【正文】 程組的增廣矩陣．因為，所以方程組有唯一解，且解為．21．設三元非齊次線性方程組，矩陣的秩為2，且,是方程組的兩個特解，試求此方程組的全部解．解 由已知得導出組的基礎解系含個解向量，設為，則可?。苑匠探M的通解為，其中為任意常數．22．設是齊次線性方程組的基礎解系，求證也是的基礎解系．證 顯然是的解，只需證明它們線性無關．． 由，得 ，所以線性無關．23．設是階方陣．證明：存在一個階非零矩陣，使的充要條件是．證 存在，使得有非零解．24．設是階方陣，為矩陣，且．證明： （1）若，則； （2）若，則．證 （1），則．又． （2）．由（１）得．（B）1．設向量組線性相關，而線性無關，問： （1）能否由線性表示？為什么？ （2）能否由線性表示？為什么？解 （1）線性無關，則線性無關；又線性相關，則可由線性表示；所以可由線性表示． （2）若可由線性表示，又可由線性表示，則可由線性表示，有線性相關，矛盾，所以不能由線性表示．2．若向量組，其中的第個分量為，余皆為．試討論該向量組的線性相關性．解 ． 當且時，向量組線性無關； 當或時，向量組線性相關．3．設向量組線性無關，…，試討論的線性相關性．若向量組線性相關呢？解 ，且． （1）若線性無關，則 當為偶數時，有，此時線性相關； 當為奇數時，有，此時線性無關． （2）若線性相關，則，此時線性相關．4．設為維非零向量，為階方陣，若 ，試證明線性無關．證 設． 該式兩邊左乘以，得依此類推，得．由，得． 同理可證．所以線性無關．5．設，其中為3階方陣，為3維向量，且，證明線性無關．證 設． （1） （1）式兩邊左乘以，得． （2） （2）減去（1），得． （3） （3）式兩邊左乘以，得． （4） （4）減去（3），得．因為，所以． 代入（３），得，所以．代入（1），得，所以． 所以線性無關．6．設為階方陣，為維列向量．證明：若存在正整數，使，而，則線性無關．證 設，該式兩邊左乘以，得．因為，所以． 同理可證．所以線性無關．7．設向量組的秩與向量組相同，且組可由組線性表示，證明組與組等價．證 設，為組的一個極大無關組，為組的一個極大無關組．由組可由組線性表示，得.又，則，即為可逆矩陣，有，即可由線性表示，．8．設向量組：線性無關，向量組：能由線性表示為 ，其中，證明：向量組線性無關當且僅當的秩．證 向量組線性無關只有零解 只有零解　 　 　 　 　 　 只有零解．9．設都是矩陣，試證明：．證 先證．顯然的列向量組可由的列向量組和的列向量組線性表示，則．此證．設，與分別為與的列向量組的一個極大無關組，則的列向量組可由與線性表示，有，即．10．設是的一組基，． （1）證明是的一組基； （2）求由基到基的過渡矩陣； （3）若向量在基下的坐標為，求向量在基下的坐標．證 ．　　　　　　　　　　　　　　?。ǎ保ǎ保┯?，得，則線性無關，所以是的一組基．（2）由（１）式，得由基到基的過渡矩陣．（3）在基下的坐標．11．當為何值時，齊次線性方程組只有零解？有非零解？在方程組有非零解時，求其全部解．解 方程組的系數行列式．當，即時只有零解.當，即時有非零解，且通解為，其中為任意常數．12．設是的三個特解，則（　?。┮彩堑慕猓ˋ）；　　　 （B），；（C）；　　　　?。―)．解 B．實質上，一般地有：若為的解，則也是的解．13．考慮線性方程組問取什么值時有解？當有解時，求它的通解．解 方程組的增廣矩陣，則當時方程組有解，且，所以方程組的通解為，其中為任意常數14．設矩陣，其中線性無關，且．向量．試求方程組的通解．解 由線性無關，且，得是的一個極大無關組，則，即，從而的基礎解系含個線性無關的解向量，設為．由，得，則是的解，故可取．由，得是的一個特解．所以的通解為，其中為任意常數．15．設為矩陣，為矩陣，且．求證： （1）的各列向量是齊次線性方程組的解； （2）若，則； （3）若，則的各列向量線性相關．證 （1）令．由，得，即，所以的各列向量是齊次線性方程組的解．（2）若，則只有零解，所以．（3）若，則有非零解，所以的各列向量線性相關．16．設為階方陣（），證明： （1）當時，； （2）當時，； （3）當時，．證 （1）當時，所以．（2）當時，由，得有．又中至少有一個階子式不為零，則，所以．（3）當時，則中所有一個階子式全為零，有．習 題 五(A)1．