數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用論-文庫(kù)吧在線文庫(kù)
【正文】 01111 ???? sa 當(dāng) 2?n 時(shí) 12]1)1[()1( 221 ????????? ? nnnssa nnn , 由于 1a 不適合于此等式 ，所以 ??? ?? ?? )2(12 )1(0 nn na n 此題解題方法是公式法的類(lèi)型二，但需要注意的是求出的首項(xiàng)要代入通項(xiàng)中檢驗(yàn)是否也符合 . 例 . (1)0,7,26,63,124,? (2) 21? ,1, 45? ,57 , 23? ? 解：（ 1）中通過(guò)觀察可以化為 113? ， 123? ， 133? ， 144? ?所以通項(xiàng)13 ??nan . (2)中是分?jǐn)?shù)的數(shù)列，分子分母從表面上觀察不出規(guī)律，但把 1 和 23? 通分后69,57,45,33,21 ???可以看出分母是以 2 為首項(xiàng)的等差數(shù)列，分子是從 1 開(kāi)始的 奇數(shù)，且項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)為負(fù)，所以 112)1( ???? nna nn . 歸納猜想法的應(yīng)用關(guān)鍵在于如何利用有限的信息猜出通項(xiàng)，要做好這一點(diǎn)需要清楚數(shù)列的本質(zhì)，它是項(xiàng)數(shù)與項(xiàng)之間的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)已知的有限項(xiàng)去建立一種數(shù)學(xué)模型，如一次式、二次式、分式、指數(shù)式、對(duì)數(shù)式等形式。主要方法有待定系數(shù)法， 不動(dòng)點(diǎn)法， 特征根法等。解決此類(lèi)型的題，快速準(zhǔn)確是關(guān)鍵，所以，用猜想歸納的思想能有效的解決問(wèn)題。數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)。 緒論 數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)的一項(xiàng)重要內(nèi)容，在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中相對(duì)獨(dú)立，但有一定的綜合性和靈活性 .高中數(shù)學(xué)中的數(shù)列知識(shí)主要涉及等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列求和等內(nèi)容，能力要求較高 .數(shù)列的通項(xiàng)公式是高中數(shù)學(xué)中最為常見(jiàn)的題型之一 ,它既可考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想 ,又能反映 中學(xué)生 對(duì)等差與等比數(shù)列理解的深度 ,具有一定的技巧性 ,因此經(jīng)常滲透在 數(shù)學(xué) 競(jìng)賽和高考中 .同時(shí) 也是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一個(gè)重要銜接點(diǎn)。 1 數(shù)列的相關(guān)概念 . 數(shù) 列 數(shù)列： 按 某種規(guī)定 排列的一列數(shù) , 21 ?? naaa 稱(chēng)為數(shù)列。這類(lèi)題一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)。構(gòu)造新 的 數(shù)列，具有輔助計(jì)算的效果，一般是構(gòu)造等差，等比數(shù)列，這樣就可以套用等差等比數(shù)列的固定通項(xiàng)模型來(lái)解決問(wèn)題。N,1 ??? nxan 若 11 xa? ，則 ,N,11 ???? nxba nn其中 .N,)1(1111??????? ncxp xab n （ 2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的特征根 21,xx 時(shí)，則1 21 ??? nnn c xcxa， ,N??n 其中 ?? ?????? N,)( 12121 11 ncxp cxpxa xac nn. 特征根法主要針對(duì)這 三 類(lèi)型 的遞推式 ，有固定的公式，相比迭代法，待定系數(shù)法，無(wú)技巧可言 .但計(jì)算簡(jiǎn)單， 所以，當(dāng)遇到此類(lèi)型的題若要用此方法 時(shí) ，最好 正確的 記住 每種類(lèi)型的 公式 ,然后再進(jìn)行解題 . 換元法 高中函數(shù)一章節(jié)中我們經(jīng)常用換元法來(lái)解決當(dāng)函數(shù)式中有根號(hào)的情況，數(shù)列是特殊的函數(shù)，用換元法解題省去了繁長(zhǎng)的計(jì)算 倒數(shù)法： 數(shù)列 中 有形如 ? ? 0,f 11 ??? nnnn aaaa 的關(guān)系， 如 nnnn aaaa ?? ?? 11 可在等式兩邊同乘以nn aa11?，構(gòu)造一個(gè)新等差數(shù)列， 求出 .,1nn aa 再求得 例 1：（ 2022年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試湖北卷）已知等差數(shù)列 前三項(xiàng)的和為 3，前三項(xiàng)的積為 8，求等差數(shù)列 { na }的通項(xiàng)公式。當(dāng)然，數(shù)列的題型千姿百態(tài)，有些上述的方法不一定都適用，所以在解題思想方法上要懂得隨機(jī)應(yīng)變，找到合適的解決途徑。 解題思路： 5 231nnn aa ???中可以看成是 52531nnn aa ???，很顯然是一階遞推式 )(1 nfpaa nn ??? 的類(lèi)型，推導(dǎo)這種類(lèi)型的通項(xiàng)公式，可以用待定系數(shù)法 . 解：由題意得 52531nnn aa ???. 假設(shè)存在 A,使得 )2(532 11 nnnn AaAa ????? ?? (1) 化解有 nnn Aaa 2)57531 ????? （, 即 nA 257 ?? =52n , 所以 71??A (2) 把（ 2）代入（ 1）得 )271(53271 11 nnnn aa ????? ??， 所以，數(shù)列 { nna 271??}是以 721?a為首項(xiàng)， 53 為公比的等比數(shù)列，該數(shù)列通項(xiàng)公式為 nna 271??=（ 721?a） 153???????n ， 又因?yàn)?741?a，所以 7253721 nnna ????????? . 此題中因?yàn)?)(1 nfpaa nn ??? 中的 )(nf 為指數(shù)型函數(shù)，所以待定系數(shù)法最為合適，若 )(nf 為常數(shù)函數(shù)， 如 5 231 ??? nn aa， 則此題可以用待定系數(shù)法、不動(dòng)點(diǎn)法、以及特征根法解決，其中以待定系數(shù)法最為方便簡(jiǎn)單 . 例 8已知數(shù)列 ??na 中， 21?a ，7241 ???? nnn aaa，求 ??na 的通項(xiàng)。通過(guò)求新等比數(shù)列的通項(xiàng)公式從而求出原數(shù)列的通項(xiàng)公式，
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