【正文】 ? ? (X t) 是給定 X=X t條件下 Y的期望值 ， ? (X t) 就是 Y關(guān)于 X的期望函數(shù) 。 具體步驟是： ? 第一步 ， 根據(jù)研究的目的 ， 通過(guò)觀察和實(shí)驗(yàn)取得資料 。 相關(guān)與回歸的基本概念 返回 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 相關(guān)系數(shù) ? 167。 回歸診斷與殘差分析 (new) 返回 167。 相關(guān)分析 YXYXYXYXYYXXYXYV arXV arYXCo v??????????????????,22,)()(),( ???.)()())((12121,??????????????nttnttntttYXYXYYXXYYXXSSS?? 167。 相關(guān)分析 ))((1)()(1)(1)(11121122112????????????????????????????????nttnttntttXYnttnttYYnttnttXXYXnYXLYnYLXnXL ?????YYXXXY LL L?年份 序號(hào) t 可支配收入 Xt 消費(fèi) Yt 1951 1 1952 2 1953 3 230 1954 4 1955 5 1956 6 1957 7 1958 8 1959 9 1960 10 350 1961 11 1962 12 1963 13 375 1964 14 1965 15 1966 16 1967 17 1968 18 1969 19 1970 20 年份 序號(hào) t 可支配收入 Xt 消費(fèi) Yt Xt ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? ⑵ 計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) γ的 F值 ? ， ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 不論是 t檢驗(yàn)還是 F檢驗(yàn) ， 其臨界值 t?/ F?/2， 對(duì)自由度 n2（ 樣本容量 =n） 和樣本相關(guān)系數(shù) γ， 都有一個(gè)臨界要求 ， 反算出樣本相關(guān)系數(shù)臨界值 γ?/2， 那么由顯著性水平 ?、 自由度 n2及臨界樣本相關(guān)系數(shù)γ?/2 ， 就可以構(gòu)成一個(gè)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)表 。 相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn) ? 【 例 73】 利用某國(guó) 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X的相關(guān)系數(shù) γ，在 ?=5%時(shí) ， 是否可以認(rèn)為 Y和 X之間存在顯著性的線性相關(guān)關(guān)系 。 相關(guān)分析 返回 167。 相關(guān)分析 )1(61)1()(61 212212,???????????nnDnnVVnttnttYtXs ??非參數(shù)相關(guān)分析。 相關(guān)分析 212ssnt?? ??? 167。 對(duì)于 Xt或者 Yt相同的 ， 取其應(yīng)得等級(jí)的平均數(shù) 。 因?yàn)?|t s |=t?/2(n2)=， 表示 Y, X之間相關(guān)顯著 ， 存在復(fù)習(xí)時(shí)間越長(zhǎng)考試成績(jī)?cè)礁叩默F(xiàn)象 。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。u ~N (0， ?2) () ? 就稱(chēng)為 一元線性回歸模型 （ 或稱(chēng)為相關(guān)方程 ） 。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 誤差項(xiàng) ｕ 的標(biāo)準(zhǔn)假定 ? ⑴ 誤差項(xiàng)的期望值恒為零 ， 即 ? E (ｕ t166。 一元線性回歸分析 圖 7－ 3 總體回歸與隨機(jī)誤差 Y X ?= ?1+ ?2X. 0 Y= ?1+ ?2X+u u t→ 167。 標(biāo)準(zhǔn)的一元線性回歸模型 ? 樣本回歸函數(shù)，就是根據(jù)樣本資料 (Yt, X t)，對(duì)總體回歸函數(shù)進(jìn)行擬合的估計(jì)函數(shù)。?)(,0)(。 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 【 例 75】 利用某國(guó) 19511970年的消費(fèi) Y和可支配收入 X數(shù)據(jù)，建立消費(fèi)對(duì)可支配收入的回歸估計(jì)方程。 ? 以上性質(zhì) ， 在文獻(xiàn)中被稱(chēng)為高斯 —馬爾可夫定理 。 一元線性回歸分析 2)??(22)(1221121222?????????????????nXYneneesntttnttntt ??? ??????????????????????????????????0)(。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 167。 可決系數(shù)開(kāi)平方根后 γ的符號(hào) ， 由回歸變差 LXY決定 ， 它們兩者同號(hào) 。 在一元線性回歸模型中 ， 由于只有一個(gè)解釋變量 X， 對(duì)?2=0的 t檢驗(yàn) ， 和對(duì)整個(gè)回歸方程的 F檢驗(yàn) ， 是等價(jià)的 。 但一般來(lái)說(shuō) ， ?2是未知的 ， 需要用其無(wú)偏估計(jì)量 S2去代替 。 ? 對(duì)一元線性回歸模型 ， 利用 ()， 有 ? () ? 可以證明：檢驗(yàn) H0： ?2=0等價(jià)于 檢驗(yàn) H0： ρ=0， 如果檢驗(yàn)認(rèn)為 ?2≠0， 就意味著 ρ≠0， 即認(rèn)為 X對(duì) Y的解釋作用是真實(shí)的 。 ?t ~N(0, ??2)。 