【正文】 ． 【解答】 解： A、 SSA 不能確定兩個三角形全等，題干的說法錯誤； B、到 △ ABC 的三個頂點距離相等的點是 △ ABC 的三條邊垂直平分線的交點的說法正確； C、根據(jù) SAS 可知，腰長相等的兩個等腰直角三角形全等的說法正確； D、點 A（ 3， 2）關(guān)于 x 軸的對稱點 A 坐標為（ 3，﹣ 2）的說法正確． 故選： A． 二、填空題（每小題 3 分，共 21 分） 9．已知一個等腰三角形的兩邊長分別為 2 和 4，則該等腰三角形的周長是 10 ． 【考點】 等腰三角形的性質(zhì)；三角形三邊關(guān)系． 【分析】 根據(jù)任意兩邊之和大于第三邊，知道等腰三角形的腰的長度是 4，底邊長 2，把三條邊的長度加起來就是它的周長． 【解答】 解：因為 2+2＜ 4， 所以等腰三角形的腰的長度是 4，底邊長 2， 周長： 4+4+2=10， 答：它的周長是 10， 故答案為： 10 第 12 頁（共 48 頁） 10．如圖，將三角尺的直角頂點放在直尺的一邊上， ∠ 1=30176。將 △ ABC 沿 MH 翻折，使頂點 A 與頂點 B重合，已知 AH=6，則 BC 等于 3 ． 【考點】 翻折變換（折疊問題）． 【分析】 根據(jù)折疊的性質(zhì)得到 HB=HA，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到 ∠ CHB=30176。 AC=BD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得 ∠A=∠ B，然后再利用 AAS 判定 △ AEC≌△ BFD，進而可得 CE=DF． 【解答】 解： C， D 兩地到路段 AB 的距離相等， 理由： ∵ CE⊥ AB， DF⊥ AB， ∴∠ AEC=∠ BFD=90176?？傻?△ ABC 的形狀，再根據(jù) △ ABC的周長是 24，可得 AB=BC=AC=8，根據(jù) BE 是中線，可得 CE 的長， ∠ EBC=30176。易知： DB=DC． （ 1）如圖 2， AD 平分 ∠ BAC， ∠ ABD+∠ ACD=180176。 ∴∠ B=∠ FCD， 第 22 頁（共 48 頁） 在 △ DFC 和 △ DEB 中， ， ∴△ DFC≌△ DEB， ∴ DF=DE， CF=BE， 在 Rt△ ADF 和 Rt△ ADE 中， ， ∴△ ADF≌△ ADE， ∴ AF=AE， ∴ AB﹣ AC=（ AE+BE）﹣（ AF﹣ CF） =2BE， 在 Rt△ DEB 中， ∵∠ DEB=90176。 D． 40176。 BD、 CE 分別為 ∠ ABC 與 ∠ ACB的角平分線且相交于點 F，則圖中的等腰三角形有（ ） A． 6 個 B． 7 個 C． 8 個 D． 9 個 12．如圖，已知 AB=AC， AE=AF， BE 與 CF 交于點 D，則 ①△ ABE≌△ ACF， ②△BDF≌△ CDE， ③ D 在 ∠ BAC 的平分線上，以上結(jié)論中，正確的是（ ） A．只有 ① B．只有 ② C．只有 ① 和 ② D． ① ， ② 與 ③ 二、填空題（本大題共 6 小題，每小題 3 分，共 18 分） 13．從多邊形的一個頂點引出的所有對角線，把多邊形分割成 5 個三角形，則此多邊形是 邊形． 14．若一個八邊形的七個內(nèi)角的和為 1000176。．求證： BP 平分 ∠ ABC． 24．（ 10 分）如圖，已知在 △ ABC 中， AB=AC， D 是 BC 邊上任意一點，過點 D分別向 AB， AC 引垂線，垂足分別為 E， F． （ 1）當(dāng)點 D 在 BC 的什么位置時， DE=DF？并證明； （ 2）過點 C 作 AB 邊上的高 CG，試猜想 DE， DF， CG 的長之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論） 第 29 頁（共 48 頁） 第 30 頁（共 48 頁） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 小題，每小題 3 分，共 36 分 .在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的） 1．下列四根木棒中，能與 5cm， 8cm 長的兩根木棒釘成一個三角形的是（ ） A． 3cm B． 8cm C． 13cm D． 15cm 【考點】 三角形三邊關(guān)系． 【分析】 判定三條線段能否構(gòu)成三角形，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形． 