【導(dǎo)讀】進(jìn)行的研究工作及取得的研究成果。盡我所知，除了文中特別加。位或證書而使用過的材料。與我一同工作的同志對本研究所做的。任何貢獻(xiàn)均已在論文中作了明確的說明并表示了謝意。閱或上網(wǎng)公開本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容，允許論文被查閱，對于保密論文，按保密的有關(guān)規(guī)定進(jìn)。信號分析都是基于濾波器而進(jìn)行的。模擬濾波器無法實現(xiàn)的特殊濾波功能。數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應(yīng)函數(shù)。實現(xiàn)IIR數(shù)字濾波器的階次較低，所用。良特性，因此應(yīng)用很廣。Matlab軟件以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計算，可視。和應(yīng)用提供了一個直觀，高效，便捷的利器。尤其是Matlab中的信號處。本文首先介紹了數(shù)字濾波器的概念，分類以及設(shè)計要求。Sptool界面的設(shè)計方法，并用FDATool模擬IIR數(shù)字濾波器處理信號。

　　

【正文】 p~按式（ b）來確定，即： （ l） 但這樣不經(jīng)過預(yù)畸設(shè)計出來的數(shù)字濾波器頻響，除在 ω p 點與模擬濾波器相符外，其他均存在偏差 [ 6 ]。 雙 線 性 變換法 優(yōu)缺 點 與 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 相 比 ，雙 線 性 變 換 的 主 要 優(yōu) 點 ：靠 頻 率 的 嚴(yán) 重非 線 性 關(guān) 系 得 到 S 平 面 與 Z 平 面 的 單 值 一 一 對 應(yīng) 關(guān) 系 ，整 個 jΩ 軸單值 對 應(yīng) 于 單 位 圓 一 周 ， 這 個 關(guān) 系 就 是 式 所 表 示 的 ， 其 中 ω 和 Ω 為非 線 性 關(guān) 系 。 如 圖 圖 中 看 到 ， 在 零 頻 率 附 近 ， Ω ～ ω 接 近 于 線 性 關(guān)基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計與仿真 18 系， Ω 進(jìn) 一 步 增 加 時 ， ω 增 長 變 得 緩 慢 ， (ω 終 止 于 折 疊 頻 率 處 )，所 以 雙 線 性 變 換 不 會 出 現(xiàn) 由 于 高 頻 部 分 超 過 折 疊 頻 率 而 混 淆 到 低 頻部分去的現(xiàn)象。 雙 線 性 變 換 法 的 缺 點 ： Ω 與 ω 的 非 線 性 關(guān) 系 ， 導(dǎo) 致 數(shù) 字 濾波 器 的 幅 頻 響 應(yīng) 相 對 于 模 擬 濾 波 器 的 幅 頻 響 應(yīng) 有 畸 變 ， (使 數(shù) 字 濾 波器 與 模 擬 濾 波 器 在 響 應(yīng) 與 頻 率 的 對 應(yīng) 關(guān) 系 上 發(fā) 生 畸 變 )。 例 如 ， 一 個模 擬 微 分 器 ，它 的 幅 度 與 頻 率 是 線 性 關(guān) 系 ，但 通 過 雙 線 性 變 換 后 ，就不 可 能 得 到 數(shù) 字 微 分 器 。 另 外 ，一 個 線 性 相 位 的 模 擬 濾 波 器 經(jīng) 雙 線 性 變 換 后 ，濾 波 器就 不 再 有 線 性 相 位 特 性 。雖 然 雙 線 性 變 換 有 這 樣 的 缺 點 ，但 它 目 前 仍是 使 用 得 最 普 遍 、最 有 成 效 的 一 種 設(shè) 計 工 具 。這 是 因 為 大 多 數(shù) 濾 波 器都 具 有 分 段 常 數(shù) 的 頻 響 特 性 ，如 低 通 、高 通 、帶 通 和 帶 阻 等 ，它 們 在通 帶 內(nèi) 要 求 逼 近 一 個 衰 減 為 零 的 常 數(shù) 特 性 ，在 阻 帶 部 分 要 求 逼 近 一 個衰 減 為 ∞ 的 常 數(shù) 特 性 ，這 種 特 性 的 濾 波 器 通 過 雙 線 性 變 換 后 ，雖 然 頻率 發(fā) 生 了 非 線 性 變 化 ， 但 其 幅 頻 特 性 仍 保 持 分 段 常 數(shù) 的 特 性 。 