ? ?即 MA(1)模型可以轉化為一個無限階的自回歸模型，我們稱MA(1)模型具有 可逆性 。而 Hj 1是特征方程 ? ? L ) = 0 的根，所以 MA ( q ) 過程具有可逆性的條件是特征方程 ? ? L ) = 0 的根必須在單位圓之外。條件是 ? ? L ) = 0 的根（絕對值）必須大于 1 。 1 2 . 2 時間序列模型的分類 3. 自回歸移動平均過程 A R M A ( 1, 1) 過程 ： xt ?1 x t 1 = ut + ?1 ut 1 或 ( 1 ?1 L ) xt = ( 1 + ? 1 L ) ut 只有當 1 ?1 1 和 1 ? 1 1 時，上述模型才是平穩(wěn)的，可逆的。 （ 2 ） 對于 滯后算子 Lk， 其 上 標 表示 滯后 階 數。 這種取名的目的是與后面的稱謂相一致。因為 ? 1 = 1 ，隨機游走過程的特征方程中含有單位根，所以隨機游走過程是非平穩(wěn)的隨機過程。 W ol d 分解定理只要求過程 2 階平穩(wěn)即可。 ? ? ( 1 ) = 0. 05 就是漂移項與均值的關系。 （ 2 ）因為當滯后期 k = 0 時， ? 0 = 1 ，所以 自相關函數 通常只觀察 ? 1 , ? 2 , ... 。 x t = ? 11 x t 1 + u t x t = ? 21 x t 1 + ? 22 x t 2 + u t … x t = ? k 1 x t 1 + ? k 2 x t 2 + … + ? kk x t k + u t 偏 自相關 系數：剔除本期以前各期自回歸 項 影響的自回歸系數值， ? kk 。 建立時間序列模型通常包括 三個步驟。 3 ． 在平穩(wěn)時間序列基礎上識別A R M A 模型階數。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 若 ?1 0 ， 正負交替地指數衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 k = 1 , 2 時有兩個峰值 然后截尾。 參數估計值的顯著性檢驗是通過 t 統(tǒng)計量完成的，而模型殘差序列 非自相關 性的判別是用 Q 統(tǒng)計量完成的。 xT + 1的預測按下式進行。從人口序列 的變化特征看，這是一個非平穩(wěn)序列。（ 2 ） Q 檢驗通過。 注意 ： （ 1 ） E V i e w s 估計結果給的是 ( D yt 429) 的 A R ( 1) 過程估計結果，而不是 D yt的 A R ( 1) 過程估計結果。 （ 3 ） 整理 估計 式 D yt = 0 .1 429 + 0. 6171 ( D yt 1 429 ) + ut得， Dyt = 47 + 0 .617 1 Dyt 1 + ut 其中 7 是漂移項。 Q ( 10) = 5 . 2 ， 相應 p =0. 8 。 人口差分序列 D yt的相關圖和偏相關圖 （ 1 9 4 9 ? 2 0 0 0 ） （虛線到中心線的距離是 2 (1 /51) = 0 . 2 8 ） （ 1 9 4 9 ? 2 0 0 0 ） .1.0.1.2.350 52 54 56 58 60 62 64 66 68 70 72 74 76 78 80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00D Y . 1 4 2 3 案例分析（ 中國人口時間序列模型 ） 經分析有可能建立的模型形式有 A R M A ( 1,1) 、 A R ( 1) 、