【解答】 解：設(shè)三角形的第三邊為 x，則 8﹣ 5＜ x＜ 5+8， 即 3＜ x＜ 13， ∴ 當(dāng) x=8 時，能與 5cm、 8cm 長的兩根木棒釘成一個三角形， 故選： B． 【點評】 本題主要考查了三角形的三邊關(guān)系的運用，解題時注意：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊． 2．在 △ ABC 中， ∠ B=2∠ A﹣ 10176。 ∠ C=∠ B+50176。 故選 C 【點評】 本題考查了三角形的內(nèi)角和等于 180176。 ∴∠ CFE=60176。根據(jù)等邊對等角，即可求得 ∠ ABC 與∠ ACB 的度數(shù)，又由 BD、 CE 分別為 ∠ ABC 與 ∠ ACB 的角平分線，即可求得 ∠ ABD=∠ CBD=∠ ACE=∠ BCE=∠ A=36176。﹣ ∠ BCD﹣ ∠ CBD=72176。 第八個內(nèi)角的度數(shù)為 1080﹣ 1000=80176。沒有明確是頂角還是底角，所以要進行分類討論，分類后還需用三角形內(nèi)角和定理去驗證每種情況是不是都成立． 【解答】 解：分情況討論： （ 1）若等腰三角形的頂角為 70176。﹣ 70176。 ∠ ABD=22176。 ∴∠ BEC=∠ DCE+∠ CDE=25176。 ∴∠ DAC=90176。﹣ ∠ ABO﹣ ∠ BAO=180176。 ∴∠ PME=∠ BNP， 在 △ BNP 與 △ EMP 中， ， ∴△ BNP≌△ EMP（ SAS）， ∴∠ PBN=∠ MEP， BP=PE， ∴∠ MBP=∠ MEP， 第 46 頁（共 48 頁） ∴∠ MBP=∠ PBN， ∴ BP 平分 ∠ ABC． 【點評】 本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)；證明三角形全等得出對應(yīng)角相等是解決問題的關(guān)鍵． 24．（ 10 分）（ 2022 秋 ?薊縣期中）如圖，已知在 △ ABC 中， AB=AC， D 是 BC邊上任意一點，過點 D 分別向 AB， AC 引垂線，垂足分別為 E， F． （ 1）當(dāng)點 D 在 BC 的什么位置時， DE=DF？并證明； （ 2）過點 C 作 AB 邊上的高 CG，試猜想 DE， DF， CG 的長之間存在怎樣的等量關(guān)系？（直接寫出你的結(jié)論） 【考點】 等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù) AAS 證 △ BED≌△ CFD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可； （ 2）連接 AD，根據(jù)三角形的面積公式求出即可． 【解答】 解：（ 1）當(dāng)點 D 在 BC 的中點上時， DE=DF， 證明： ∵ D 為 BC 中點， ∴ BD=CD， ∵ AB=AC， 第 47 頁（共 48 頁） ∴∠ B=∠ C， ∵ DE⊥ AB， DF⊥ AC， ∴∠ DEB=∠ DFC=90176。． 【點評】 本題主要考查三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握三角形內(nèi)角和是 180176。﹣ ∠ BAC﹣ ∠ C=60176。． 【點評】 本題主要考查了三角形的外角性質(zhì)，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和，兩次利用性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 18．如圖，已知 AB∥ CD， AD∥ BC， BF=DE，則圖中的全等三角形有 6 對． 第 41 頁（共 48 頁） 【考點】 全等三角形的判定． 【分析】 首先根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形可得四邊形 ABCD 是平行四邊形，再根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及已知條件得到圖中全等的三角形： △ADC≌△ CBA， △ ABD≌△ CDB， △ OAD≌△ OCB， △ OAB≌△ OCD， △ OEA≌△ OFC，△ OED≌△ OFB 共 6 對． 