【正文】 紹 FIR 數(shù)字濾波器的特點(diǎn)， 分析 FIR 濾波器的設(shè)計(jì)方法，重點(diǎn)研究窗函數(shù)設(shè)計(jì) FIR 濾波器 ； 采用 MATLAB 軟件來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)字濾波器的基本知識(shí)，對(duì)FIR 帶通數(shù)字濾波器進(jìn)行設(shè)計(jì)和仿真 ，結(jié)合圖形對(duì)濾波器的性能進(jìn)行分析 。 在 數(shù)字信號(hào)處理應(yīng)用中往往需要設(shè)計(jì)線性相位的濾波器， FIR 濾波器在保證幅度特性滿足技術(shù)要 求的同時(shí)，很容易做到嚴(yán)格的線性相位特性。 線性相位條件 ： 對(duì)于長(zhǎng)度為 N 的 h(n),傳輸函數(shù)為 ??? ?? 10 )()( Nn njj enheH ?? (214) )()()( ??? ? jgj eHeH ? (215) 式中， )(?gH 稱為幅度特性， )(?? 稱為線性相位特性。 任何數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng) ()jAe? 都是 ω 的周期函數(shù)，它的傅立葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式為 ： 10( ) ( )NjjdnH e h n e??? ??? ? (221) 式 中 ， 12 212 10 2sin[ ( ) ]() ()Ljn cdd Lnh H e d n? ?? ?? ?????? ?? (222) 其中的 c? 為濾波器的歸一化的截止頻率。當(dāng)選用主瓣寬度較窄時(shí)， 雖然得到較陡的過(guò)渡帶，但通帶和阻帶的波動(dòng)明顯增加 ： 當(dāng)選用最小的旁瓣幅度時(shí)，雖能得到勻滑的幅度響應(yīng)和較小的阻帶波動(dòng)，但過(guò)渡帶加寬。 布萊克曼（ Blackman）窗 圖 229 濾波器頻率響應(yīng) 圖 2210 布萊克曼 窗 函數(shù)的脈沖響應(yīng) 窗函數(shù)：Bl24( ) [ 0 .4 2 0 .5 c o s( ) 0 .0 8 c o s( ) ] ( )11 Nnnw n R nNN??? ? ??? (2213) 頻率響應(yīng)： 22( ) ( )11B l R44( ) ( )11R( ) 0 .4 2 ( ) 0 .2 5 { [ ( ) ] [ ] } 0 .0 4 {W [ ] [ ] }jjjj NNRRjjNNRW e W e W e W ee W e??????????????????? ? ??? (2214) 幅度響 應(yīng)： )]14()14([ )]12()12([)()( R?????????????NWNWNWNWWWRRRRBl?????????? (2215) (4)凱塞 (Kaiser)窗 圖 2211 濾波器頻率響應(yīng) 圖 2212 凱塞 窗 函數(shù)的脈沖響應(yīng) 數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 10 這是一種適應(yīng)性較強(qiáng)的窗，是一種最優(yōu)和最有用的窗。 60 /N 177。該方法在數(shù)字信號(hào)處理中占有重要的地 位，是設(shè)計(jì) FIR 濾波器 理想的方法。(2221)式中的 cos( )n? 項(xiàng)可表示為不同冪次之和， ()jeAe? 可改寫(xiě) 為 0( ) (c os )LjkekkA e a? ??? ? (2222) 式 中， ka 是與 ()ehn相關(guān)的常數(shù)。由 (2222)， (2224)式可以解出系數(shù)組 ka 和 δ 。直接由差分方程可畫(huà)出對(duì)應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。其單位沖擊響應(yīng)有如下特性 ： ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? (234) 當(dāng) N 為偶數(shù)， / 2 1 ( 1 )0( ) ( ) [ ]N n N nnH z h n z z? ? ? ? ????? (235) 其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (信號(hào)流圖 )如圖 234( A)所示 當(dāng) N 為奇數(shù)， 12/ 2 1 ()( 1 ) 120( ) ( ) [ ] ( )nN n N n NnH z h n z z h z ?? ?? ? ? ? ??? ? ?? (236) 其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu) (信號(hào)流圖 )如圖 234 (B)所示 ()xn1z ? 1z ? 1z ?1z ? 1z ? 1z ?