廈門某中學(xué)20xx屆高三熱身考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題(存儲(chǔ)版)
【正文】 ??，所以 1na??????是等差數(shù)列，首項(xiàng)11 1a? ，公差 1d? ， 所以 1n na?，從而 1na n?； ??????????? 3分 （ 2）由（ 1）得 1lnnb n?，構(gòu)造函數(shù) ( ) ln 1,f x x x? ? ? 則 1139。 a3如圖， x 軸上有一條單位長(zhǎng)度的線段 AB ，沿著與其垂直的 y 軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，線段掃過的區(qū)域形成一個(gè)二維方體（正方形 ABCD ），再把正方形沿著與其所在的平面垂直的 z 軸方向平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，則正方形掃過的區(qū)域形成一個(gè)三維方體（正方體 1 1 1 1ABCD A B C D? ）。( ) 0, ( )f x f x? 單調(diào)遞減， 所以 ( ) (1) 0f x f??，即 0, ln 1x x x? ? ? ?，當(dāng)且僅當(dāng) 1x? 時(shí)取等號(hào)， ??? 5分 所以 11ln 1nn??，即 1nnba??，當(dāng)且僅當(dāng) 1n? 時(shí)取等號(hào)， 所以 1 2 1 2( 1 ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. .n n n nS n a a a b b b T? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 1n? 時(shí)取等號(hào)； ?? ??????????? 8分 （ 3）由（ 1）知 11lnnc nn??，不妨設(shè) nmccknm? ?? 恒成立，且 1nm??， 則 ()nmc c k n m? ? ?，等價(jià)于 nmc kn c km? ? ? ， ??????????? 10分 記 () nf n c kn??，則 ()fn在 *N 上單調(diào)遞減， 所以 1( 1 ) ( ) 0nnf n f n c c k?? ? ? ? ? ?恒成立； 所以1 m a x m a x1( ) l n ( 1 )( 1 )nnk c c n nnn? ??? ? ? ? ? ?????? ??????????? 12分 記 ( 1) 2t n n? ? ? ， 1( ) lng t t t??，所以221 1 139。 （ 1）以下證明滿足條件①的要求 . ∵四邊形 DCBE 為矩形， ACB? 與 ACD? 均為直角， ∴ CB AC? 且 CB DC? ∴ CB? 面 ADC ， 在矩形 DCBE 中， DE ∥ CB ∴ DE? 面 ADC ∴面 ADE? 面 ADC ????????????? ????? 3分 （ 2）以下證明滿足條件②、③的要求 . ∵矩形 DCBE 的一邊長(zhǎng)為 30cm ， 而直角三角形 ABC 的斜邊 AB 長(zhǎng)為 20cm ，∴ 30BE? 設(shè) BC t? ，則 2400AC t??， 以 C 為原點(diǎn)， CA CB CD、 、 分別為 x y z、 、 軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系 C xyz? ， 則 2( 400 , 0, 0)At? ， (0, ,0)Bt ， (0 , 0 , 30 ), (0 , , 30 )D E t， 設(shè)面 ADE 的一個(gè)法向量為 1 ( , , )x y z?n ， 2( 4 0 0 , 0 , 3 0 )D A t? ? ?， (0, ,0)DE t? ∵ 1100D A D E??且nn ∴ 24 0 0 3 0 00 t x zty?? ? ? ?????，取 1x? ，則 21 400(1, 0, )30 t??n? ????? ??? 6分 而面 ABC 的一個(gè)法向量為 2 (0,0,1)?n ， 設(shè)面 ADE 與面 ABC 所成的二面角為 ? ，則 1cos 2?? ， ∴212 2400130c o s | c o s , |240011900tt??? ? ? ? ???nn， ∴ 10t? ， 即當(dāng) 10t? 時(shí)，面 ADE 與面 ABC 所成的二面角不小于 60? . ??? ?????? ?? 8分 又， 由 ACB? 與 ACD? 均為直角知， AC? 面 DCBE ，該包裝 盒可視為四棱錐 A BCDE? ， 2 2 222211 30 400 10 ( 400 )33400 10 20 002A BC D E BC D EV S AC t t t ttt?? ? ? ? ? ??????????? 當(dāng)且僅當(dāng) 22400tt??，即 10 2t cm? 時(shí)， ABCDEV? 的體積最大，最大值為320
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