【正文】 jx j n? 為待定的決策變量，已知的系數(shù) ija 組成的矩陣 11 12 121 22 212nnm m m nAa a aa a aa a a????????? () 2 稱為約束矩陣． A 的列向量記為 jA ， 1,...,jn? ； A 的行向量記為 , 1,...,TiA i m? (T 為轉(zhuǎn)置符號(hào) )，稱 1 1 2 2 nnc x c x c x??為目標(biāo)函數(shù)，記為 xcjnj jz ??? 1,向量 ? ?Tnccc ,1 ?? 稱為價(jià)值向量， jc（ j=1， … ,n） 稱為價(jià)值系數(shù)；向量 ? ?Tmbbb ,1 ?? 稱為右端向量，條件 0jx?稱為非負(fù)約束；如果原問題是求目標(biāo)函數(shù) xcjnj j??1的最大值，可等價(jià)地轉(zhuǎn)換為求)(1 xc jnj j?? ? 的最小值 .因此，我們一般考慮的是求最小值的問題． 一個(gè)滿足所有約束條件的向量 ? ?Tnxxx ?,1? 稱為線性規(guī)劃問題 ()的可行解或可行點(diǎn) .所有的可行點(diǎn)組成的集合稱為線性規(guī)劃問題 ()的可行區(qū)域，記為 D． 給定一個(gè)線性規(guī)劃問題，下列三種情況必居其一：（ 1） D=? ，稱該問題無解或不可行；（ 2） D≠ ? ，但 目標(biāo)函數(shù)在 D上無界，此時(shí)稱該問題無界；（ 3）求解一個(gè)線性規(guī)劃問題就是要判斷該問題屬于哪種情況，當(dāng)問題有最優(yōu)解時(shí)，還需要在可行區(qū)域中求出使目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小值的點(diǎn)，也就是最優(yōu)解，以及目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值 [1]． 線性規(guī)劃的發(fā)展 有關(guān)線性規(guī)劃這個(gè)概念的提出，分別由 法國數(shù)學(xué)家 －普森分別于 1832 和 1911 年獨(dú)立地提出， 可惜當(dāng)時(shí)并 未引起 人們的 注意 . 接著， 1939 年在《生產(chǎn)組織與計(jì)劃中的 數(shù)學(xué)方法 》一書中提出線性規(guī)劃問題， 這個(gè)作家就是 蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家 . 康托羅維奇 ，但 也未引起 大家的 重視 . 1947 年這門學(xué)科 終于被 奠定了基礎(chǔ) ，就是因?yàn)?美國數(shù)學(xué)家 所 提出線性規(guī)劃的一般 數(shù)學(xué)模型 和求解線性規(guī)劃問題的通用方法 ── 單純形法 ，大家終歸初步懂得怎么求解線性規(guī)劃問題 ． 緊接著，終于在 1947 年 ，人們 開創(chuàng)了線性規(guī)劃的許多新的研究領(lǐng)域 ，就是因?yàn)?美國數(shù)學(xué)家 諾伊曼提出 對(duì)偶 理論 ,擴(kuò)大 了它的應(yīng)用范圍和解題能力 .1951 年 ， 線性規(guī)劃 被 應(yīng)用到經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域 ， 美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家 1975年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng) ，取得了重大的成就 .上世紀(jì) 50 年代的線性規(guī)劃理論的研究中，一大批新算法的出現(xiàn)離不開科學(xué)家的貢獻(xiàn)。 x21+x23+x24+x25=。 x14+x24=。 x11+x21+x31=。 x15+x25+x35=。 x13+x23+x33=。 end 附錄二：附錄一的運(yùn)行結(jié)果 Global optimal solution found. Objective value: Infeasibilities: Total solver iterations: 8 Variable Value Reduced Cost X11 X12 X13 X14 X15 X21 X23 X24 X25 X31 14 X32 X33 X35 X34 Row Slack or Surplus Dual Price 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 附錄三：求解問題 2 的 LINGO 程序 min=*x11+*x12+*x13+*x14+*x15+*x21+*x23 +*x24+*x25+*x31+*x32+*x33+*x35。 x12+x32=。 超出五個(gè)小區(qū)所需的每天基本用氣量和額外用 氣 量 之 和 為bbbbbaaaaa 5432154321 ????????? （單位： 4310m ），所以供氣站供氣量不能全部輸出．天然氣公司所收取天然氣費(fèi)用為 n 萬元 / 4310m ，此外其他管理費(fèi)用為 m 萬元/ 4310m ，還加上輸氣管理費(fèi)如上表，所以可得實(shí)際三個(gè)供氣站所得利潤如下 管理費(fèi) /（萬元） 甲 乙 丙 丁 戊 A p11 p12 p13 p14 p15 B p21 p22 p23 p24 p25 C p31 p32 p33 p34 p35 5 表 2 從燃?xì)夤?yīng)點(diǎn)向各小區(qū)供氣的純利潤 純利潤 /（萬元） 甲 乙 丙 丁 戊 A pmn 11?? pmn 12?? pmn 13?? pmn 14?? pmn 15?? B pmn 21?? pmn 22?? pmn 23?? pmn 24?? pmn 25?? C pmn 31?? pmn 3