【正文】 求函數(shù) ??? ???? ??? tttu ,1 ,0)(的拉氏變換。 答： ④ 。 a 0 τ t 圖 ① sa ； ② ses ??1 ； ③ sesa ?? ； ④ sesa? 。 例 已知)1(10)( ?? sssF 。 解： 部分分式法： 23)2)(3( 161)( 212 ?????? ???? ?? s Cs Css sss ssF 其中 52)3()2)(3( 1 31 ???? ?? ??ssss sC 53)2()2)(3( 1 22 ???? ?? ?ssss sC 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 18 所以 )21(53)31(52)( ???? sssF 因此 )(sF 的拉氏反變換為 ? ?tt eesLsLssLsFLtf231111535221533152))2(1(53))3(1(52)()(?????????????????????????????????? 第 2章 輔導(dǎo) 機(jī)械系統(tǒng) 機(jī)械旋轉(zhuǎn)系統(tǒng)如圖所示。 編寫控制系統(tǒng)微分方程的一般步驟為： (l) 首先確定 系統(tǒng)的輸入量和輸出量； (2) 將系統(tǒng)劃分為若干個環(huán)節(jié)，確定每一環(huán)節(jié)的輸入量和輸出量。設(shè)法消去中間 變量，最后得到只包含輸入量和輸出量的方程式。 +Δ F。 (4) 線性化只能運(yùn)用沒有間斷點(diǎn)、折斷點(diǎn)和非單值關(guān)系的函數(shù)，對具有本質(zhì)非線性元件的非線性系統(tǒng)是不適用的。 6. 傳遞函數(shù)只能用于研究單輸入、單 輸出系統(tǒng)，它只能反映輸入和輸出間的關(guān)系，并且對于非零初始狀態(tài)的系統(tǒng)運(yùn)動特性不能反映。 慣性環(huán)節(jié)的特性由時間常數(shù) T 和放大系數(shù) K 決定。 (五 ) 一階微分環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié)有理想微分環(huán)節(jié)和實際微分環(huán)節(jié)之分。 （ 2）方框：方框中為元部件的傳遞函數(shù)。 U(s) (a) U(s) U(s) (c) 177。 （ 1）在 R(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 設(shè) N(s)＝ 0，應(yīng)用反饋運(yùn)算法則得閉環(huán)傳遞函數(shù) )()()(1 )()()( )()( 21 21 sHsGsG sGsGsR sCs RR ???? 故 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 25 )()()()(1 )()()()()( 21 21 sRsHsGsG sGsGsRssG RR ???? （ 2）在 N(s)作用下的閉環(huán)傳遞函數(shù) 應(yīng)用反饋運(yùn)算法則得閉環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()(1 )()( )()( 12 2 sHsGsG sGsN sCs NN ???? 故 )()()()(1 )()()()( 12 2 sNsHsGsG sGsNssC NN ???? （ 3）合成輸出響應(yīng) 根據(jù)疊加原理，給定量和擾動量兩種輸入同時作用下的系統(tǒng)合成響應(yīng)為 )()()()(1 )()()()()(1 )()()()()( 21 221 21 sNsHsGsG sGsRsHsGsG sGsGsCsCsC NR ?????? 由上式可知，當(dāng) |G1(s)G2(s)H(s)|1 和 |G1(s)H(s)|1 時，Φ N(s)≈ 0，這意味著擾動 N(s)的影響被抑制掉了。 第 3 章 輔導(dǎo) 控制系統(tǒng)典型的輸入信號 1. 階躍函數(shù) 階躍函數(shù)的定義是 ???? ??0 ,00 ,)(ttAr tx 式中 A 為常數(shù)。拋物線《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 28 函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At2]=2A/s3 當(dāng) A＝ 1/2 時，稱為單位拋物線函數(shù)，即 Xr(s)=1/s3。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 29 上升時間 rt 階躍響應(yīng)從終值的 10％上升到 終值的 90％ 所需的時間；對有振蕩的系統(tǒng)，也可定義為從 0 到第一次達(dá)到終值所需的時間。 