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小學(xué)六年級數(shù)學(xué)抽屜原理練習(xí)題(文件)

2024-11-04 04:35 上一頁面

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【正文】 52,或1和52不全取到,那么和等于104的數(shù)組將多于兩組。解:以一個數(shù)被3除的余數(shù)0、2構(gòu)造抽屜,共有3個抽屜。顯然,以這三個點為頂點的三角形的面積不超過1/8。可見,如何構(gòu)造抽屜是利用抽屜原理解決問題的關(guān)鍵。解:根據(jù)規(guī)定,多有同學(xué)拿球的配組方式共有以下9種:{足}{排}{藍}{足足}{排排}{藍藍}{足排}{足藍}{排藍}以這9種配組方式制造9個抽屜,將這50個同學(xué)看作蘋果=……5由抽屜原理2k=〔〕+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致的。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。它是組合數(shù)學(xué)中一個重要的原理。[證明](反證法):若每個抽屜都有不少于m個物體,則總共至少有mn個物體,與題設(shè)矛盾,故不可能二.應(yīng)用抽屜原理解題抽屜原理的內(nèi)容簡明樸素,易于接受,它在數(shù)學(xué)問題中有重要的作用?!崩?:幼兒園買來了不少白兔、熊貓、長頸鹿塑料玩具,每個小朋友任意選擇兩件,那么不管怎樣挑選,在任意七個小朋友中總有兩個彼此選的玩具都相同,:從三種玩具中挑選兩件,搭配方式只能是下面六種:(兔、兔),(兔、熊貓),(兔、長頸鹿),(熊貓、熊貓),(熊貓、長頸鹿),(長頸鹿、長頸鹿)。例1 證明:任取8個自然數(shù),必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。于是點H有確定的位置(它在正方形一對對邊中點的連線上,且|MH|:|NH|=2:3).由幾何上的對稱性,這種點共有四個(即圖中的H、J、I、K).已知的九條適合條件的分割直線中的每一條必須經(jīng)過H、J、I、J、I、K看成四個抽屜,九條直線當(dāng)成9個物體,即可得出必定有3條分割線經(jīng)過同一點.(三)染色問題例1正方體各面上涂上紅色或藍色的油漆(每面只涂一種色),:把兩種顏色當(dāng)作兩個抽屜,把正方體六個面當(dāng)作物體,那么6=22+2,根據(jù)原理二, 有5個小朋友,這5個人中至少有兩個小朋友摸出的棋子的顏色的配組是一樣的。因而無論怎樣著色,在這六點之間的所有線段中至少能找到一個同色三角形。解:不妨設(shè)A是某科學(xué)家,他與其余16位討論僅三個問題,由鴿籠原理知,他至少與其中的6位討論同一問題。這樣又由鴿籠原理知B至少與另三位討論同一問題,不妨設(shè)這三位是C,D,E,且討論的是乙問題。分析與解答我們用題目中的15個偶數(shù)制造8個抽屜:凡是抽屜中有兩個數(shù)的,都具有一個共同的特點:這兩個數(shù)的和是34。另外還有4個不能配對的數(shù){9},{10},{11},{12},共制成12個抽屜(每個括號看成一個抽屜).只要有兩個數(shù)取自同一個抽屜,那么它們的差就等于12,根據(jù)抽屜原理至少任選13個數(shù),即可辦到(取12個數(shù):從12個抽屜中各取一個數(shù)(例如取1,2,3,…,12),那么這12個數(shù)中任意兩個數(shù)的差必不等于12)。例4:某校校慶,來了n位校友,在這n個校友中至少有兩人握手的次數(shù)一樣多。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理,它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題,因此,也稱為狄利克雷原則。所以,至少有一個ai≥2,即必有一個集合中含有兩個或兩個以上的元素。(用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對每一個ai都有ai<[n/k],于是有:a1+a2+…+ak<[n/k]+[n/k]+…+[n/k] =k?