【正文】 編碼研究背景及意義 隨著現代無線通信技術的迅猛發(fā)展，數字信號已經逐漸取代了模擬信號成為主要的傳輸信號類型，與模擬信號相比較，數字通信具有高抗干擾能力，易于加密提高保密性，可以使用現代數字信號處理技術等優(yōu)勢。 通信技術一直致力于提高信息傳輸的有效性和可靠性，其中保證通信的可靠性是現代數字通信系統(tǒng)需要解決的首要問題。當在信道中傳輸該碼字，如果錯誤發(fā)生，信息碼元和冗余碼元之間相互制約的關系就會被破壞。在接下來的近五十年，各種新的信道編碼方案也不斷被研究者們研究出來，且這些編碼方案的性能與最佳限（香農最佳極限）逐漸接近。 漢明碼是在原編碼的基礎上附加一部分代碼，使其滿足糾錯碼的條件。 格雷碼 (Gray Code) 是由法國工程師 JeanMauriceEmlleBaudot 提出的一種編碼，而因 1953 年 Frank Gray 申請專利而得名。在這個時期出現了很多譯碼方法，如迭代譯碼、門限譯碼等等，尤其是卷積碼的最優(yōu)譯碼算法 —— Viterbi 譯碼方法。從此， Turbo 碼成 為信道編碼領域的研究 熱點，并在這個時期得到了很好的發(fā)展。 本文的主要研究內容與組織結 構 本文的主要研究內容是： 在不同信道環(huán)境下，通信總會受到不同程度的干擾和噪聲，這就需要糾錯檢錯能力比較強的信道編碼方法。 第四章重點討論線性分組碼、卷積碼、 RS 碼以及 Turbo 碼的理論，并利用 Matlab 仿真并分析其性能。由于信號在傳送的過程中會受到來自外界及信道自身因素等的不同程度的干擾導致信號存在一定的失真，所以，信道編碼器對接收到的信號進行編碼，編碼的方法是在信號中按照一定的規(guī)則加入一些冗余碼，目的是為了克服信號在傳輸時因噪聲和外界干擾等引起的失真。經信道譯碼后的信號再由與發(fā)送端的加密器相對應的方法進行解密。 (3)、保密性好。信道的一般組成如圖 所示。 圖 二進制編碼信道模型 P(0)、 P(1)表示發(fā)送“ 0”與“ 1“ 先驗概率， P(0/0)與 P(1/1)表示正確轉移的概率，而 P（ 0/1)與 P(1/0)表示不正確的轉移概率。但是，現代各種用途的通信傳輸系統(tǒng)都要求能接收到無錯誤的信息，亦即將誤比特率降低到被允許的程度以下。 (2)編碼增益：即在誤比特率一定的條件下，經過信道編碼后傳輸的信噪比與未經信道編碼的情況下傳輸的信噪比的差值 /稱為編碼增益。某種編碼方法的性能是好還是差，有很多參數可以用來衡量，編碼效率就是其中一個。為此，可以采取如下措施： (1)、擴展帶寬 B。 降低信息傳輸速率。 FEC 方式的過程如圖 所示 發(fā)送有糾錯能力的碼字 圖 前向糾錯 FEC 第二類是反饋方式，包括反饋重發(fā)（ Automatic Repeat Request ： ARQ）、信息反（ Information Repeat Request： IRQ）和混合糾錯（ Hybrid Erro Correction ：HEC）等方式，反饋方式的編碼構造不像前向糾錯方式那么復雜，但反饋方式需要有反饋信道。 發(fā)送無檢錯、糾錯能力的碼字 圖 信息反饋（ IRQ） 混合糾錯 (HEC)：發(fā)送端經過編碼后發(fā)出的碼組具有檢錯、糾錯的能力。兩個碼字之間的漢明距離是指兩個碼字在對應的相同位置其值不相同的個數和 。二進制 (n, k)線性分組碼有個信息碼字，這個信息碼字構成一個 k 維空間，任意兩碼宇之間進行加法運算后得到的結果依然在這個 k維空間里，此外，假如 a 與 b 均是這個 k 維空間的碼字，滿足 a+b=b+a 與 ab=ba。對于任一個 ( n, k)線性分組碼，當最小距離為時，其檢錯、糾錯能力如表 所示。 在線性分組碼中有一類重要的碼，稱為循環(huán)碼。在信道編碼只有發(fā)現錯碼能力而無糾正錯碼能力時，必須結合其他措施來糾正錯碼，避免刪除錯碼帶 來的負面影響。加入監(jiān)督碼元的方法稱為差錯控制編碼方法或糾錯編碼方法。對于（ n,k）循環(huán)碼，設 m(x)表示信息碼多項式，根據循環(huán)碼編碼方法，其次數必小于 k。由于循環(huán)碼多項式 A(x)都可以被 g(x)整除，也就是： （ ） 因此，用 knx? m(x)除以 g(x)，就得到商 Q(x)和余式 r(x)，即 （ ） 這樣就得到了 r(x)。