一元線性回歸分析 167。ts 。 ? 符號(hào)檢驗(yàn)的具體方法參見(jiàn)第六章 。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 定義樣本的一階自相關(guān)系數(shù) γe為 ? () ? 它是 ρe的一個(gè)估計(jì)式 。 一元線性回歸分析 不確定區(qū)域→ 不確定區(qū)域→ 圖 7－ 5 DurbinWaston 統(tǒng)計(jì) f(d) d 拒絕 H0 ，存在正自相關(guān) 0 H0： ρ e=0, H1： ρ e≠0。 拒絕 H0 ，存在負(fù)自相關(guān) 2 4 不拒絕 H0 dL dU 4dL 4dU 167。 當(dāng)給出 X0屬于樣本內(nèi)的數(shù)值時(shí) ，利用 ()式計(jì)算 ?0稱(chēng)為內(nèi)插檢驗(yàn)或者事后預(yù)測(cè) 。 這一誤差 ， 可以用回歸系數(shù)的最小二乘估計(jì)量的方差 來(lái)評(píng)價(jià) 。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? 設(shè) X0給定時(shí) Y的真值為 Y0， 有 ? Y0= ?1+ ?2X0 +u0 , () ? 則有 ? () ? 式中 ， e0是預(yù)測(cè)的殘差 。 Se0 ≤ Y0 ≤ ?0 + t?/2 (n2) 一元線性回歸分析 XXe LXXnSS200)(11 ?????圖 7－ 7 回歸預(yù)測(cè)的置信區(qū)間 Y X ? ?+ t?/2 (n2)Se ? t?/2 (n2)Se X0 0 返回 167。 一元線性回歸分析 ? 167。 多元線性回歸模型的檢驗(yàn) ? 167。 Se0。 一元線性回歸模型的預(yù)測(cè) ? Y0的區(qū)間估計(jì)： ? 由 ()、 ()式可知 ， 在高斯假定條件下 ， e0服從于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ， 即 ? e0 ~N (0， Var(e0)) () ? 由于 Var(e0)中的 ?2是未知的 ， 通常用其無(wú)偏估計(jì)量 S2來(lái)代替 。 ? 在以上造成預(yù)測(cè)誤差的原因中 ， ⑶ 、 ⑷ 、 兩項(xiàng)不屬于回歸方程本身的問(wèn)題 ， 而且也難以事先予以估計(jì)和控制 。 ?0與所要預(yù)測(cè)的 Y的真值之間 ， 必然存在一定的誤差 。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? ⑶ 選擇顯著性水平 ?， 取 ?=1%或者 ?=5%。 一元線性回歸分析 ??????? nttnttteeeee1221? ??)1(2)?1(2 eed ?? ???? 167。 該方法對(duì)檢驗(yàn)是否存在一階自相關(guān) ， 尤其有效 。 一元線性回歸分析 正序列相關(guān) 負(fù)序列相關(guān) 0 0 圖 7－ 4 正序列相關(guān)與負(fù)序列相關(guān) 0 ｕ t,ｅ t t 0 ｕ t,ｅ t ｕ t1,ｅ t1 ｕ t,ｅ t ｕ t,ｅ t ｕ t1,ｅ t1 t 正序列相關(guān) 負(fù)序列相關(guān) 167。 為此 ， 可以針對(duì)式 ()編制 ｅ t對(duì)時(shí)點(diǎn) t的散布圖；或者針對(duì)式 ()編制 ｅ t對(duì) ｅ t1散布圖 。 () ? 其中 1ρe1， 則具有這種自回歸關(guān)系的誤差項(xiàng)相關(guān) ， 簡(jiǎn)稱(chēng)一階自相關(guān) 。 誤差項(xiàng) ｕ t的自相關(guān)檢驗(yàn) ? 自相關(guān)或稱(chēng)序列相關(guān)： ? 如果誤差項(xiàng)之間存在相關(guān)關(guān)系 ， ? Cov(ｕ t,ｕ s)=E (ｕ tｕ s ) ≠0。 一元線性回歸分析 21 ?,? ??21 ?,? ??).,(~?).,(~? 2?222?11 21 ?? ?????? NNXXnttXXntLXXV a rLXnXXXnV a r212222?221222212?)()?()1())(1()?(21??????????????????????????21 ?? , ?? SS21 ?? , ?? ??).2(~.?).2(~.?2211 ?22??11? ?????? ntStntSt???????? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 一元線性回歸分析 SSRSSELYYeYYLYYnttnttnttYY???????? ????????121212 )?()(YYYY LS SRLS SE ???1YYnttYYYY LeLSSELSSR ??????? 122 11?? 167。 ? 一級(jí)檢驗(yàn) ， 又稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)學(xué)檢驗(yàn) ， 它是利用統(tǒng)計(jì)學(xué)的抽樣理論 ， 來(lái)檢驗(yàn)回歸方程的可靠性 ， 具體可分為擬合程度評(píng)價(jià)和顯著性檢驗(yàn) 。 ? 解：已知 n=20,?(Y)= , ?(Y2)=2888129, ?(X 一元線性回歸模型的估計(jì) ? 隨機(jī)誤差項(xiàng)的方差估計(jì) ? 數(shù)學(xué)上可以證明 ， ?2的無(wú)偏估計(jì) S2可由下式給出： ? () ? 在一元線性回歸模型中 ， 殘差 ｅ t必須滿足 ?1， ?2最小二乘估計(jì)要求所導(dǎo)出的兩個(gè)約束條件： ? () ? 因而失去了 2個(gè)自由度 ， 所以 ， 殘差 ｅ t的自由度為 n 2。X t Yt 它的準(zhǔn)則是使 ｅ t的平方和最小 ， 即 ? () ? 由極值條件 ， 有聯(lián)立方程 ? () ? 整理得正規(guī)方程組 ? () ? Ch7 相關(guān)與回歸分析 ? 167。 ? 樣本回歸函數(shù)是總體回歸函數(shù)的近似反映 。 其最一般的模型及回歸函數(shù)為 ? Y= ?1 + ?2X +u , ?X = E