[n/k]≤k?(n/k)=nk個[n/k] ∴ a1+a2+…+ak<n 這與題設(shè)相矛盾。例題1::生日從1月1日排到12月31日,共有366個不相同的生日,我們把366個不同的生日看作366個抽屜,400人視為400個蘋果,由表現(xiàn)形式1可知,至少有兩人在同一個抽屜里,:將一年中的366天視為366個抽屜,400個人看作400個蘋果,由抽屜原理的表現(xiàn)形式1可以得知::任取5個整數(shù),必然能夠從中選出三個,:任意給一個整數(shù),它被3除,余數(shù)可能為0,1,2,我們把被3除余數(shù)為0,1,2的整數(shù)各歸入類r0,r1,:1176?!薄皬臄?shù)1,2,...,10中任取6個數(shù),其中至少有2個數(shù)為奇偶性不同?!痹谏厦娴牡谝粋€結(jié)論中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。這相當(dāng)于把6個東西放入5個抽屜,至少有2個東西在同一抽屜里。如果問題所討論的對象有無限多個,抽屜原理還有另一種表述:“把無限多個東西任意分放進n個空抽屜(n是自然數(shù)),那么一定有一個抽屜中放進了無限多個東西?!边@個問題可以用如下方法簡單明了地證出:在平面上用6個點A、B、C、D、E、F分別代表參加集會的任意6個人。如果BC,BD,CD 3條連線中有一條(不妨設(shè)為BC)也為紅色,那么三角形ABC即一個紅色三角形,A、B、C代表的3個人以前彼此相識:如果BC、BD、CD 3條連線全為藍色,那么三角形BCD即一個藍色三角形,B、C、D代表的3個人以前彼此不相識。從六人集會問題的證明中,我們又一次看到了抽屜原理的應(yīng)用。:通過“抽屜原理”的靈活應(yīng)用感受數(shù)學(xué)的魅力;提高同學(xué)們解決問題的能力和興趣。教學(xué)過程:一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課分配房間3個人住兩個房間 4個人住3個房間板書課題:抽屜原理展示學(xué)習(xí)目標1經(jīng)歷抽屜原理的探究過程,初步了解抽屜原理;2運用抽屜原理解決簡單的實際問題。,自主探究。“總有”、“至少”的含義總有一個杯子:一定有一個杯子,但并不一定是只有一個杯子。課件演示:如果每個杯子只放1枝吸管,最多放3枝。課件出示:只要放的吸管數(shù)比杯子的數(shù)量多1,不論怎么放,總有一個杯子里至少放進2枝吸管。如果把5枝吸管放進4個杯子,結(jié)果是否一樣呢?怎樣解釋這一現(xiàn)象?師:把4枝吸管放進3個杯子里,把5枝吸管放進4個杯子里,都會出現(xiàn)“總有一個杯子里至少有2枝吸管”的現(xiàn)象。那為什么會出現(xiàn)這種情況呢?可不可以每個杯子里只放1枝吸管呢?和小組里的同學(xué)說說你的想法。 指名演示。師:先進入活動(一):把4枝吸管放進3個杯子里,有多少種放法呢?會出現(xiàn)什么情況呢?大家擺擺看。教學(xué)難點:理解“抽屜原理”,并對一些簡單實際問題加以“模型化”。教學(xué)目標::初步了解抽屜原理,運用抽屜原理知識解決簡單的實際問題。六人集會問題是組合數(shù)學(xué)中著名的拉姆塞定理的一個最簡單的特例,這個簡單問題的證明思想可用來得出另外一些深入的結(jié)論。考慮A點與其余各點間的5條連線AB,AC,...,AF,它們的顏色不超過2種。許多有關(guān)存在性的證明都可用它來解決?!崩蒙鲜鲈砣菀鬃C明:“任意7個整數(shù)中,至少有3個數(shù)的兩兩之差是3的倍數(shù)。在第二個結(jié)論中,不妨想象將5雙手套分別編號,即號碼為1,2,...,5的手套各有兩只,同號的兩只是一雙。這些結(jié)論是依據(jù)什么原理得出的呢?這個原理叫做抽屜原理。.某兩類各含兩個數(shù),就在至少包含三個數(shù)的那一類中任取三數(shù),其和一定能被3整除;若是第二種情況,在三類中各取一個數(shù),其和也能被3整除..綜上所述,:某校派出學(xué)生204人上山植樹15301株,其中最少一人植樹50株,最多一人植樹100株,:按植樹的多少,從50到100株可以構(gòu)造51個抽屜,則個問題就轉(zhuǎn)化為至少有5人植樹的株數(shù)在同一個抽屜里.