雙 線 性 變 換 比 脈 沖 響 應(yīng) 法 的 設(shè) 計 計 算 更 直 接 和 簡 單 。由 于 s與 z 之 間 的 簡 單 代 數(shù) 關(guān) 系 ，所 以 從 模 擬 傳 遞 函 數(shù) 可 直 接 通 過 代 數(shù) 置 換得 到 數(shù) 字 濾 波 器 的 傳 遞 函 數(shù) 。 這 些 都 比 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 的 部 分 分 式 分 解 便 捷 得 多 ，一 般 ，當(dāng) 著眼 于 濾 波 器 的 時 域 瞬 態(tài) 響 應(yīng) 時 ，采 用 脈 沖 響 應(yīng) 不 變 法 較 好 ，而 其 他 情況下，對于 IIR 的 設(shè) 計 ， 大 多 采 用 雙 線 性 變 換 [ 6 ]。 應(yīng)用實例 【 例 2】 用雙線性變換法設(shè)計一個橢圓低通濾波器，其性能指標(biāo)同例 1。 %Samp6_7 w p=*pi。w s= *pi。Rp=1 。Rs=15 。 % 數(shù)字濾波器截止頻率通帶波紋和阻帶衰減 Fs=100。Ts=1/Fs。Nn=128。 %采樣頻 率 Wp=2/Ts *ta n(w p/2.)。Ws=2/Ts *ta n(w s/2.)。 % 按 頻 率 轉(zhuǎn) 換 公 式 進(jìn) 行轉(zhuǎn)換 [N,Wn]=ellipord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %計算模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs)。 %設(shè)計模擬原型濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %零點極點增益形式轉(zhuǎn)換為傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %低通轉(zhuǎn)換為低通濾波器的頻率轉(zhuǎn)換 [bz,a z]=bilinear(b,a,Fs)。 %運(yùn) 用雙 線 性變 換法 得 到數(shù) 字濾 波 器傳 遞基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計與仿真 19 函數(shù) [H,f]=freqz(bz,az,Nn, Fs)。 %求出頻率特性 subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H)))。 xlabel(39。頻率 /Hz39。)。ylabel(39。振幅 /dB39。)。grid on。 subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unw rap(angle(H))) xlabel(39。頻率 /Hz39。)。ylabel(39。相位 /^o39。)。grid on。 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 6 0 4 0 2 00頻率 / H z振幅/dB0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 2 5 0 2 0 0 1 5 0 1 0 0 5 00頻率 / H z相位/o 圖 4 例 2 設(shè)計橢圓低通濾波器的頻率特性 上圖：幅頻 特性；下圖：相頻特性 程序運(yùn)行結(jié)果見圖 4。在 10Hz 以前，衰減小于 1dB，在 15Hz 以后衰減均大于 15dB,即性能指標(biāo)完全滿足濾波器的設(shè)計要求 [ 6 ]。 第三章 IIR 濾波器 的設(shè)計方法 MATLAB 簡介 MA T LA B 是由美 國 ma thw orks 公司發(fā)布的 主要面對科學(xué)計算、可視基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計與仿真 20 化以及 交互式 程序設(shè) 計的 高科技 計算環(huán) 境。 