因此，可以根據余項是否為零來判斷碼組中有無錯碼。錯誤圖樣識別器是一個具有（ nk）個輸入端的邏輯電路，原則上可以采用查表的方法， 根據校正子找到錯誤圖樣，利用循環(huán)碼的上述特性可以簡化識別電路。采用糾錯編碼后，誤碼率總是能夠得到很大改善的。以 (7,4)循環(huán)碼為例分析線性分組碼的性能， 其性能曲線如 下 圖 所示。經過卷積碼編碼后得到的 n個碼元，不再僅僅只與本碼組的 k 個信息位有關，而且還與前若干時刻輸入至編碼器的信息碼元有關。 卷積碼編碼 卷積碼的編碼描述方法有 5 種 :沖激響應描述法、生成矩陣描述法、多項式乘積描述法、狀態(tài)圖描述法和網格圖描述法 [1]。它包括 NK級的輸入移位 器，一組 n個模 2和加法器和 n級的輸出移位寄存器 ?？梢钥闯觯好枯斎胍粋€比特，移位寄存器中就向右移動一個 位子。當輸入位為1時，輸出碼元 c1c2 =11，寄存器則轉移到狀態(tài) b,對應圖中的下支路 。以圖 (2,1,3)卷積碼 為例，左、右兩個模 2和與寄存器各級的連接關系可表達為 [6]： 22211)(1)(DDDGDDG????? 通常把表示移位寄存器與模 2和連接關系的多項式稱為生成多項式，因為由它們可以用多項式相乘計算出輸出序列。 其中， 代數譯碼，利用編碼本身的代數結構進行譯碼，不考慮信道本身的統(tǒng)計特性。 二、 卷積碼的最大似然譯碼 卷積碼概率譯碼的基本思路是 [3]:以 接收碼流為基礎，逐個計算它與其他所有可能出現的、連續(xù)的網格圖路徑的距離，選出其中可能性最大的一條作為譯碼估值輸出。由于這種方法較早地丟棄了那些不可能的路徑，從而減輕了譯碼的工作量， Viterbi譯碼正是基于這種想法。 卷積碼的 編碼器從全零狀態(tài)出發(fā) ，最后又 回到全零狀態(tài)時所輸出的碼序列，稱為結尾卷積碼。 因此，實際應用中采用截短 Viterbi 算法，即不需要接收到所有序列才進行判決， 當譯碼器接 收并處理完 了 固 定的 T （ T L） 個碼段后，在接收 第（ T+1）個碼段 的 時 候 ，它將比較前 T 級的路徑量度 ，然后從中選取最小者，由此得到與最小量度對應的幸存路徑，將此路徑對應的 T 個碼段判決輸出。 表 下一時刻狀態(tài)轉換表 當前狀態(tài) 輸入 =0 輸入 =1 00 00 10 01 00 10 10 01 11 11 01 11 表 輸出狀態(tài)表 當前狀態(tài) 輸入 =0 輸入 =1 00 00 11 01 11 00 10 10 01 11 01 10 采用的 Viterbi 譯碼方法流程圖如圖 所示。 第三步： Viterbi 算法判斷最優(yōu)路徑的詳細步驟如下： (1)、從 j=m 時刻開始，求出進入每一個狀態(tài)分支的路徑的漢明距離，也就是部分路徑 v 度量，并將進入每個狀態(tài)的路徑（即幸存路徑）以及最小漢明距離存儲起來。從上到下的三條曲線分別是 Traceback depth 為 20， 35， 45。 上面的曲線是（ 2， 1， 3）卷積碼的誤碼性能曲線。分量碼一般選擇為遞歸系統(tǒng)卷積 (RSC，Recursive Systematic Convolutional)碼，當然也可以是分組碼 (BC, Block Code)、非遞歸卷積 (NRC， NonRecursive Convolutional)碼以及非系統(tǒng)卷積(NSC， NonSystematic Convolutional)碼，但從后面的分析將看到，分量碼的最佳選 擇是 遞歸系統(tǒng)卷積碼。所以我們要根據具體情況來選擇合適的參數 Turbo 碼 Turbo 碼概述 Turbo 碼的實質就是并行級聯卷積碼 (Parallel Concatenated Convolutional Codes)，其編碼器主要由兩個結構完全相同的分量碼編碼器（系統(tǒng)卷積碼）、一個交織器、一個刪余器以及一個復用調制器構成，如圖 所示。上面的一條曲線是碼率為 1/2，下面的是碼率為 1/3。 Viterbi 譯碼算法的本質其實就是尋找從開始時刻到結束時刻這個時間內的最大似然路徑的過程，然后根據最大似然路徑，再從結束時刻回溯到開始時刻，回溯過程中每個時刻經過的狀態(tài)對應的編碼輸出即是 Viterbi 譯碼的輸出序列。 