求下列矩陣的特征值和特征向量：（1）．解 的特征多項式，所以的特征值為．當時，解特征方程組．由，得，令，得屬于的線性無關的特征向量，全部特征向量為．當時，解特征方程組．，得，令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為．（2） ．解 的特征多項式，所以的特征值為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為．當時，解特征方程組．，得令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為．（3） ．解 的特征多項式，所以的特征值為．當時，解特征方程組．由，得，令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為不全為零）．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于的線性無關的特征向量是，全部特征向量為．（4） ．解 的特征多項式，所以的特征值為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．（5） ．解 的特征多項式，所以的特征值為，．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．（6）．解 的特征多項式，所以的特征值為．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為不全為0．當時，解特征方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為，全部特征向量為．2． 已知矩陣的特征值為，求的值． 解 由，得，則．3． 已知矩陣 的特征值為，求x的值．解 ．由，得，解得．4． 已知三階方陣的三個特征值分別為，矩陣．求矩陣的特征值及的行列式．解 令，則的特征值分別為，且．5．已知3階矩陣的特征值為，求及的伴隨矩陣的特征值．解 令，則的特征值為．又，則特征值為．6．設，求： （1）的特征值與特征向量；?。?）的特征值；?。?）的特征值．解 （1）的特征多項式，則的特征值為；屬于特征值全部特征向量為，、不全為0；屬于特征值全部特征向量為，．（2），則的特征值為．（3）令，則的特征值為，．7．設矩陣滿足等式，試證明的特征值只能取值或4．解 設為的特征值．由，得滿足，解得或．8．設方陣滿足，其中是的轉置矩陣，為單位陣．試證明的實特征向量所對應的特征值的模等于1．解 設為的實特征向量，對應的特征值為，則．由，得，即，有．又，則，所以．9．已知，且與相似，求常數．解 顯然的特征值為．與相似，則的特征值為．由，解得．10．已知矩陣與矩陣相似，求常數與．解 與相似，則． （1）又，由，得，代入（1）式，得．所以．11． 設矩陣．問為何值時，矩陣可相似對角化．解 顯然的特征值為．對，可相似對角化．由，得．12．已知是矩陣的特征向量． （1）求參數及特征向量所對應的特征值； （2）問能否相似對角化？并說明理由．解 （1），得.（2）的特征多項式 ，則的特征值為．所以能相似對角化，即．顯然，所以不能相似對角化.13．判斷下列矩陣是否與對角矩陣相似；若與對角矩陣相似，求一個可逆矩陣，使為對角矩陣．（1）．解 的特征多項式，則的特征值為．當時，解方程組．由，得，所以不能與對角矩陣相似．（2）．解 的特征多項式，則的特征值為．當時，解方程組．由，得，所以與對角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為．當時，解方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為．令，則．（3）．解 的特征多項式，則的特征值為．當時，解方程組．由，得，所以與對角矩陣相似，且．令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為．當時，解方程組．由，得令，得屬于特征值的線性無關的特征向量為．令，則．14．設矩陣．求可逆矩陣，使為對角矩陣，并計算，其中為正整數．解 的特征多項式，則的特征值為．屬于特征值的線性無關的特征向量為．屬于