第一章偏微分方程定解問題-文庫吧在線文庫
【正文】 次以上乘積項(xiàng)的偏微方程稱為非線性偏微分方程。本課程主要研究和討論三類數(shù)理方程(2)，(3)，(4)的建立(導(dǎo)出)以及幾種常用的典型的求解方法。如 牛頓定律 (1) 波動(dòng)方程 (2) 熱傳導(dǎo)方程 (3)靜電場位方程 (4)激波方程 (5)等等。 含有多個(gè)自變量，關(guān)于這些變量的未知函數(shù)，以及未知函數(shù)對這些變量的偏導(dǎo)數(shù)的微分方程為偏微分方程，如(2)(5)。：弦的(微小)橫振動(dòng)(1) 相關(guān)的物理規(guī)律 牛頓第二定律 胡克定律 (2) 波動(dòng)方程的導(dǎo)出微元分析法：(x, x+dx)已知外力 ，均勻線密度為 弦內(nèi)部張力 導(dǎo)數(shù)的基和意義：， 由牛頓第二定律得到如下矢量關(guān)系式即 由此可得：，即 ， 又由小振動(dòng)條件知 而 故最終有一維波動(dòng)方程為，用同樣的方法可導(dǎo)出： 二維波動(dòng)方程(如鼓膜小振動(dòng))： ， 三維波動(dòng)方程(如聲波)： 。只要機(jī)理與熱傳導(dǎo)相似(有源，流等)，如氣體擴(kuò)散、雜質(zhì)擴(kuò)散、濃度擴(kuò)散等，均滿足該形式的方程，故熱傳導(dǎo)方程也常稱為擴(kuò)散方程。在數(shù)學(xué)上，場位方程(有時(shí)稱為Poisson方程)屬于又一類典型的偏微分方程橢圓型方程。因是兩個(gè)獨(dú)立的變量，故一般說來，C可以與有關(guān)，即為與無關(guān)的任意函數(shù)。 這就從數(shù)學(xué)上表明僅有偏微分方程本身，充其量只能求得其通解，不能確定其中任意函數(shù)的具體形式。通常情況是根據(jù)方程的物理背景或數(shù)學(xué)特點(diǎn)求出某些特定形式的特解，這除了需要泛定方程外，還要有具體問題找出相應(yīng)的定解條件。這樣，任一時(shí)刻t0之u值可求出。到底采用何種邊界條件要由具體問題決定。 三類數(shù)理方程常見的定解問題：波動(dòng)方程的定解問題下面以一維方程為例來說明。: 熱傳導(dǎo)方程的定解問題下面以三為方程為例來說明因方程中對時(shí)間偏導(dǎo)最高階數(shù)為1，故需要一個(gè)初始條件：。II 由場強(qiáng)與電勢的關(guān)系式(比較電容器中勻強(qiáng)電場情況)可知。顯然，這是原波動(dòng)方程的通解。(ii)初始速度的擾動(dòng)，由2[x+at，xat]區(qū)間內(nèi)所有初速值共同決定，是一種積累效應(yīng)。又由任意，故，均為奇函數(shù)。假想一無限長弦，處并不固定，但初始位移為而非，如下圖由圖可知任一時(shí)刻t在處形成的左、右行波、互相抵消，處；而假想系統(tǒng)中部分是完全等同于實(shí)際研究的半無界系統(tǒng)，故假想系統(tǒng)解的部分即為所求解。此時(shí)泛定方程為， 定界條件為，即定解問題為。求解這樣的問題可將三維問題化為一維問題求解。 由圖可知的左行波總能影響x點(diǎn)，的左行波在時(shí)對x點(diǎn)影響。故不能直接應(yīng)用達(dá)朗貝爾公式。 無限長弦自由橫振動(dòng)的初值問題解：由上面的討論知的通解是 ， 。 波動(dòng)方程的行波解: 一維無界齊次波動(dòng)方程的通解及其處置問題的達(dá)朗貝爾公式一維無界齊次波動(dòng)方程為，可化為，令(i)，則(ii)設(shè)想作變量變換以化簡原方程。 在邊界面運(yùn)用法拉第熱傳導(dǎo)定律
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