【正文】 ......... 28 SIMULINK 仿真 .......................................... 28 基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 V SIMULINK 仿真的功能 .................................. 28 SIMULINK 仿真的特點(diǎn) .................................. 28 SIMULINK 仿真實(shí)例 ...................................... 29 第五章 設(shè)計(jì)總結(jié) ............................................. 31 結(jié) 語(yǔ) ........................................................ 32 參考文 獻(xiàn) .................................................... 33 致 謝 ...................................................... 34 基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 1 前 言 隨著信 息時(shí)代 和數(shù) 字時(shí)代 的到 來(lái)，數(shù) 字信 號(hào)處理 已成 為當(dāng)今 一門(mén)極其重要 的學(xué)科 和技術(shù) 領(lǐng)域 。 只要以 正確 的指標(biāo) 參數(shù)調(diào) 用相 應(yīng)的濾 波器 設(shè)計(jì)程 序或工 具箱函數(shù)，便可以得到正確的設(shè)計(jì)結(jié)果，使用非常方便。數(shù)字 濾波器具有高精度、高可靠性、可程控改變特性或復(fù)用、便于集成等優(yōu)點(diǎn)。 ? ??jX 和 ? ??jH 的乘積在頻率響應(yīng)為1 的那些頻段的值仍為 ? ??jX ，即在這些頻段的振動(dòng)可以無(wú)阻礙地通過(guò)濾波器，這些頻帶為通帶。 濾波器一般有兩個(gè)端口，一個(gè)輸入信號(hào)、一個(gè)輸出信 號(hào) 利用這個(gè)特性可以將通過(guò)濾波器的一個(gè)方波群或復(fù)合噪波，而得到一個(gè)特定頻率的正弦波 [ 4 ]。同時(shí) IIR 濾波 器的相位 是非線(xiàn) 性的， 且它 的選擇 性越好 ，相 位的非 線(xiàn)性 就越嚴(yán) 重。按照電路結(jié)構(gòu)分，有單電容型（ C 型），單 電感型， L 型和反 Γ 型，T 型， π 型。 數(shù) 字 濾 波器是 技術(shù) 要求 ： 我們通 常用的 數(shù)字 濾波器 一般 屬于選 頻濾 波器。由于運(yùn)算中的舍入處理，使誤差不斷累積，有時(shí)會(huì)產(chǎn)生微弱的寄生振蕩。在 MATLAB下設(shè)計(jì)不同類(lèi)型 IIR 濾波器均有與之對(duì)應(yīng)的函數(shù)用于階數(shù)的選擇。該方法 先根據(jù) 濾波器 的技 術(shù)指標(biāo) 設(shè)計(jì)出 相應(yīng) 的模擬 濾波 器，然 后再將 設(shè)計(jì)好的模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器。 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 是 使 數(shù) 字 濾 波 器 在 時(shí) 域 上 模 仿 模 擬 濾 波 器 ，由 于 s 平面到 z 平 面 的 多 值 映 射 關(guān) 系 ，會(huì) 導(dǎo) 致 數(shù) 字 濾 波 器 頻 率 響 應(yīng) 出 現(xiàn) 混 疊 現(xiàn)象 [ 3 ]。 z= e st 的 映 射 關(guān) 系 表 明 ， S 平 面 上 每 一 條 寬 為 2π /T 的 橫 帶 部分 ，都 將 重 疊 地 映 射 到 Z 平 面 的 整 個(gè) 全 部 平 面 上 。 基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 12 雖 然 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 能 保 證 S 平面與 Z 平 面 的 極 點(diǎn) 位 置 有 一 一 對(duì)應(yīng) 的 代 數(shù) 關(guān) 系 ，但 這 并 不 是 說(shuō) 整 個(gè) S 平 面 與 Z 平 面 就 存 在 這 種 一 一 對(duì)應(yīng) 的 關(guān) 系 ，特 別 是 數(shù) 字 濾 波 器 的 零 點(diǎn) 位 置 與 S 平 面 上 的 零 點(diǎn) 就 沒(méi) 有 一一對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系 ， 而 是 隨 著 H a( s)的極點(diǎn) s i 與 系 數(shù) A i 的 不 同 而 不 同 。 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 最 大 缺 點(diǎn) ：有 頻 譜 周 期 延 拓 效 應(yīng) ，因 此 只 能 用于 帶 限 的 頻 響 特 性 ，如 衰 減 特 性 很 好 的 低 通 或 帶 通 。Rp=1 。)。頻率 /Hz39。)。 %數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù) n=0:N1。),xlabel(39。測(cè)試信號(hào)中含有 5 H z 和 30 Hz 的信號(hào)，顯然， 5Hz 可以通過(guò)該濾波器，而 30 H z 的信號(hào)不能通過(guò)該濾波器。 