因為單位階躍函數(shù)的拉氏變換為 R(s)=1/s，故輸出的拉氏變換式為 11111)()()( ????????? Ts TssTssRssC 取 C(s)的拉氏反變換得 tTec(t) 11 ??? 或?qū)懗? ttss ccc(t) ?? 式中， css=1，代表穩(wěn)態(tài)分量； tTtt ec 1??? 代表暫態(tài)分量。其時域響應(yīng)必然包含二個衰減的指數(shù)項，其動態(tài)過程呈現(xiàn)非周期性，沒有超調(diào)和振蕩。 2. 峰值時間 tp及最大超調(diào)量 Mp 21 ????? ???ndpt 最大超調(diào)量 ??? )1/(m a x 2)( ?????? eccM p 最大超調(diào)百分?jǐn)?shù) %1 0 0.)( )(% )1/(m a x 2 ???? ???? ??? ec ccc 3. 調(diào)整時間 ts 4)]1ln (214[1%)2( 3)]1ln (213[1%)5(22????????????????????????，nnsnnstt 圖 313 二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的一對包絡(luò)線 圖 314 調(diào)節(jié)時間和阻尼比的近似關(guān)系 根據(jù)以上分析，二階振蕩系統(tǒng)特征參數(shù)ζ和ω n與瞬態(tài)性能指標(biāo) (δ 4. 振蕩次數(shù) μ 在調(diào)整時問 ts之內(nèi)，輸出 c(t)波動的次數(shù)稱為振蕩次數(shù) μ，顯然 fstt?? 式中 2122 ?? ??? ???ndft ， 稱為阻尼振蕩的周期時間。下面討論這種情況下的二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標(biāo)。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 30 一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng) 二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng) 典型二階系統(tǒng)方框圖，其閉環(huán)傳遞函數(shù)為： ? ? ? ?? ? vm vmv mv KssT KsTsK sTsKsR sCs ????? ???? 2)1(/1 )1(/ 22 22 nnn ss ???? ??? 式中 Kv開環(huán)增益； ω n無阻尼自然 頻率或固有頻率，mvn TK?? ； ζ 阻尼比，mnT?? 21? 。 2 穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo) 穩(wěn)態(tài)誤差是時間趨于無窮時系統(tǒng)實際輸出與理想輸出之間的誤差，是系統(tǒng)控制精度或抗干擾能力的一種度量。單位脈沖函數(shù)δ (t)可認(rèn)為是在間斷點(diǎn)上單位階躍函數(shù)對時間的導(dǎo)數(shù)，即 反之，單位脈沖函數(shù)δ (t)的積分就是單位階躍函數(shù)。該函數(shù)的拉氏變換是 Xr(s)=L[At]=A/s2 這種函數(shù)相當(dāng)于隨動系統(tǒng)中加入一按恒速變化的位置信號，該恒速度為 A。 （ 4）系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù) 以誤差信號 E(s)為輸出、以給定量 R(s)或干擾量 N(s)為輸入量的閉環(huán)傳遞函數(shù)稱為系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)。這叫做方框圖變換 (或簡化 )。 圖 組成動態(tài)結(jié)構(gòu)圖的基本單元 2. 結(jié)構(gòu)圖的運(yùn)算法則 系統(tǒng)各環(huán)節(jié)之間一般有三種聯(lián)接方式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接。實際微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)常帶有慣性環(huán)節(jié)，即 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=Ks/(Ts+1) 微分環(huán)節(jié)是自動控制系統(tǒng)中經(jīng)常用于改善系統(tǒng)性能的環(huán)節(jié) . (六 ) 二階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié)的運(yùn)動方程為 )]()(2)([)( 222 txdt tdxdt txdKtx rrrc ??? ??? 