【正文】 點，證明在以這些點為頂點的三角形中，必有一個三角形的面積不超過1/：分別連結(jié)正方形兩組對邊的中點，將正方形分為四個全等的小正方形，則各個小正方形的面積均為1/4。解：把50名學(xué)生看作50個抽屜，把書看成蘋果 ,根據(jù)原理1，書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=．在一條長100米的小路一旁植樹101棵，不管怎樣種，總有兩棵樹的距離不超過1米?！背閷显碛袝r也被稱為鴿巢原理（“如果有五個鴿子籠，養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子，那么當(dāng)鴿子飛回籠中后，至少有一個籠子中裝有2只鴿子”）。例１：：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得知：：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套。例2：對于任意的五個自然數(shù)，∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0，1，2，不妨分別構(gòu)造為3個抽屜：[0]，[1]，[2]①若這五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個抽屜中，我們從這三個抽屜中各取1個，其和必能被3整除.②若這5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中，則其中必有一個抽屜，包含有3個余數(shù)（抽屜原理），而這三個余數(shù)之和或為0，或為3，或為6，故所對應(yīng)的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù).③若這5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中，很顯然，′：對于任意的11個整數(shù)，證明其中一定有6個數(shù)，：設(shè)這11個整數(shù)為：a1，a2，a3……a11 又6=2①先考慮被3整除的情形由例2知，在11個任意整數(shù)中，必存在：3|a1+a2+a3，不妨設(shè)a1+a2+a3=b1；同理，剩下的8個任意整數(shù)中，由例2，必存在：3 | a4+a5++a5+a6=b2；同理，其余的5個任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3②再考慮bb，bbb3這三個整數(shù)中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇（或同偶）|b1+b則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11個整數(shù)，：任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，：注意到這些數(shù)隊以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個抽屜，標(biāo)以[0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似不便運用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]，[9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).（二）面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個梯形，作中位線MN?！崩?”：17個科學(xué)家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學(xué)家之間通信討論的是同一個問題。否則，他們間只討論丙問題，這樣結(jié)論也成立。分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，看成10個抽屜（顯然，它們具有上述性質(zhì)）：｛1，2，4，8，16｝，｛3，6，12｝，｛5，10，20｝，｛7，14｝，｛9，18｝，｛11｝，｛13｝，｛15｝，｛17｝，｛19｝。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜qi，因為ai為整數(shù)，應(yīng)有ai≤qi－1，于是有：a1＋a2＋…＋an≤q1＋q2＋…＋qn－n ＜q1＋q2＋…＋qn－n＋1這與題設(shè)矛盾。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢？這個原理叫做抽屜原理。”利用上述原理容易證明：“任意7個整數(shù)中，至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)?？紤]A點與其余各點間的5條連線AB，AC，...，AF，它們的顏色不超過2種。教學(xué)目標(biāo)：：初步了解抽屜原理，運用抽屜原理知識解決簡單的實際問題。師：先進(jìn)入活動（一）：把4枝吸管放進(jìn)3個杯子里，有多少種放法呢？會出現(xiàn)什么情況呢？大家擺擺看。那為什么會出現(xiàn)這種情況呢？可不可以每個杯子里只放1枝吸管呢？和小組里的同學(xué)說說你的想法。課件出示：只要放的吸管數(shù)比杯子的數(shù)量多1，不論怎么放，總有一個杯子里至少放進(jìn)2枝吸管?！翱傆小薄ⅰ爸辽佟钡暮x總有一個杯子：一定有一個杯子，但并不一定是只有一個杯子。教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情景，導(dǎo)入新課分配房間3個人住兩個房間 4個人住3個房間板書課題：抽屜原理展示學(xué)習(xí)目標(biāo)1經(jīng)歷抽屜原理的探究過程，初步了解抽屜原理；2運用抽屜原理解決簡單的實際問題。從六人集會問題的證明中，我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用?！