(用反證法)假設(shè)無5人或5人以上植樹的株數(shù)在同一個抽屜里,那只有5人以下植樹的株數(shù)在同一個抽屜里,而參加植樹的人數(shù)為204人,所以,每個抽屜最多有4人,故植樹的總株數(shù)最多有:4(50+51+…+100)=4 =15300<,:1.邊長為1的等邊三角形內(nèi)有5個點,.邊長為1的等邊三角形內(nèi),若有n2+1個點,.求證:任意四個整數(shù)中,.某校高一某班有50名新生,.某個年級有202人參加考試,滿分為100分,且得分都為整數(shù),總得分為10101分,則至少有3人得分相同.“任意367個人中,必有生日相同的人。(用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對每一個ai都有ai<qi,因為ai為整數(shù),應(yīng)有ai≤qi-1,于是有:a1+a2+…+an≤q1+q2+…+qn-n <q1+q2+…+qn-n+1這與題設(shè)矛盾。用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立,即對每一個ai都有ai<m+1,則因為ai是整數(shù),應(yīng)有ai≤m,于是有:a1+a2+…+an≤m+m+…+m=n?m<n?m+1n個m 這與題設(shè)相矛盾。把它推廣到一般情形有以下幾種表現(xiàn)形式。在有些問題中,“抽屜”和“物體”不是很明顯的,需要精心制造“抽屜”和“物體”.如何制造“抽屜”和“物體”可能是很困難的,一方面需要認真地分析題目中的條件和問題,另一方面需要多做一些題積累經(jīng)驗。分析與解答根據(jù)題目所要求證的問題,應(yīng)考慮按照同一抽屜中,看成10個抽屜(顯然,它們具有上述性質(zhì)):{1,2,4,8,16},{3,6,12},{5,10,20},{7,14},{9,18},{11},{13},{15},{17},{19}。例2:從…、120這20個自然數(shù)中,至少任選幾個數(shù),就可以保證其中一定包括兩個數(shù),它們的差是12。否則,他們間只討論丙問題,這樣結(jié)論也成立。若這6位中有兩位之間也討論甲問題,則結(jié)論成立?!崩?”:17個科學(xué)家中每個人與其余16個人通信,他們通信所討論的僅有三個問題,而任兩個科學(xué)家之間通信討論的是同一個問題。例3:假設(shè)在一個平面上有任意六個點,無三點共線,每兩點用紅色或藍色的線段連起來,都連好后,問你能不能找到一個由這些線構(gòu)成的三角形,使三角形的三邊同色?解:首先可以從這六個點中任意選擇一點,然后把這一點到其他五點間連五條線段,如圖,在這五條線段中,至少有三條線段是同一種顏色,假定是紅色,現(xiàn)在我們再單獨來研究這三條紅色的線。例2:對于任意的五個自然數(shù),∵任何數(shù)除以3所得余數(shù)只能是0,1,2,不妨分別構(gòu)造為3個抽屜:[0],[1],[2]①若這五個自然數(shù)除以3后所得余數(shù)分別分布在這3個抽屜中,我們從這三個抽屜中各取1個,其和必能被3整除.②若這5個余數(shù)分布在其中的兩個抽屜中,則其中必有一個抽屜,包含有3個余數(shù)(抽屜原理),而這三個余數(shù)之和或為0,或為3,或為6,故所對應(yīng)的3個自然數(shù)之和是3的倍數(shù).③若這5個余數(shù)分布在其中的一個抽屜中,很顯然,′:對于任意的11個整數(shù),證明其中一定有6個數(shù),:設(shè)這11個整數(shù)為:a1,a2,a3……a11 又6=2①先考慮被3整除的情形由例2知,在11個任意整數(shù)中,必存在:3|a1+a2+a3,不妨設(shè)a1+a2+a3=b1;同理,剩下的8個任意整數(shù)中,由例2,必存在:3 | a4+a5++a5+a6=b2;同理,其余的5個任意整數(shù)中,有:3|a7+a8+a9,設(shè):a7+a8+a9=b3②再考慮bb,bbb3這三個整數(shù)中,至少有兩個是同奇或同偶,這兩個同奇(或同偶)|b1+b則:6|b1+b2,即:6|a1+a2+a3+a4+a5+a6∴任意11個整數(shù),:任意給定7個不同的自然數(shù),求證其中必有兩個整數(shù),:注意到這些數(shù)隊以10的余數(shù)即個位數(shù)字,以0,1,…,9為標準制造10個抽屜,標以[0],[1],…,[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜,其差是10的倍數(shù),只是僅有7個自然數(shù),似不便運用抽屜原則,再作調(diào)整:[6],[7],[8],[9]四個抽屜分別與[4],[3],[2],[1]合并,則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù),它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問題例:九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形,證明::如圖,設(shè)直線EF將正方形分成兩個梯形,作中位線MN。下面我們來研究有關(guān)的一些問題。例1::將一年中的366天視為366個抽屜,400個人看作400個物體,由抽屜原理1可以得知::我們從街上隨便找來13人,就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同.“從任意5雙手套中任取6只,其中至少有2只恰為一雙手套。[證明](反證法):如果每個抽屜至多只能放進一個物體,那么物體的總數(shù)至多是n,而不是題設(shè)的n+k(k≥1), 把多于mn個的物體放到n個抽屜里,則至少有一個抽屜里有m+1個或多于m+1個的物體?!背閷显碛袝r也被稱為鴿巢原理(“如果有五個鴿子籠,養(yǎng)鴿人養(yǎng)了6只鴿子,那么當(dāng)鴿子飛回籠中后,至少有一個籠子中裝有2只鴿子”)。,現(xiàn)在有課外書125本。解:把50名學(xué)生看作50個抽屜,把書看成蘋果 ,根據(jù)原理1,書的數(shù)目要比學(xué)生的人數(shù)多,即書至少需要50+1=.在一條長100米的小路一旁植樹101棵,不管怎樣種,總有兩棵樹的距離不超過1米。我們知道。,任意放入9個點,證明在以這些點為頂點的三角形中,必有一個三角形的面積不超過1/:分別連結(jié)正方形兩組對邊的中點,將正方形分為四個全等的小正方形,則各個小正方形的面積均為1/4。,必可找出3個數(shù),使這三個數(shù)的和能被3整除。將這7種情況作為7個“抽屜”,根據(jù)抽屜原理2,要保證不少于5名同學(xué)參加學(xué)習(xí)班的情況相同,要有學(xué)生 7(51)+1=29(名)。19.學(xué)校開辦了語文、數(shù)學(xué)、美術(shù)三個課外學(xué)習(xí)班,每個學(xué)生最多可以參加兩個(可以不參加)。將這10種搭配作為10個“抽屜”。根據(jù)抽屜原理2,至少有14+1=15(人)所訂閱的報刊種類是相同的。訂一種雜志有:訂甲、訂乙、訂丙3種情況;訂二種雜志有:訂甲乙、訂乙丙、訂丙甲3種情況;訂三種雜志有:訂甲乙丙1種情況。要保證有一個抽屜中至少有3件物品,根據(jù)抽屜原理2,至少要有42+1=9(件)物品。應(yīng)用抽屜原理2,取n=40,m=3,立即知道:至少有一個抽屜中放有4件或4件以上的玩具。只要有兩個數(shù)是取自同一個抽屜,那么它們的差就等于7。問最少抽幾張牌,才能保證有4張牌是同一種花色的?解析:根據(jù)抽屜原理,當(dāng)每次取出4張牌時,則至少可以保障每種花色一樣一張,按此類推,當(dāng)取出12張牌時,則至少可以保障每種花色一樣三張,所以當(dāng)抽取第13張牌時,無論是什么花色,都可以至少保障有4張牌是同一種花色,選B。② 4,5,6。、白色、藍色手套各5只(不分左右手),至少要拿出_____只(拿的時候不許看顏色),才能使拿出的手套中一定有兩雙是同顏色的。解析:由題意,不帶蘋果的乘客不多于一名,但又確實有不帶蘋果的乘客,所以不帶蘋果的乘客恰有一名,所以帶蘋果的就有46人。解析:將這50個奇數(shù)按照和為100,放進25個抽屜:(1,99),(3,97),(5,95),……,(49,51)。9 =5……5由抽屜原理2k=[m/n ]+1可得,至少有6人,他們所拿的球類是完全一致
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