相應(yīng)地二階微分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為 )12()( 22 ??? ssKsG ??? 可見二階微分環(huán)節(jié)的輸出不僅決定于輸入量本身，還決定于它的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)。如機(jī)械位能和動能之間，電能和磁能之《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 22 間的轉(zhuǎn)換等。純放大環(huán)節(jié)是很少見的，多數(shù)是忽略某些次要因素后視為放大環(huán)節(jié)。 2．傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s 的有理真分式，分母多項式的次數(shù) n 高于分子多項式的次數(shù) m(這是控制系統(tǒng)的物理性質(zhì)決定的 )，而且其所有系數(shù)均為實數(shù) (因為元件參數(shù)只能是實數(shù) )。工作點(diǎn)不同，得到線性化微分方程的系數(shù)也不同。 )，靜態(tài)方程式為 Ky。在此同時再做一些數(shù)學(xué)上的處理，如非線性函數(shù)的線性化。 解 根據(jù)牛頓第二定律，系統(tǒng)的諸力矩之和為 22s )()()(TT ( t) dt tdJtTt d ??? 式中： J—— 轉(zhuǎn)動系統(tǒng)的慣性矩； 扭矩 )()(Ts tKt ?? ， K—— 扭簧的彈性系數(shù)； 黏性摩擦阻尼力矩 dttdBtTd )()( ??， B—— 黏性摩擦系數(shù)。 （ 1）利用初值定理求 )0(f 和 )0(f? 的值。 ① te t sin2? ； ② tet sin2 ； ③ te t 2sin? ； ④ tet cos2 。 (3) 已知函數(shù) ttetf 52)( ??? 的拉氏變換為（ ）。 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 15 解：由初值定理和終值定理可得 )(lim)0( ssFfs ???=asss ??? 1lim=1 ??? ? )(lim)( 0 ssFf s asss ?? 1lim0 =0 例 已知 F(s)= 22 1as ?， 求 f(0)和 f (? )。 解：根據(jù)歐拉公式 tjte tj ??? sinc o s ?? tjte tj ??? sinc o s ??? 則 )(21c os tjtj eet ??? ??? )(21s in tjtj eejt ??? ??? 又根據(jù)拉普拉斯變換的線性性質(zhì)，有 ? ? ? ? ? ?tjtj eLeLtL ??? ??? 2121c os ? ? )( 1 ?? jseL tj ?? ， ? ? ?? jseL tj ??? 1 所以 ? ?2222 )(2 )()()(2 1)(2 1c os ?? ????? ??? ???????? s ss jsjsjsjstL 同理 ? ?2222 )(2 2)( 121)( 121s in ??????? ?????????? ssj jjsjjsjtL 例 已知 tetf 21)( ??? ，求 )(tf 的拉氏變換。 (3) 冪函數(shù) 性質(zhì) ① ),0( 212121 是復(fù)常數(shù)?????? ?? ? zzzz ② ?z 的每一單值分支在相應(yīng)的 Lnz的解析域內(nèi)也解析，且 1)()( ??????? ???? ?? zzeez L n zL n z (4) 三角函數(shù) 三角函數(shù)的性質(zhì) ① zsin 和 zcos 在復(fù)平上解析，且 zzzeejeezjzjzjzjzsin)(c osc os22)(sin??????????????? ????? 《機(jī)電控制工程基礎(chǔ)》書面輔導(dǎo)（ 16） 安慶電大 程曦 10 ② 周期性 ??? ?? ?? zkz zkz c o s)2c o s( sin)2sin( ?? ③ 奇偶性 ??? ?? ??? zz zz cos)cos( sin)sin( ④ 加法定理 ??? ?????212121212121 s ins inc o sc o s)c o s ( s inc o sc o ss in)s in ( zzzzzz zzzzzz ? ⑤ 平方關(guān)系 1cossin 22 ?? zz 拉氏變換的定義及常用函數(shù)的拉氏變換 拉普拉斯變