边@個問題可以用如下方法簡單明了地證出：在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。這相當(dāng)于把6個東西放入5個抽屜，至少有2個東西在同一抽屜里?！薄皬臄?shù)1，2，...，10中任取6個數(shù)，其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同。（用反證法）假設(shè)結(jié)論不成立，即對每一個ai都有ai＜[n/k]，于是有：a1＋a2＋…＋ak＜[n/k]+[n/k]+…+[n/k] ＝k?[n/k]≤k?(n/k)＝nk個[n/k] ∴ a1＋a2＋…＋ak＜n 這與題設(shè)相矛盾。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。另外還有4個不能配對的數(shù)｛9｝，｛10｝，｛11｝，｛12｝，共制成12個抽屜（每個括號看成一個抽屜）.只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜，那么它們的差就等于12，根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù)，即可辦到（取12個數(shù)：從12個抽屜中各取一個數(shù)（例如取1，2，3，…，12），那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12）。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題，不妨設(shè)這三位是C，D，E，且討論的是乙問題。因而無論怎樣著色，在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。例1 證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。[證明]（反證法）：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設(shè)矛盾，故不可能二．應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素，易于接受，它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理?？梢姡绾螛?gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。解：以一個數(shù)被3除的余數(shù)0、2構(gòu)造抽屜，共有3個抽屜。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。17．六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。15．某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。④11,12,13,14,15,16。解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。解：因為任意分成四組，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有42＋1＝9（人）；因為任意10人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學(xué)生，他們所借的書的類型相同。有400個小朋友參加夏令營，問：這些小朋友中至少有多少人不單獨過生日。(1)按照最不利的情況，先取出2張王牌，然后每種花色取3張，這個時候無論再取哪一種花色的牌都能保證有一種花色是4張牌，所以需要取2+34+1=15張牌即可滿足要求。解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種：｛足｝｛排｝｛藍(lán)｝｛足足｝｛排排｝｛藍(lán)藍(lán)｝｛足排｝｛足藍(lán)｝｛排藍(lán)｝以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學(xué)看作蘋果＝??由抽屜原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的。顯然，以這三個點為頂點的三角形的面積不超過1/8。分析：解這道題，可以考慮先將4與100，7與97，49與55??，這些和等于104的兩個數(shù)組成一組，構(gòu)成16個抽屜，剩下1和52再構(gòu)成2個抽屜，這樣，即使20個數(shù)中取到了1和52，剩下的18個數(shù)還必須至少有兩個數(shù)取自前面16個抽屜中的兩個抽屜，從而有不同的兩組數(shù)，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。10=8??1（個）。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。16．一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。另外，還有2個不能配對的數(shù)是｛6｝｛7｝。,證明:取出的數(shù)中一定有兩個數(shù),:把前25個自然數(shù)分成下面6組:1。，每位乘客都只帶有一種水果。解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下９種：﹛足﹜﹛排﹜﹛藍(lán)﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍(lán)藍(lán)﹜﹛足排﹜﹛足藍(lán)﹜﹛排藍(lán)﹜。3．11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。23．班上有50名學(xué)生，將書分給大家，至少要拿多少本，才能保證至少有一個學(xué)生能得到兩本或兩本以上的書。任意五個數(shù)放入這三個抽屜中，若每個抽屜內(nèi)均有數(shù)，則各抽屜取一個數(shù)，這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論成立；若至少有一個抽屜內(nèi)沒有數(shù)，那么5個數(shù)中必有三個數(shù)在同一抽屜內(nèi)，這三個數(shù)的和是3的倍數(shù)，結(jié)論亦成立。