【正文】 包括計算機、運動控制卡、伺服系統(tǒng)、倒立擺本體和光電碼盤反饋測量元件等幾大部分，組成一個閉環(huán)系統(tǒng)。 ２ .３ 狀態(tài)空間模型 如在第一章所提到的， 現(xiàn)代控制理論是在引入狀態(tài)和狀態(tài)空間概念的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的。 分析力學(xué) 是在 1788年 Lagrange發(fā)表的大型著作《分析力學(xué)》的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一系列處理力學(xué)問題的新方法。故適合用數(shù)學(xué)工具進行理論推導(dǎo)。 線性二次型 (LQ) 性能指標(biāo)易于分析、處理和計算 ,而且通過線性二次型最優(yōu)設(shè)計方法得到的倒立擺系統(tǒng)具有較好的魯棒性與動態(tài)特性以及能夠獲得線性反饋結(jié)構(gòu)等優(yōu)點 ， 因而在實際的倒立擺 控制系統(tǒng)設(shè)計中得到了廣泛的應(yīng)用。倒立擺系統(tǒng)可以用多種控制理論和方法來實現(xiàn)其穩(wěn)定控制，如 PID、自適應(yīng)、狀態(tài)反饋、智能控制、模糊控制及人工神經(jīng)元網(wǎng)絡(luò)等，都能在倒立擺系統(tǒng)控制上得到實現(xiàn)，而且當(dāng)一種新的控制理論和方法提出以后，在不能用理論加以嚴(yán)格證明時，可以考慮通過倒立擺裝置來驗證其正確性和實用性。 對倒立擺系統(tǒng)研究的意義 在控制理論發(fā)展的過程中，某一理論的正確性及在實際應(yīng)用中的可行性需要一個按其理論設(shè)計的控制器去控制一個典型對象來驗證這一理論，倒立擺就是這樣一個被控對象。 K. Furuta等在 1978年和 1980年完成了對二級倒立擺和傾斜軌道式二級倒立擺的控制。狀態(tài)方程不但描述了系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，而且描述了系統(tǒng)內(nèi)部一些狀態(tài)變量的隨時間變化關(guān)系。而傳遞函數(shù)是從系統(tǒng)的外部觀察系統(tǒng)時得出的系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的一種描述，不涉及系統(tǒng)內(nèi)部的動態(tài)過程，因而傳遞函數(shù)被稱為系統(tǒng)的外部描述模型。這種擬人控制不要求給出被控對象精確的數(shù)學(xué)模型，僅僅依據(jù)人的經(jīng)驗、感受和邏輯判斷，將人用自然語言表達的控制經(jīng)驗，通過語言原子和云模型轉(zhuǎn)換到語言控制規(guī)則器中，就能解決非線性問題和不確定性問題 。從倒立擺魯棒控制的文獻中可以看出，基于各種魯棒控制原理設(shè)計的控制器最終都是得到一組狀態(tài)反饋系數(shù)，這對控制器本身并沒有變化，只是給同樣的控制器賦予了不同的含義，并用不同的方式得到控制器的參數(shù)而已。早期的倒立擺控制方法主要是傳統(tǒng)的控制方法，如 PD控制和基于線性模型的狀態(tài)反饋控制。 自從倒立擺的概念被首次正式提出以來，倒立擺的控制一直是控制領(lǐng)域及相關(guān)領(lǐng)域經(jīng)久不衰的研究課題。 倒立擺控制系統(tǒng)的 發(fā)展動向 倒立擺的運動與雜技頂桿表演類似，雜技頂桿表演是人們熟悉的演藝，不僅是其技藝的精湛。 Yamakita等運用學(xué)習(xí)控制方法成功擺起了二軸倒立擺系統(tǒng)，而且在 1994年他們運用這相同的控制方法使倒立擺在四種平衡狀態(tài)中互相切換。 Wei等利用 bangbang非線性控制器擺起了倒立擺并穩(wěn)定在垂直向上方向。隨后， Larbe把符號算法應(yīng)用于兩軸倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)線性化動態(tài)方程，并且計算了系統(tǒng)的特征方程和開環(huán)極點。 1996年，翁正新等，利用帶觀測器的 ?H 狀態(tài)反饋控制器對二軸倒立擺系統(tǒng)進行了仿真控制。 2） 實驗方面 :調(diào)查引起計算機仿真結(jié)果和實時控制之間性能差異的物理不確定性。而隨著人類社會的進步，面對的被控對象日趨復(fù)雜，其非線性特性可能不符合小偏離線性化的條件，甚至難以建 立數(shù)學(xué)模型，致使自動控制理論面臨嚴(yán)峻的挑戰(zhàn)。所研究的對象可以為線性定常系統(tǒng)，也可以為非線性時變系統(tǒng)。第二次世界大戰(zhàn)期間，為了設(shè)計和制造飛機及船 用自動駕駛儀、火炮定位系統(tǒng)、雷達跟蹤系統(tǒng)以及其它基于反饋原理的軍用裝備，進一步促進并完善了自動控制理論的發(fā)展。近幾十年來，隨著電子計算機技術(shù)的發(fā)展和應(yīng)用，在宇宙航行、導(dǎo)彈制導(dǎo)以及核動力等高新技術(shù)領(lǐng)域中，自動控制更具有特別重要的作用。在 60年代后期，作為一個典型的不穩(wěn)定、嚴(yán)重非線性系統(tǒng)的例證，倒立擺系統(tǒng)的概念被提了 出來。