結(jié) 合 式 （ a） 不 難 看 出 ； s 的 左 半 平 面 與s~的 左 半 平 面 相 對(duì) 應(yīng) ； s 的 右 半 平 面 與 s~的 右 半 平 面 相 對(duì) 應(yīng) ； s 平面的 虛 軸 與 s~平 面 的 虛 軸 相 對(duì) 應(yīng) 。當(dāng) σ0 時(shí) ，上式中的分母 大于分子 │z│1 ，說(shuō)明 s 左半 平面映射到 z 平面單位圓 內(nèi)。 從式（ b）可以推得，只有當(dāng) ω ~T 很小， tg(ω ~T/2)≈ω ~T/2 時(shí)， ω與 ω ~之間才存在線(xiàn)性關(guān)系，即 如果取變換常數(shù) C=2/T，則有 故式（ b）寫(xiě)成： 基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 17 （ f） 式（ d）寫(xiě)成： （ g） 否則，當(dāng) ω ~T 時(shí)， ω≠ω ~而且隨著 ω ~的增加差別更大。 例 如 ， 一 個(gè)模 擬 微 分 器 ，它 的 幅 度 與 頻 率 是 線(xiàn) 性 關(guān) 系 ，但 通 過(guò) 雙 線(xiàn) 性 變 換 后 ，就不 可 能 得 到 數(shù) 字 微 分 器 。 %Samp6_7 w p=*pi。Ws=2/Ts *ta n(w s/2.)。 %運(yùn) 用雙 線(xiàn) 性變 換法 得 到數(shù) 字濾 波 器傳 遞基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 19 函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,Nn, Fs)。grid on。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 0 4 0 2 00頻率 / H z振幅/dB0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 00頻率 / H z相位/o 圖 4 例 2 設(shè)計(jì)橢圓低通濾波器的頻率特性 上圖：幅頻 特性；下圖：相頻特性 程序運(yùn)行結(jié)果見(jiàn)圖 4。 MA T LA B 的應(yīng)用范圍非常廣，包括信 號(hào)和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、測(cè)試和測(cè)量 、財(cái)務(wù)建模和分析以及 計(jì)算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域 。 設(shè)計(jì) IIR 濾波器時(shí)，給出的性能指標(biāo)通常分 數(shù)字 指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。試將原信號(hào)與通過(guò)該濾波器的輸出信號(hào)進(jìn)行比較。s39。頻率 /Hz39。)。 %數(shù)據(jù)長(zhǎng)度 dt=1/Fs。 %用 filter 函數(shù)對(duì)輸入信號(hào)濾波 subplot(2,1,2),plot(t,y,t,y1,39。, 39。而運(yùn)用 filter 函數(shù)濾 波后（虛線(xiàn)）有一些延遲 ，改變了信號(hào)的形狀。) legend( 39。) %繪制輸入信號(hào) y=filtfilt(bz,az,x)。f2=4000。 subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H))) xlabel(39。 %運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) figure(1) [H,f]=freqz(bz,az,Nn,Fs)。 %采樣頻率 Nn=128。 舉例說(shuō)明 【 例 3】 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)一個(gè) Butterworth 低通 數(shù)字濾波器，使 其特征逼近一個(gè)低通 Butterworth 模擬濾 波 器的下列性能指標(biāo)：通帶截 止頻率 sr adp /2 0 0 02 ??? ?， 通 帶 波 紋 Rp 小于 3dB ， 阻 帶 邊 界 頻 率 為sra ds /3 0 0 02 ??? ? ，阻帶衰減大于 15dB，采樣頻 率 Fs=10000Hz。 （ 4） 由模擬原型低通濾波器經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻等），利用 MATLAB 工具函數(shù) lp2lp、 lp2hp、 lp2bp、 lp2bs。 MA T LA B 可以進(jìn)行 矩陣 運(yùn)算 、繪制函 數(shù)和數(shù) 據(jù)、實(shí) 現(xiàn)算 法、創(chuàng) 建用戶(hù) 界面 、連接 其他 編程語(yǔ) 言的程 序等，主 要應(yīng)用 于工程 計(jì)算 、控制 設(shè)計(jì)、 信號(hào) 處理與 通訊 、 圖像 處理 、 信號(hào)檢測(cè) 、金融建模設(shè)計(jì)與分析等領(lǐng)域。)。振幅 /dB39。 %零點(diǎn)極點(diǎn)增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。Nn=128。 這 些 都 比 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 部 分 分 式 分 解 便 捷 得 多 ，一 般 ，當(dāng) 著眼 于 濾 波 器 的 時(shí) 域 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 時(shí) ，采 用 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 較 好 ，而 其 他 情況下，對(duì)于 IIR 的 設(shè) 計(jì) ， 大 多 采 用 雙 線(xiàn) 性 變 換 [ 6 ]。 