共有1＋3＋3＝7（種）情況。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（種）。問：至少有多少名學(xué)生訂閱的雜志種類相同？分析與解：首先應(yīng)當(dāng)弄清訂閱雜志的種類共有多少種不同的情況。今有玩具122件，122=340＋2。⑤17,18,19,20,21,22,23,⑥因為從前25個自然數(shù)中任意取出7個數(shù),所以至少有兩個數(shù)取自上面第②組到第⑥組中的某同一組,．一副撲克牌有四種花色，每種花色各有13張，現(xiàn)在從中任意抽牌。對于每一堆蘋果和梨，奇偶可能性有4種：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根據(jù)抽屜原理可知最少分了4+1=5筐。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）證明：從1，3，5，……，99中任選26個數(shù)，其中必有兩個數(shù)的和是100。4．有50名運動員進(jìn)行某個項目的單循環(huán)賽，如果沒有平局，也沒有全勝，試證明：一定有兩個運動員積分相同。第二篇：抽屜原理練習(xí)題抽屜原理練習(xí)題1．木箱里裝有紅色球３個、黃色球５個、藍(lán)色球７個，若蒙眼去摸，為保證取出的球中有兩個球的顏色相同，則最少要取出球？解：把３種顏色看作３個抽屜，若要符合題意，則小球的數(shù)目必須大于３，故至少取出４個小球才能符合要求。反思：將邊長為1的正方形分成4個面積均為1/4 的小正方形，從而構(gòu)造出4個抽屜，是解決本題的關(guān)鍵。解：1，4，7，10，??，100中共有34個數(shù)，將其分成{4，100}，{7，97}，??，{49，55}，{1}，{52}共18個抽屜，從這18個抽屜中任取20個數(shù)，若取到1和52，則剩下的18個數(shù)取自前16個抽屜，至少有4個數(shù)取自某兩個抽屜中，結(jié)論成立；若不全取1和52，則有多于18個數(shù)取自前16個抽屜，結(jié)論亦成立。根據(jù)抽屜原理2，至少有8＋1＝9（個）小朋友拿的水果相同。因為100＝147＋2。問：一次至少要取出多少木塊，才能保證其中至少有3塊號碼相同的木塊？分析與解：將1，2，3，4四種號碼看成4個抽屜?？蓸?gòu)造抽屜原理，共構(gòu)造了7個抽屜。①2,3。如果乘客中有人帶梨，并且其中任何兩位乘客中至少有一個人帶蘋果，那么乘客中有______人帶蘋果。以這９種配組方式制造９個抽屜，將這50個同學(xué)看作蘋果50247。試證明：必有兩個學(xué)生所借的書的類型相同。3．11名學(xué)生到老師家借書，老師是書房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四類書，每名學(xué)生最多可借兩本不同類的書，最少借一本。解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下９種：﹛足﹜﹛排﹜﹛藍(lán)﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛藍(lán)藍(lán)﹜﹛足排﹜﹛足藍(lán)﹜﹛排藍(lán)﹜。，每位乘客都只帶有一種水果。,證明:取出的數(shù)中一定有兩個數(shù),:把前25個自然數(shù)分成下面6組:1。另外，還有2個不能配對的數(shù)是｛6｝｛7｝。16．一個布袋中有40塊相同的木塊，其中編上號碼1，2，3，4的各有10塊。我們將這7種訂法看成是7個“抽屜”，把100名學(xué)生看作100件物品。10=8??1（個）。分析：解這道題，可以考慮先將4與100，7與97，49與55??，這些和等于104的兩個數(shù)組成一組，構(gòu)成16個抽屜，剩下1和52再構(gòu)成2個抽屜，這樣，即使20個數(shù)中取到了1和52，剩下的18個數(shù)還必須至少有兩個數(shù)取自前面16個抽屜中的兩個抽屜，從而有不同的兩組數(shù)，其和等于104；如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。顯然，以這三個點為頂點的三角形的面積不超過1/8。解：根據(jù)規(guī)定，多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種：｛足｝｛排｝｛藍(lán)｝｛足足｝｛排排｝｛藍(lán)藍(lán)｝｛足排｝｛足藍(lán)｝｛排藍(lán)｝以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學(xué)看作蘋果＝??5由抽屜原理2k＝〔 〕＋1可得，至少有6人，他們所拿的球類是完全一致的。如果誰借哪種類型的書，就進(jìn)入哪個抽屜，由抽屜原理，至少有兩個學(xué)生，他們所借的書的類型相同。解：因為任意分成四組，必有一組的女生多于2人，所以女生至少有42＋1＝9（人）；因為任意10人中必有男生，所以女生人數(shù)至多有9人。解析：要求把其中兩堆合并在一起后，蘋果和梨的個數(shù)一定是偶數(shù)，那么這兩堆水果中，蘋果和梨的奇偶性必須相同。④11,12,13,14,15,16。15．某幼兒班有40名小朋友，現(xiàn)有各種玩具122件，把這些玩具全部分給小朋友，是否會有小朋友得到4件或4件以上的玩具？分析與解：將40名小朋友看成40個抽屜。17．六年級有100名學(xué)生，他們都訂閱甲、乙、丙三種雜志中的一種、二種或三種。兩個水果是相同的有4種，兩個水果不同有6種：蘋果和梨、蘋果和桃、蘋果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。不參加學(xué)習(xí)班有1種情況，只參加一個學(xué)習(xí)班有3種情況，參加兩個學(xué)習(xí)班有語文和數(shù)學(xué)、語文和美術(shù)、數(shù)學(xué)和美術(shù)3種情況。解：以一個數(shù)被3除的余數(shù)0、2構(gòu)造抽屜