第二步：尋找最優(yōu)路徑。 代 數譯碼的譯碼算法即是利用監(jiān)督矩陣得出其伴隨式，并且利用求出的伴隨式 的分量構成 M 個正交監(jiān)督矩陣以構成正交碼（或可正交碼），最后利用大數邏輯判決方式進行譯碼，這種方法能糾正 M /2 個錯誤。也就是說，在己知接收到的序列的情況下，這條譯碼路徑和發(fā)送序列是最相似的。 選出的路徑同它們的對數似然函數 的 累加值 將 一起被存儲起來。 基于網格圖搜索的譯碼是實現最大似然 判決的重要方法和途徑。常用的概率譯碼方法有維特比譯碼和序列譯碼。 卷積碼的譯碼 一、 卷積碼譯碼的概述 卷積碼的譯碼方式有三種 [2]:(1)1963年由梅西 ((Massey)提出的門限譯碼，這是一種 基于 碼代數結構的代數譯碼，類似于分組碼中的大數邏輯譯碼 。在延時算子多項式表示中，編碼器中 的 移位寄存器與模 2加法器 的連接關系以及輸入、輸出序列都表示為延時算子 D的多項式。 在這里，其中 K=1 ， n=2 所以碼率 R=K/ n=1/2。 本文采用的是沖擊響應描述法編碼思想。 分組碼的譯碼算法可以由其代數特性得到。卷積碼編碼過程中有 N n 個碼元之間存在著相互關聯的關系。 表 （ 7,4）循環(huán)碼性能分析表 循環(huán)碼特別適合糾正單個隨機錯誤或有兩個錯誤的碼字，結合圖 與表 分析， (7， 4)循環(huán)碼的誤比特率隨著信噪比的減小呈線性下降趨勢，在信噪比為 0 的最壞條件下，誤碼率為 100%，此時系統(tǒng)失去通信能力。與糾錯方法相比，采用檢錯方法，可以少增加監(jiān)督位，從而少增大帶寬。 圖 梅吉特譯碼器原理 4 差錯控制編碼系統(tǒng)的性能 （ 1） 系統(tǒng)帶寬和信噪比的關系：為了減少接收錯誤碼元數量，需要在發(fā)送信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元。為了能夠糾錯，要求每個可糾正的錯誤圖樣必須和校正子之間存在某種對應關系。 當信息位輸入時，開關位置接“ 2”，輸入的信息碼一方面送到除法器進行運算，一方面直接輸出；當信息位全部輸出后，開關位置接“ 1”，這時輸出端接到移位寄存器的輸出，這時除法的余項，也就是監(jiān)督位依次輸出。這一運算實際上是把信息碼后附加上（ nk）個“ 0”。 差錯控制編碼的基本原理 和編碼方法 糾錯編碼：對原來的信息代碼重新編寫，根據需要增加一些監(jiān)督碼，使在輸出端能夠識別出錯碼。 （ 2） 前向糾錯 (FEC)：接收端通過發(fā)送碼元中的差錯控制碼元，不但能發(fā)現錯碼，而且還能糾正錯碼。 如果一種碼的所有碼多項式都是多項式 g(x)的倍式，則稱 g(x)為該碼的生成多項式。 ( n, k)線性分組碼除了具有上述特征外，還有以下性質： 1)、碼組中的任意兩個碼字進行模二加法運算的和仍然在這個碼組里； 2)、全零碼字在任意情況下都屬于該碼組； 3)、碼組中漢明距離的最小值與該碼組中非零碼字重量的最小值，兩者相同。 對（ n,k） 線性分組碼，用編碼效率η來表示碼字中信息 位所占的比重，η =k/n。 圖 4. 線性分組碼編碼器 FEC ARQ IRQ HEC 檢錯能力 有 有 無 有 糾錯能力 有 無 無 有 反向信道 不需要 需要 需要 需要 傳輸效率 高 中 最低 中 實時性 好 差 最差 中 復雜度 高 低 最低 中 0u1u.... ku 0c 1c ... kc kc 消息 編 碼 器 如果一個 (n, k)線性分組碼的代數域為 GF(P)，也就是該線性 分組碼的碼元有p個不同的值，那么編碼前的消息序列可以有種不同的形式。 發(fā)送有檢錯糾錯能力的碼字 圖 混合糾錯檢錯 HEC 上述各種差錯控制方式可簡約的用表 來表示。 ARQ 方式過程如圖 所示。當然，如果在突發(fā)信道中傳輸，由于錯誤是成串集中出現的，所以上述只能糾正碼字中 1 或 2 個錯誤的編碼，其效用就不像在隨機信道中那樣明顯了，需要采更為有效的糾 錯編碼。 (3)、降低噪聲。綜上所述，降低信息傳輸速率 R和增大信道容量 C 均可增大可靠性函數 (R)。編碼效率η即為碼字中有用碼元 (信息碼元 )所占的比例。當傳輸中有錯誤存在的時候，消息碼元與冗余碼元之間原有的這種制約關系便被改變，接收端利用這一點能夠進行檢錯、糾錯。 因此無線信道的數學模型具有時變、多徑的特