( 0)h ( 1 )h ( 2 )h2( 1 )Nh ? 2()Nh()yn （ A） ( )x n1z? 1z? 1z?1z?1z? 1z?( 0 )h( 1 )h ( 2 )h( )y nz 22()Nh ? 12()Nh ? (B) 圖 234 線性相位 FIR 濾波器的直接型結(jié)構(gòu) 數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 15 該結(jié)構(gòu)的優(yōu)點(diǎn)是 ： 簡(jiǎn)化網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)。 FIR 濾波器常表示為直接型和轉(zhuǎn)置型兩種結(jié)構(gòu)，兩種結(jié)構(gòu)的功能是等效的。 FIR 濾波器的實(shí)現(xiàn)方法 數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方法一般有以下幾種 (1)用計(jì)算機(jī)軟件實(shí)現(xiàn) 軟件實(shí)現(xiàn) 方法即是在通用的微型計(jì)算機(jī)上用軟件實(shí)現(xiàn)。用可編程 DSP 芯片實(shí)現(xiàn)數(shù)字濾波可通過(guò)修改濾波器的參數(shù)十分方便的改變?yōu)V波器的特性。 Matlab 大大降低了對(duì)使用者的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和計(jì)算機(jī)語(yǔ)言知識(shí)的要求，而且編程效率和計(jì)算效率極高，還可在計(jì)算機(jī)上直接輸出結(jié)果和精美的圖形拷貝，所以它的確為一高效的科研助手。 MATLAB 提供了相應(yīng)的子程序來(lái)實(shí)現(xiàn)窗函數(shù)，例如 ： wd=boxcar(N) %數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)矩形窗函數(shù) wd=triang(N) %數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)三角窗函數(shù) wdharming(N) %數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)漢寧窗函數(shù) wd=hamming(N) %數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)哈明窗函數(shù) wd=blackman(N) %數(shù)組 wd 中返回 N 點(diǎn)布萊克曼窗函數(shù) wd=kaiser(N, beta) %數(shù)組 wd 中返回給定 beta 值時(shí) N 點(diǎn)凱塞窗函數(shù) 數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 19 這些函數(shù)的輸入一般只要窗函數(shù)的長(zhǎng)度 N 就夠了，只有凱塞 窗還需要規(guī)定 beta值。在設(shè)計(jì)時(shí)借助 Matlab 工具箱，選擇合適的窗函數(shù)，可以方便地計(jì)算濾波器系數(shù)，并分析其幅頻特性。 一 、 MATLAB 仿真過(guò)程 根據(jù)對(duì)濾波器的要求 ， 濾波器的理想頻率響應(yīng) 為 ()jdHe? 當(dāng) 12cc? ? ??? 時(shí)，理想頻率響應(yīng) ()j j ndH e e???? 當(dāng) ?為 其 他 值 時(shí)，理想頻率響應(yīng) ( ) 0jdHe? ? 利用傅里葉逆變換，求出理想濾波器的單位沖擊響應(yīng) ()dhn 數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 21 0? ?2?2? ??帶 通 ()jdHe ?? 2 π π π 2 π0)(ej ?H低通? 圖 321 帶通 及低通 濾波器的幅度響應(yīng) 由理想濾波器的帶通公式、低通公式可得：一個(gè)帶通濾波器相當(dāng)于兩個(gè)低通濾波器相減，其中一個(gè)截止頻率為 1? ，另一個(gè)截止頻率為 2? ，即 12( ) ( ) ( )B P L Lh n h n h n?? (321) 則，所求的理想帶通濾波器的單位沖激響應(yīng) 211 2 s in [ ( ) ]( ) ( ) ()j j n cL nah n H e e d na? ??? ? ?? ???? ??? ?? (322) 112 2 s in [ ( ) ]( ) ( ) ()j j n cL nah n H e e d na? ??? ? ?? ???? ??? ?? (323) 21s in [ ( ) ] s in [ ( ) ]() ( ) ( )ccd n a n ahn n a n a?????????? (324) 式中 a 為線性相位 所必須的位移，且需滿足 12Na ?? =177 圖 322 為所求的 ()dhn的單位沖激響應(yīng)。