自考線性代數學習指導-文庫吧在線文庫
【正文】 定義：若對于矩陣，存在可逆矩陣，使得為對角矩陣，則稱對角矩陣為的相似標準形性質： 與的特征值完全相同，就是矩陣的主元拓展：(1)任意一個無重特征值的方陣一定相似于對角矩陣(2)對角元兩兩互異的三角矩陣一定相似于對角矩陣10相似對角化定義：若階矩陣可與對角陣相似，則稱是可相似對角化的，簡稱可對角化可對角化的充要條件：(1)有個不同的特征值(2)有個線性無關的特征向量(3)對的任一特征根，其重數與對應線性無關的特征向量相同，即可對角化時的基本結論：(4) 屬于不同特征值的特征向量線性無關11實對稱矩陣性質及基本結論：(1) 的特征值為實數，且的特征向量為 實向量(2) 的不同特征值對應的特征向量 必定正交(3) 一定有個線性無關的特征向量，從而相似于對角矩陣，且存在正交矩陣，使得，其中為的特征值12向量內積定義：兩個維行向量，的內積為(本質：實數)結論：(1) 兩個維行向量，的內積為 (2) 兩個維列向量，的內積為性質：(1)對稱性(2) 線性性合并為(3)正定性，且(4)許瓦茲不等式13向量的長度定義： 維行向量的長度指的是實數(當時，稱為單位向量)性質：(1)非負性，且(2) 齊次性 (3)三角不等式14向量的正交設，如果，則稱與正交，記為15正交子空間取定，考慮在中與此正交的所有向量全體，稱為在中的正交子空間16正交向量組如果一個同維向量組中不含零向量，且其中任意兩個向量兩兩正交，則稱這個向量組為正交向量組17標準正交向量組若正交向量組中的每個向量都是單位向量，則稱這個向量組為標準正交向量組結論：18正交矩陣性質：(1) (2)(3), 都正交(4)(5)正交矩陣的特征值只能是拓展：(1)兩個同階的正交矩陣的乘積一定是正交矩陣(2)階實方陣正交的個行(列)向量是標準正交向量組19矩陣的秩定義：矩陣經過有限次初等變換后，非零行的行數就是矩陣的秩，記作結論：(1)初等變換不改變矩陣的秩(行秩=列秩)(2)(3)(4) (5) 可逆；可逆20線性相關定義：設是個維向量，如果存在個不全為零的數，使得，則稱向量組線性相關，稱為相關系數。(比喻：就是找一根繩子，把個珍珠串成一根項鏈) (1)若一個維向量可以表示成,則稱是的線性組合，或稱可用線性表出(或線性表示)。向量的維數指的是向量中的分量個數(1)行向量：(2)列向量：(3)零向量：所有分量都是零的維向量稱為維零向量，記作注意：不同維數的向量是不相等的(4)負向量：把向量的各個分量都取相反數組成的向量，稱為的負向量，記為(5)相等向量：如果維向量與維向量的對應分量都相等，即，則稱向量與相等，記作二、向量的運算(線性運算)1. 加法：設維向量，則和的和是向量 2．數乘：設是一個維向量，為一個數，則數與的乘積稱為數乘向量，簡稱為數乘，記作，并且三、線性運算的8條運算律：設都是維向量，是數，則(1) 。這里，和為任意整數 (包括負整數，零和正整數)十五、伴隨矩陣設，為的元素的代數余子式，則定義矩陣為的伴隨矩陣，記為，即注意：若為階方陣，則十六、求逆矩陣的兩種方法方法一：,其中 為矩陣的伴隨矩陣，為矩陣的行列式(缺點：矩陣階數為4階以上時，計算量太大，使用不方便)方法二：利用初等行變換法將原來矩陣化為單位矩陣即可，具體步驟：主要是對豎線左邊的矩陣施行初等變換,首先要調兵遣將，實現(xiàn)第一步:從上到下，從左到右，化為0元素，同時實現(xiàn)，變?yōu)樯先蔷仃?；第二?從下到上，從右到左，化為0元素，在每一步中，及時實現(xiàn)主對角線上的元素；此時豎線右邊的矩陣 就是我們要求的.十七、分塊矩陣對于同一個矩陣可以有不同的分快法。一書在手 考試無憂 志存高遠 貴在堅持 線性代數學習指導第一章 行列式一、余子式與代數余子式：(本質是個實數或者代數式) 定義：劃去元素所在的第和第列的所有元素后，剩下的元素位置不變所構成的新行列式：(本質是個實數或者代數式)關系：(兩者要么相等，要么相反)二、關于行列式的計算方法一：對角線法(沙路法)使用對象：二、三階行列式方法二：行列展開法使用對象：任意階行列式公式：(注：實際計算
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