20xx年成人高考(專(zhuān)升本筆記)高等數(shù)學(xué)一(存儲(chǔ)版)
【正文】 。 性質(zhì) 4 無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。 例如當(dāng) 時(shí)， ～ ， 當(dāng) 時(shí)， sin ～ 。B ③ lim K（ x） =K lim f（ x） =K 定義 2 設(shè)函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) 的某一鄰 域內(nèi)有定義，如果當(dāng) 時(shí)，函數(shù) y=f（ x）的極限值存在，且等于 處的函數(shù)值 ，即 則稱(chēng)函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) 連續(xù)，此時(shí)有 定義 3 設(shè)函數(shù) y=f（ x），如果 ，則稱(chēng)函數(shù) f（ x）在點(diǎn) 處左連續(xù)；如果 ，則稱(chēng)函數(shù) f（ x）在點(diǎn) 處右連續(xù)。 （二）函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì) 由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。 定理（有界性定理）如果函數(shù) f（ x）在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)，則 f（ x）必在 [a， b]上有界。 [答 ]0 例 （ 1）點(diǎn) x=1 是函數(shù) 的（）。若 F（ x）在點(diǎn) x=0 處連續(xù)，則 F（ 0）等于 ____。 （三）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間 [a， b]上連續(xù)的函數(shù) f（ x），有以下幾個(gè)基本性質(zhì)。 如需精美完整排版，請(qǐng)： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，如果 f（ x）在點(diǎn) 處有下列三種情況之一，則點(diǎn) 是 f（ x）一個(gè)間斷點(diǎn)。 （ 4）理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限 [主要知識(shí)內(nèi)容 ] （一）函數(shù)連續(xù)的概念 函數(shù)在點(diǎn) 處連續(xù) 定義 1 設(shè)函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變量 趨近于 0 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù) 也趨近于 0，即 或 則稱(chēng)函數(shù) y=f（ x）在點(diǎn) 處連續(xù)。f(x)lim但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換只能在極限的乘除運(yùn)算中使用。 如需精美完整排版，請(qǐng)： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 性質(zhì) 1 有限多個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量； 性質(zhì) 2 有界函數(shù)（變量）與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，常量與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。 （ 3）很小很小的數(shù)不是無(wú)窮小量，越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng) x 越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量。為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，我們沒(méi)有專(zhuān)門(mén)再提出數(shù)列，而把它歸入函數(shù)之中，并且有時(shí)將數(shù)列與函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為變量。 如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無(wú)限地趨于常數(shù) 2，因此有 （ 3）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限 定義 對(duì)于函數(shù) ，如果當(dāng)時(shí) ， 無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A，則稱(chēng)當(dāng) 時(shí)， 的極限是 A，記作 又如函數(shù) ，當(dāng) 時(shí)， 無(wú)限地趨于常數(shù) 2，因此我們說(shuō)，當(dāng) 時(shí)，函數(shù)的極限是 2，即有 由上述 ， ， 時(shí)，函數(shù) 極限的定義，不難看出： 時(shí)， 的極限是 A，這表示當(dāng)且僅當(dāng) 以及 時(shí)，函數(shù) 有相同的極限 A。 下面我們給出數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。 在幾何上，數(shù)列 可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn) 。 （二 ）數(shù)列極限的性質(zhì) 定理 （惟一性）若數(shù)列 收斂，則其極限值必定惟一。 顯然，函數(shù)的左極限 、右極限 與函數(shù)的極限 之間有以下關(guān)系： 如需精美完整排版，請(qǐng) ： 67460666 手機(jī) 137 8381 6366 聯(lián)系 定理 當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限等于 A 的必要充分條件是 這就是說(shuō)：如果當(dāng) 時(shí)，函數(shù) 的極限等于 A，則
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