其二進(jìn)制移相鍵控信號(hào)時(shí)域表達(dá)式為： ( ) [ ( )] c o sp s k n s e t a g t n T t???? (328) 圖 326 PSK 信號(hào)的頻譜圖 對(duì)于 PSK 帶通信號(hào) 的 頻譜，其 頻寬 是碼速率的兩倍 。 四、 FIR 數(shù)字濾波器的性能分析 濾波器的性能的好壞可以影響到通信質(zhì)量、電子產(chǎn)品的性能。 因此，它 的經(jīng)濟(jì)性就相對(duì)差一些 。最后，工作要有信心，要虛心，要不畏困難、不斷進(jìn)取，這樣才可以保證課題研究工作的圓滿完成。鄭老師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)，待人熱情，對(duì)學(xué)生認(rèn)真負(fù)責(zé)等等都給了我很好的教導(dǎo)。在此，對(duì)他們的教導(dǎo)，我再一次表示真誠(chéng)的感謝，并祝他們工作順利，生活平安，合家歡樂(lè)。此外，我還要感謝這四年來(lái)所有的我的任課老師，正是他們幾年來(lái)的教導(dǎo)，我才具備了完成畢業(yè)設(shè)計(jì)必須具備的理論知識(shí)。最后，利用 MATLAB 對(duì)所設(shè)計(jì)的數(shù)字濾波器進(jìn)行了仿真。論文涉及許多算法，會(huì)用到很多理論知識(shí)，需要日積月累、不斷的學(xué)習(xí)。此外， FIR 濾波器可以采用快速傅里葉變換算法，使它的性能大幅提高。 圖 327 濾波后 PSK 信號(hào)的頻譜圖 數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 24 經(jīng)過(guò)所設(shè)計(jì)的 FIR 濾波器 后 ，其頻譜 為 圖 327 所示 。 圖 324 理想帶通濾波器的幅度響應(yīng)及相位響應(yīng) 由 圖 324 可以看出對(duì)于所設(shè)計(jì)的濾波器通帶衰減為 1dB，阻帶衰減為 60dB，很數(shù)字濾波器 結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì) —— FIR 數(shù)字濾波器設(shè)計(jì) 23 好的達(dá)到了設(shè)計(jì)的要求 。 根據(jù)要求，所設(shè)計(jì)的濾波器的指標(biāo)： 濾波器的中心頻率 cf =2020hz； 濾波器的帶寬 B=600。 總之， Matlab 語(yǔ)言的設(shè)計(jì)思想可以說(shuō)代表了當(dāng)前計(jì)算機(jī)高級(jí)語(yǔ)言的發(fā)展方向 。功能工具包用來(lái)擴(kuò)充 MATLAB 的符號(hào)計(jì)算，可視化建模仿真，文字處理及實(shí)時(shí)控制等功能。這一方法由于具有通用性的特點(diǎn)并可以實(shí)現(xiàn)算法的并行運(yùn)算，無(wú)論是作為獨(dú)立的數(shù)字信號(hào)處 理，還是作為 DSP 芯片 協(xié)作處理器 ,都是比較活躍的研究領(lǐng)域。 (2)采用 DSP 處理器來(lái)實(shí)現(xiàn) DSP 處理器是專為數(shù)字信號(hào)處理而設(shè)計(jì)的，如 TI 公司的 TMS320CX 系列， AD公司的 ADSP2IX, ADSP210X 系列等。直接型的缺點(diǎn)是需要一個(gè)多輸入加法器， 當(dāng)FIR 階數(shù)較大 時(shí)，多輸入加法器的實(shí)現(xiàn)復(fù)雜、遲延較大，直接型結(jié)構(gòu)也不便于多個(gè) FIR濾波器級(jí)聯(lián) 擴(kuò)展。 H(k)與系統(tǒng)函數(shù)之間的關(guān)系可用內(nèi)插公式表示 ： 1110 ()( ) (1 ) 1NNN kk NHkH z z Wz??????? ?? (237) 由上看出， FIR 系統(tǒng)可用一子 FIR 系統(tǒng)和一子 IIR 系統(tǒng)級(jí)聯(lián)而成。 (2)級(jí)聯(lián)型 (串聯(lián)型 ) 當(dāng)需要控制濾波器的傳輸零點(diǎn)時(shí)，可將傳遞函數(shù)分解為二階實(shí)系數(shù)因子的形式 /2 12121( ) ( )Nok k kkH z z z? ? ????? ? ?? (233) 式中， H(z)為 h(n)的 z 變換 ； ok? 、 1k? 、 2k? 為實(shí)數(shù)。若對(duì)通帶和阻帶中的所有 ω ，都有 | ()E? |? ，則說(shuō)明已達(dá)到最佳逼近。這里的 0 ????閉子集。對(duì)于 I 型 FIR 數(shù)字濾波器，其頻響可表示為 ： 1( ) ( 0 ) 2 ( ) c o s( )Ljd e enA e h h n n? ???? ? (2221) 其中， ()ehn為濾波器系數(shù)， L = M/2, M 為濾波器階數(shù)。 100 表 222 凱塞窗參