抽屜原理、奇偶性問題(含答案)(singlewing)(存儲版)
【正文】 解：開會的“人次”有 4010=400（人次）。另一方面，只要進行20輪培訓就夠了。由于每3人中至少有兩人能通話，因此從A1與A2出發(fā)至少有7條聯(lián)線。通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學的魅力。99支鉛筆放進98個文具盒中。用它可以解決一些相當復(fù)雜甚至無從下手的問題。根據(jù)題目條件和結(jié)論，結(jié)合有關(guān)的數(shù)學知識，抓住最基本的數(shù)量關(guān)系，設(shè)計和確定解決問題所需的抽屜及其個數(shù)，為使用抽屜鋪平道路。解：把50名學生看作50個抽屜，把書看成蘋果 根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學生的人數(shù)多 即書至少需要50+1=51本 答：最少需要51本。例木箱里裝有紅色球3個、黃色球5個、藍色球7個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出多少個球？ 解：把3種顏色看作3個抽屜若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于3 大于3的最小數(shù)字是4 故至少取出4個小球才能符合要求 答：最少要取出4個球。第二步：制造抽屜。把3個蘋果放進2個抽屜里，一定有一個抽屜里放了2個或2個以上的蘋果。用自己的方法記錄（4，0，0）（3，1，0）（2，2，0）（2，1，1）你有什么發(fā)現(xiàn)？不管怎么放總有一個文具盒里至少放進2枝鉛筆。教學目標：經(jīng)歷“抽屜原理”的探究過程，初步了解“抽屜原理”，會用“抽屜原理”解決簡單的實際問題。不妨設(shè)A1A2與A1A3是同色線段，因此A1，A2，A3這3點表示的3名數(shù)學家可用同一種語言通話。解：如果培訓的總輪數(shù)少于20，那么在每一臺機器上可進行工作的工人果這3個工人某一天都沒有到車間來，那么這臺機器就不能開動，整個流水線就不能工作。所以只有1個白格的列至少有3列。在選出的51個數(shù)中，第10組的41個數(shù)全部選中，還有10個數(shù)從前9組中選，必有兩數(shù)屬于同一組，這一組中的任意兩個數(shù)，一個是另一個的倍數(shù)。所以至少有4個乒乓球盒里的乒乓球數(shù)目相同。解：因為493=3（10086+1）+1，即46=315+1，也就是說，把從100分至86分的15個分數(shù)當做抽屜，493=46（人）的成績當做物體，根據(jù)第二抽屜原理，至少有4人的分數(shù)在同一抽屜中，即成績相同。已知任何兩個委員不會同時開兩次或更多的會議。另一方面，若9個人的答案如下表所示，則每3人都至少有一個問題的答案互不相同。問：參加考試的學生最多有多少人？解：設(shè)每題的三個選擇分別為a，b，c。再考慮第二行的前四列，這時也有兩種可能：（1）這4格中，至少有2格被涂上藍色，那么這2個涂上藍色的小方格和第一行中與其對應(yīng)的2個小方格便是一個長方形的四個角，這個長方形四角同是藍色。例11 設(shè)有428的方格棋盤，將每一格涂上紅、藍、黃三種顏色中的任意一種。例9 圓周上有2000個點，在其上任意地標上0，1，2，…，1999（每一點只標一個數(shù)，不同的點標上不同的數(shù)）。例8 甲、乙二人為一個正方形的12條棱涂紅和綠2種顏色。解：依順時針方向?qū)⒒I碼依次編上號碼：1，2，…，100。將這8次局面看做蘋果，再需構(gòu)造出少于8個抽屜。解：將禮堂中的99人記為a1，a2，…，a99，將99人分為3組：（a1，a2，…，a33），（a34，a35，…，a66），（a67，a68，…，a99），將3組學生作為3個抽屜，分別記為A，B，C，并約定A中的學生所認識的66人只在B，C中，同時，B，C中的學生所認識的66人也只在A，C和A，B中。第五組中有22個數(shù)，故選出的51個數(shù)至少有29個數(shù)在第一組到第四組中，根據(jù)抽屜原理，總有8個數(shù)在第一組到第四組的某一組中，這8個數(shù)的最大公約數(shù)大于1。使用抽屜原理解題，關(guān)鍵是構(gòu)造抽屜。分析與解答 根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。五 課堂練習，任取7個數(shù)，證明其中一定有兩個數(shù)之和是29。例題講解例1 有5個小朋友，這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。以此類推，要保證有3副同色的，共摸出的手套有：5+2+2=9（只）答：最少要摸出9只手套，才能保證有3副同色的。這時拿出1副同色的后4個抽屜中還剩3只手套。因為總數(shù)為1+9+15+31＝56 56/4＝14 14是一個偶數(shù)而原來131都是奇數(shù)，取出1個和放入3個也都是奇數(shù)，奇數(shù)加減若干次奇數(shù)后，結(jié)果一定還是奇數(shù)，不可能得到偶數(shù)（14個）。分析與解答在這20個自然數(shù)中，差是12的有以下8對：｛20，8｝，｛19，7｝，｛18，6｝，｛17，5｝，｛16，4｝，｛15，3｝，｛14，2｝，｛13，1｝。、?、19200中任選101個數(shù)，求證在選出的這些自然數(shù)中至少有兩個數(shù)，：｛10，19｝，｛11，18｝，｛12，17｝，｛13，16｝，｛14，15｝，｛20｝，從中任取7個數(shù)，根據(jù)抽屜原理，一定有兩個數(shù)取自同一數(shù)組，則這兩個數(shù)的和是29。如果每個抽屜至多有2個選定的數(shù)，那么5個數(shù)在3個抽屜中的分配必為1個，2個，2個，那么這3個數(shù)除以3得到的余數(shù)分別為0、它們的和也一定能被3整除（0+1+2被3整除）。證明：（1）將100個數(shù)分成50組：{1，2}，{3，4}，…，{99，100}。4＝499，故只需證明可以找到一個各位數(shù)字都是1的自然數(shù)，它是499的倍數(shù)就可以了。例4 如右圖，分別標有數(shù)字1，2，…，8的滾珠兩組，放在內(nèi)外兩個圓環(huán)上，開始時相對的滾珠所標數(shù)字都不相同。例5 有一個生產(chǎn)天平上用的鐵盤的車間，由于工藝上的原因。下面我們來考慮另外一種情況：若把5個蘋果放到6個抽屜中，則必然有一個抽屜空著。如右圖將12條棱分成四組：第一組：{A1B1，B2B3，A3A4}，第二組：{A2B2，B3B4，A4A1}，第三組：{A3B3，B4B1，A1A2}，第四組：{A4B4，B1B2，A2A3}。下面考慮一切相鄰三數(shù)組之和：（a1＋a2＋a3）+（a2＋a3＋a4）＋…＋（a1998+a1999＋a2000）＋（a1999＋a2000＋a1）＋（a2000＋a1＋a2）=3（a1＋a2＋…＋a2000）＝31999000。下面考察第二、三、四行中前面10個小方格可能出現(xiàn)的涂色情況。下面繼續(xù)考慮第三行前面3格的情況。對于這7人關(guān)于第二題應(yīng)用第二抽屜原理知，其中必可選出5人，他們關(guān)于第二題的答案只有兩種可能。數(shù)學王老師了解到在期中考試中該班英文成績除3人外均在86分以上后就說：“我可以斷定，本班同學
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