它將數(shù) 值分 析、矩 陣計算 、科學(xué)數(shù) 據(jù)可視 化以及 非線 性動態(tài) 系統(tǒng)的 建模 和仿真 等諸 多強(qiáng)大 功能集 成在一個 易于使 用的視 窗環(huán) 境中， 為科學(xué) 研究 、工程 設(shè)計 以及必 須進(jìn)行 有效數(shù)值 計算的 眾多科 學(xué)領(lǐng) 域提供 了一種 全 面 的解決 方案 ，并在 很大程 度上擺脫了傳 統(tǒng)非交互 式程序設(shè) 計語言（ 如 C、 Fortra n）的編 輯模式， 代表了當(dāng)今國際科學(xué)計算軟件的先進(jìn)水平。 MA T LA B 和 Mathe matica、 Maple 并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在 數(shù)值計算 方面首屈一 指。 MA T LA B 可以進(jìn)行 矩陣 運(yùn)算 、繪制函 數(shù)和數(shù) 據(jù)、實 現(xiàn)算 法、創(chuàng) 建用戶 界面 、連接 其他 編程語 言的程 序等，主 要應(yīng)用 于工程 計算 、控制 設(shè)計、 信號 處理與 通訊 、 圖像 處理 、 信號檢測 、金融建模設(shè)計與分析等領(lǐng)域。 MA T LAB 的基 本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指 令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用 MA T LA B 來解算問題要比用 C， F ORT RA N等語言完成相同的事情簡捷得多，并且 MAT LA B 也吸收了像 Maple 等軟件的優(yōu)點 ,使 MATLAB 成為一個強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。 MA T LA B 的應(yīng)用范圍非常廣，包括信 號和圖像處理、通訊、控制系統(tǒng)設(shè)計、測試和測量 、財務(wù)建模和分析以及 計算生物學(xué)等眾多應(yīng)用領(lǐng)域 。附加的工具箱（單獨(dú)提供的專用 MAT LAB 函數(shù)集）擴(kuò)展了 MAT LAB 環(huán)境，以解決這些應(yīng)用領(lǐng)域內(nèi)特定類型的問題 [ 6 ]。 IIR 數(shù)字濾波器的典型設(shè)計法 IIR 數(shù) 字 濾 波 器的 典型 設(shè)計 法的一 般步 驟 （ 1） 根據(jù)給定的性能指標(biāo)和方法不同，首先對設(shè)計性能指標(biāo)中的頻率指標(biāo)，如數(shù)字邊界頻率進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)換后的模擬頻率指標(biāo)作為模擬 濾波器原型設(shè)計的性能指標(biāo)。 （ 2） 估 計 模 擬 濾 波 器 最 小 階 數(shù) 和 截 止 頻 率 ， 利 用 MATLAB 工 具 函 數(shù)buttord、 cheb1ord、 cheb2ord、 ellipord 等。 （ 3） 設(shè)計模擬低通濾波器原型。利用 MATLAB 工具 函數(shù) buttap、 cheb1ap、cheb2ap、 ellipap 等。 （ 4） 由模擬原型低通濾波器經(jīng)頻率變換獲得模擬濾波器（低通、高通、帶通、帶阻等），利用 MATLAB 工具函數(shù) lp2lp、 lp2hp、 lp2bp、 lp2bs。 （ 5） 將模擬濾波器離散化獲得 IIR 數(shù)字濾 波器，利用 MATLAB 工具函數(shù) bilinear 或 impinvar。 設(shè)計 IIR 濾波器時，給出的性能指標(biāo)通常分 數(shù)字 指標(biāo)和模擬指標(biāo)兩種。數(shù)字性能指標(biāo)給出通帶截止頻率p?，阻帶起始頻率 s? ，通帶波紋 Rp，阻帶衰減 Rs 等。數(shù)字頻率p?和 s? 的取值范圍為 0~ ? ，單位弧度。而 MATLAB工具函數(shù)常采用歸一化頻率，p?和 s? 的取值范圍為 0~1，對應(yīng)于 0～ ? ，基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計與仿真 21 此時需進(jìn)行轉(zhuǎn)換。 