如 圖 圖 中 看 到 ， 在 零 頻 率 附 近 ， Ω ～ ω 接 近 于 線(xiàn) 性 關(guān)基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 18 系， Ω 進(jìn) 一 步 增 加 時(shí) ， ω 增 長(zhǎng) 變 得 緩 慢 ， (ω 終 止 于 折 疊 頻 率 處 )，所 以 雙 線(xiàn) 性 變 換 不 會(huì) 出 現(xiàn) 由 于 高 頻 部 分 超 過(guò) 折 疊 頻 率 而 混 淆 到 低 頻部分去的現(xiàn)象。 這樣， 模擬 濾波器 所具有 的優(yōu) 良特性 就得 以保存 。jω 軸映射到單位圓上的基本性質(zhì)。 設(shè)將 s 平面映射到 s~平 面 存 在 下 列 的 關(guān) 系 式 （ a） 式中 s ~= σ ~ + jω ~， C 為 變 換 常 數(shù) ， 在 式 的 右 邊 是 以 ω ~表示的 周 期 函 數(shù) ，其 周 期 為 2π / T 。其中 ? 對(duì)應(yīng)于 15H z，幅度衰減 大于 15dB。 %對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波 subplot(2,1,2),plot(t,y),title(39。f2=30。 subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unw rap(angle(H))) xlabel(39。 %輸出幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng) subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))。 % 得 到 模 擬 濾 波 器 的 頻 率 — 采用脈沖響應(yīng)不變法的頻率轉(zhuǎn)換形式 [N,Wn]=buttord(Wp, Ws,Rp, Rs,39。 %Samp6_6 w p=*pi。因 此 如 果 模 擬 濾 波 的 頻 響 帶 限 于 折 疊 頻率 以 內(nèi) 的 話(huà) ，通 過(guò) 變 換 后 濾 波 器 的 頻 響 可 不 失 真 地 反 映 原 響 應(yīng) 與 頻 率的關(guān)系。 如 果 模 擬 濾 波 器 是 穩(wěn) 定 的 ， 則 所 有 極 點(diǎn) s i 都在 S左 半 平 面 ， 即 Re [s i ]＜ 0,那 么 變 換 后 H( z)的 極 點(diǎn) 也 都 在 單 位圓以?xún)?nèi)，即 | |= ＜ 1， 因 此 數(shù) 字 濾 波 器 保 持 穩(wěn) 定 。 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 是 從 濾 波 器 的 脈 沖 響 應(yīng) 出 發(fā) ，使 數(shù) 字 濾 波 器 的 單位 脈 沖 響 應(yīng) 序 列 h( n) 模 仿 模 擬 濾 波 器 的 沖 擊 響 應(yīng) ha ( t), 使 h( n)正好等于 ha ( t)的 采 樣 值 ， 即 h( n) = h a ( nT ) T 為 采 樣 周 期 。 IIR 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)步驟 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 是 一 種 時(shí) 域 上 的 轉(zhuǎn) 換 方 法 ， 這 種 方 法 適 用 于 系 統(tǒng) 函 數(shù) 可 以 用 部 分 分 式 分 解 成 單 階 極 點(diǎn) 和 濾 波 器 是 一 個(gè) 帶 限 系 統(tǒng) 的 情 況 ， 它 使 數(shù) 字 濾 波 器 的 沖 擊 響 應(yīng) h(n） 等 于 模 擬 濾 波 器 的 單 位 沖 擊 響 應(yīng) ha(t)的 采 樣 值 數(shù) 字 濾 波 器 的 脈 沖 響 應(yīng) 與 模 擬 濾 波 器 的 脈 沖 響 應(yīng) 相 似 。 在數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)中，首先讓我們想到的是能 否利 用模擬濾波器的設(shè)計(jì)成果進(jìn)行數(shù)字濾波器設(shè)計(jì)，答案是肯定的。下面主要介紹前兩個(gè)函數(shù)的使用。 IIR 數(shù)字濾波器采用遞歸型結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)上帶有反饋環(huán)路。 用于干擾頻率帶寬較窄，而信號(hào)頻率較寬的場(chǎng)合，如距離大功率電臺(tái)很近的電纜端口處要安裝帶阻頻率等于電臺(tái)發(fā)射頻率的帶阻濾波器 [ 4]。 IIR 濾波器： FIR 濾波器： 3． 從功能上分為如下 4 類(lèi)： （ 1）低通濾波器（ LPF） 它允許信號(hào)中的低頻或直流分量通過(guò)，抑制高頻分量或干擾和噪聲。 基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計(jì)與仿真 4 2． 從數(shù)字濾波器的單元沖擊響應(yīng)來(lái)看，可分為倆大類(lèi)：有限沖擊響應(yīng)（ FIR）數(shù)字濾波器和無(wú)限沖 擊響應(yīng)（ IIR）數(shù) 字濾波器。和模擬濾波器一樣，數(shù)字濾波器的主要功能是對(duì)數(shù)字信號(hào)進(jìn)行處理，最常見(jiàn)的處理是保留數(shù)字信號(hào)中的有用頻率成分，去除信號(hào)中的無(wú)用頻率成分。 ?為數(shù)字角頻率，單位 rad。 數(shù)字濾