【解答】 解： ∵ AB∥ CD， AD∥ BC， ∴ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB=CD， ∠ CBA=∠ ADC， AD=BC， ∠ BAD=∠ BCD， 在 △ ADC 和 △ CBA 中， ， ∴△ ADC≌△ CBA（ SAS）； 同理： △ ABD≌△ CDB； ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ OA=OC， OD=OB， 在 △ OAD 和 △ OCB 中， ， ∴△ OAD≌△ OCB（ SAS）； 同理： △ OAB≌△ OCD； ∵ AD∥ BC， ∴∠ OAE=∠ OCF， 在 △ OEA 和 △ OFC 中， ， 第 42 頁（共 48 頁） ∴△ OEA≌△ OFC（ ASA）； 同理： △ OED≌△ OFB． 圖中的全等三角形最多有 6 對； 故答案為： 6． 【點評】 本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、 SAS、 ASA、 AAS、 HL． 注意： AAA、 SSA 不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角． 三、解答題（本大題共 6 小題，共 46 分 .） 19．如圖，直線 l 是一條河， A、 B 是兩個村莊，欲在 l 上的某處修建一個水泵站M，向 A、 B 兩地供水，要使所需管道 MA+MB 的長度最短，在圖中標出 M 點（不寫作法，不要求證明，保留作圖痕跡） 【考點】 軸對稱 最短路線問題． 【分析】 作點 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 A′，連接 A′B 交直線 l 于點 M，則點 M 即為所求點． 【解答】 解：作點 A 關(guān)于直線 l 的對稱點 A′，連接 A′B 交直線 l 于點 M，則點 M即為所求點． 第 43 頁（共 48 頁） 【點評】 本題考查的是軸對稱﹣最短路線問題，熟知 “兩點之間，線段最短 ”是解答此題的關(guān)鍵． 20．如圖，在 △ ABC 中， AD 是高， AE， BF 是角平分線，它們相交于點 O， ∠ BAC=70176。 ∠ ABD=22176。 55176。 2=55176。 55176。則第八個內(nèi)角的度數(shù)為 80176。 ∵ BD、 CE 分別為 ∠ ABC 與 ∠ ACB 的角平分線， 第 37 頁（共 48 頁） ∴∠ ABD=∠ CBD=∠ ACE=∠ BCE=∠ A=36176。=35176。 B． 35176。 可得： 2∠ A﹣ 10176。 C． 30176。∠ DCE=25176。 B． 35176。 ∠ C=∠ B+50176。 DB=DC=2，則 AB﹣ AC=？ 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）證明 △ DFC≌△ DEB 即可． （ 2）先證明 △ DFC≌△ DEB，再證明 △ ADF≌△ ADE，結(jié)合 BD 與 EB 的關(guān)系即可解決問題． 【解答】 （ 1）證明：如圖 ② 中， DE⊥ AB 于 E， DF⊥ AC 于 F， ∵ DA 平分 ∠ BAC， DE⊥ AB， DF⊥ AC， ∴ DE=DF， ∵∠ B+∠ ACD=180176。 ∵ CD=CE， ∴∠ D=∠ CED， ∵∠ ACB 是 △ CDE 的一個外角， 第 21 頁（共 48 頁） ∴∠ D+∠ CED=∠ ACB=60176。DB； （ 3） △ DC′E 的周長 =C39。 AD=4，連接 BD， BD⊥ CD， ∠ ADB=∠ C．若P 是 BC 邊上一動點，則 DP 長的最小值為 4 ． 【考點】 角平分線的性質(zhì)；垂線段最短． 【分析】 根據(jù)垂線段最短，當(dāng) DP 垂直于 BC 的時候， DP 的長度最小，則結(jié)合已知條件，利用三角形的內(nèi)角和定理推出 ∠ ABD=∠ CBD，由角平分線性質(zhì)即可得AD=DP，由 AD 的長可得 DP 的長． 【解答】 解：根據(jù)垂線段最短，當(dāng) DP⊥ BC 的時候， DP 的長度最小， ∵ BD⊥ CD，即 ∠ BDC=90176。 又 ∵∠ 1=30176。=90176。方向勻速航行，在 B 處觀測燈塔 A 位于南偏東 75176。 ∴ a=b． 故選 B． 4．如圖，工人師傅做了一個長方形窗框 ABCD， E、 F、 G、 H 分別是四條邊上的中點，為了使它穩(wěn)固，需要在窗框上釘一根木條，這根木條不應(yīng)釘在（ ） A． A、 C 兩點之間 B． E、 G 兩點之間 C． B、 F 兩