模擬性能指標(biāo)給出通帶截止頻率p?，阻帶起始頻率s?，通帶波紋 Rp，阻帶衰減 Rs 等。模擬頻率p?和s?單位為弧度 /秒（ rad/s） [ 10]。 舉例說明 【 例 3】 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計一個 Butterworth 低通 數(shù)字濾波器，使 其特征逼近一個低通 Butterworth 模擬濾 波 器的下列性能指標(biāo)：通帶截 止頻率 sr adp /2 0 0 02 ??? ?， 通 帶 波 紋 Rp 小于 3dB ， 阻 帶 邊 界 頻 率 為sra ds /3 0 0 02 ??? ? ，阻帶衰減大于 15dB，采樣頻 率 Fs=10000Hz。假設(shè)一個信號 tftftx 21 2c o i n)( ?? ?? ，其中 f1=1000Hz,f2=4000Hz。試將原信號與通過該濾波器的輸出信號進(jìn)行比較。 %Samp6_5 Wp=2021*2*pi。Ws=3000*2*pi。 %濾波器截止頻率 Rp=3。Rs=15。 %通帶波紋和阻帶衰減 Fs=10000。 %采樣頻率 Nn=128。 %調(diào)用 freqz 所用的頻率點數(shù) [N,Wn]=buttord(Wp,Ws,Rp,Rs,39。s39。)。 %模擬濾波器的最小階數(shù) [z,p,k]=buttap(N)。 %設(shè)計模擬低通原型 Butterworth 濾波器 [Bap,Aap]=zp2tf(z,p,k)。 %將 零點極點 增益形 式轉(zhuǎn)換為 傳遞函數(shù)形式 [b,a]=lp2lp(Bap,Aap,Wn)。 %進(jìn)行頻率轉(zhuǎn)換 [bz,az]=impinvar(b,a,Fs)。 %運(yùn)用脈沖響應(yīng)不變法得到數(shù)字濾波器的傳遞函數(shù) figure(1) [H,f]=freqz(bz,az,Nn,Fs)。 %求 解數(shù)字 濾波器 的幅頻特 性和 相頻特性 subplot(2,1,1),plot(f,20*log10(abs(H))) xlabel(39。頻率 /Hz39。)。ylabel(39。振幅 /dB39。)。grid on。 subplot(2,1,2),plot(f,180/pi*unwrap(angle(H))) xlabel(39。頻率 /Hz39。)。ylabel(39。相位 /^o39。)。grid on。 figure(2) f1=1000。f2=4000。 %輸入信號的頻率 N=100。 %數(shù)據(jù)長度 dt=1/Fs。n=0:N1。t=n*dt。 %采 樣間隔和時間序列 x=sin(2*pi*f1*t)+*cos(2*pi*f2*t)。 %濾波器輸入信號 subplot(2,1,1),plot(t,x),title(39。輸入信號 39。) %繪制輸入信號 y=filtfilt(bz,az,x)。 %用函數(shù) filtfilt 對輸入信號進(jìn)行濾波 y1=filter(bz,az,x)。 %用 filter 函數(shù)對輸入信號濾波 subplot(2,1,2),plot(t,y,t,y1,39。:39。),title(39。 輸出信號基于 MATLAB 的 IIR 濾波器的設(shè)計與仿真 22 39。),xlabel(39。時間 /s39。) legend( 39。 filtfilt 39。, 39。filter39。) %加圖例 程序的運(yùn)行結(jié)果為圖 6 和圖 7。由圖 64 上圖可知，在小于 2021Hz處的衰減小于 3dB，而在大 于 3000Hz 處衰減大于 15dB，滿足濾波器的 設(shè)計指標(biāo)。由圖 65 可見濾波器對含有 1000Hz 和 4000Hz 頻率成分的信號進(jìn)行了 濾波， 濾除 了 4000Hz 的信 號。由 程序 的輸 出還可 以看 出，采 用filtfilt 函數(shù)，輸出的 1000Hz 信號（實線）與輸入 1000Hz 的信號相位一致，即經(jīng)過濾波后并沒有 改變信號波形形狀 。而運(yùn)用 filter 函數(shù)濾 波后（虛線）有一些延遲 ，改變了信號的形狀。 0 500 1000 1500 2021 2500 3000 3500 4000 4500 5000 4