【正文】 a a axxxx????11 n jnjaxx?????????? 行列式的計算方法研究 15 0 和 1加邊 例 1： 計算 )2( ?nn 階行列式 1231 1 1 11 1 1 11 1 1 11 1 1 1nnaaDaa?????，其中 12 0naa a ? ． 解： 先將 nD 添上一行一列，變成下面的 1?n 階行列式： 1121 1 1 10 1 1 10 1 1 10 1 1 1nnaDaa?????．顯然， 1nnDD? ? ． 將 1nD? 的第一行乘以 1? 后加到其余各行 ,得 1121 1 1 11 0 01 0 1 01 0 0nnaDaa??? ? ??． 因 0ia? ，將上面這個行列式第一列加第 i（ 2i? ，?， 1n? ）列的11ia?倍，得： 11112212121111 1 1 11 1 1 11 0 00 0 01 0 0 0 0 01 0 00 0 00000 1 1 00ni innnnnnniiiinaaaD D aaaaaaa a aaaa??????? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? 行列式的計算方法研究 16 數(shù)學(xué)歸納法 當(dāng) kD 與 1?kD 是同型的行列式時，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法求之。 對角拆 例 1 ：計算行列式 nD?1 1 21 2 212nnnna a aa a aa a a?????? 解：nD?121 2 212nnnna a aa a aa a a????1222000nnnnaaa??????122000nnna a aa??? 11nD? ?? 1 2 1 1nnaD? ? ? ???=?? 1211n in i ia? ? ? ??????????? 按列（行）拆 例 1： 計算 )2( ?nn 階行列式 1 1 1 2 12 1 2 2 212121212nnnn n n nx y x y n x yx y x y n x yDx y x y n x y? ? ?? ? ??? ? ?． 解 ： 將 nD 按第一列拆 成兩個行列式的和，即 1 2 1 1 1 1 2 12 2 2 2 1 2 2 22 1 21 2 21 2 21 2 2nnnn n n n n n nx y n x y x y x y n x yx y n x y x y x y n x yDx y n x y x y x y n x y? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?． 再將上式等號右端的第一個行列式第 i 列（ 2i? ， 3，?， n）減去第一列的 i倍；第二個行列式提出第一列的公因子 1y ，則可得到 行列式的計算方法研究 20 1 2 1 1 1 2 1 1 1 12 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 1221 2 1 21 2 1 2 .1 2 1 2nnnnn n n n n n n n n nx y x y x x y n x y x x x nx y x y x x y n x y x x x nD y y y yx y x y x x y n x y x x x n??? ? ? ??? 當(dāng) n≥ 3時， 0nD? ．當(dāng) 2n? 時， ? ?? ?2 2 1 2 12D x x y y? ? ?． 小結(jié) ： 計算行列式的方法很多，也比較靈活，上面介紹了計算 n階行列式的常見方法，計算行列式時，我們應(yīng)當(dāng)針對具體問題，把握行列式的特點，靈活選用方法。 我還要感謝同組的各位同學(xué)，在畢業(yè)設(shè)計的這段時間里，你們給了我很多的啟發(fā)，提出了很多寶 貴的意見，對于你們幫助和支持，在此我表示深深地感謝。在此向劉老師表示深深的感謝和崇高的敬意。 第一數(shù)學(xué)歸納法 例 1 :計算行列式 1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 1nn n nxxDxa a a a a x??????? 解：用數(shù)學(xué)歸納法 . 當(dāng) 2?n 時，2 1 2211 ()xD x x a aa x a?? ? ? ?? 2 12x a x a? ? ? 假設(shè) kn? 時，有 121 2 1k k kk k kD x a x a x a x a?? ?? ? ? ? ? ? 則當(dāng) 1??kn 時，把 1?kD 按第一列展開，得 11k k kD xD a???? 11 1 1()kk k k kx x a x a x a a? ??? ? ? ? ? ?121 1 1kk k k kx a x a x a x a? ??? ? ? ? ? ? 由此，對任意的正整數(shù) n ，有 121 2 1nnn n n nD x a x a x a x a? ??? ? ? ? ? ? 行列式的計算方法研究 17 第二數(shù)學(xué)歸納法 例 1：計算行列式 ?????c o s210001c o s202000c o s210001c o s210001c o s????????????nD. 解： ?? 2c o s,c o s 21 ?? DD ,于是猜想 ?nDn cos? . 證明：對級數(shù)用第二數(shù)學(xué)歸納法證明 . 1?n 時 ,結(jié)論成立 .假設(shè)對級數(shù)小于 n 時，結(jié)論成立 .將 n 級行列式按第 n 行展開 ??????????????????nnnnnnnDDDDnnnnnnnnc o s])1c o s [ (s i n)1s i n (c o s)1c o s ()1c o s (c o s2)2c o s ()1()1c o s (c o s2)1(c o s2110000c o s202000c o s210001c o s210001c o s)1(c o s21221211121????????????????????????????????????????????. 猜測歸納 例 1： 計算行列式 行列式的計算方法研究 18 解： 猜測： 證明（ 1） 3,2,1?n 時，命題成立。 先將的第 n行依次與第 n1行， n2行，? ,2 行， 1行對換，再將得到到的新的行列式的第 n 行與第 n1行， n2 行，? ,2 行對換，繼續(xù)仿此作法，直到最后將第 n行與第 n1行對換，這樣，共經(jīng)過（ n1） +（ n2） +? +2+1=n（ n1） /2次行對換后，得到 ( 1 )22 2 2 21 1 1 11 1 1 11 2 1( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 )( 1 ) ( 2) ( 1 )nnnn n n nn n n na n a n a aDa n a n a a