首先根據(jù)經(jīng)典控制理論與現(xiàn)代控制理論應(yīng)用極點配置法，設(shè)計模擬控制器。因此，自動控制愈來愈受到人們的重視，進而在控制理論和技術(shù)應(yīng)用方面也獲得了飛速的發(fā)展。 inverted pendulum。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 作 者 ： 系 別 ： 專 業(yè) ： 學(xué) 號 ： 指導(dǎo)教師 ： 日期：二零零六年五月二十日 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 1 摘要 控制理論發(fā)展過程中，某一理論的正確性以及實際應(yīng)用中可行性，往往需要一個按其理論所設(shè)計的控制器去控制一個典型對象來驗證其控制策略的效果。 as a controlled object, quite plex, high orders, instability, nonlinearity, strong coupling system. We can keep it stable through some control method. Inverted pendulum system is a plicated , nonlinear , unstable system of high order. In the paper, it is discussed how to model the system of double inverted pendulums by using dynamics equation and then to t transform into a control problem of linearitied system. The optimized cont rolling policy with LQR cont roller is established on the MATLAB platform. The relevant experiment is also provided. Keywords: LQR。 自動控制系統(tǒng)的優(yōu)劣，將直接影響到產(chǎn)量、質(zhì)量、成本、勞動條件和預(yù)期目標(biāo)的完成。 倒立擺系統(tǒng)是一種嚴(yán)重非線性、多變量、強 耦合 和絕對不穩(wěn)定的系統(tǒng)，倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定與控制的研究在國外始于 60年代，我國則從 70年代中期開始研究。 1966年 Schaefer和 Cannon應(yīng)用 BangBang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置。 在國民經(jīng)濟各部門中，由于廣泛應(yīng)用了自動控制技術(shù)，改善了勞動條件，提高了產(chǎn)品質(zhì)量和勞動生產(chǎn)率。它的發(fā)展初期，是以反饋理論為基礎(chǔ)的自動調(diào)節(jié)原理，并主要用于工 業(yè)控制?，F(xiàn)代控制理論運用狀態(tài)空間理論解決了多輸入多輸出問題，對象的模型采用內(nèi)部模型以解析運算為主要手段，實現(xiàn)某個或某幾個性能指標(biāo)的最優(yōu)。對于簡單的被控對象，即使存在非線性，若控制要求不高，也可通過相對平衡點的小偏離線性化把所論問題規(guī)劃到線性范疇，或可采用相平面等非線性理論加以解決。 倒立擺系統(tǒng)的歷史 自從 20世紀(jì) 50年代倒立擺系統(tǒng)成為控制實驗室的經(jīng)典工具以來，關(guān)于倒立擺控制的論述可以分為兩個主要的方面 : 1） 理論方面 :依靠計算機仿真對控制方法的可行性進行驗證 。在兩軸倒立擺方面， Sabba把系統(tǒng)穩(wěn)定尺度作為一個無限維不等式，從而避免了 Lyapunov方法。 1992年， Larbe和 Torsney發(fā)現(xiàn)了簡單多軸倒立擺系統(tǒng)平衡狀態(tài)的辨識方程。1992年 Simth和 Blackburn利用高頻垂直振蕩獲得穩(wěn)定的倒置狀態(tài) ； 同年， Ostertag和 Carvalho Ostertag開發(fā)了一個帶摩擦力補償?shù)姆€(wěn)定模糊控制器。 1993年， Van Der Linden和 Lambrechts在運用 H二理論設(shè)計倒立擺的控制器時考慮了干摩擦。 2021年，楊亞煒等利用擬人智能控制成功實現(xiàn)了在傾斜導(dǎo)軌上三軸倒立擺的穩(wěn)定，并可以控制三軸倒立擺沿 水平或傾斜導(dǎo)軌自由行走。近代機械控制系統(tǒng)中， 如直升飛機、火箭發(fā)射、人造衛(wèi)星運行及機器人舉重物、做體操和行走機器人步行控制 等等，都存在有類似于倒 立 擺的穩(wěn)定控制問題。目前倒立擺控制算法的研究已進行得比較深入。對實際倒立擺系統(tǒng)實現(xiàn)控制的有；一級倒立擺的實物控制，鐘瑞麟等利用基于 LMI的 ?H 狀態(tài)反饋設(shè)計原理實現(xiàn)了二級倒立擺的控制；薛安克等基于魯棒 LQ控制實現(xiàn)了一級倒立擺的控制及 ?H最優(yōu)控制實現(xiàn)了二級倒立擺的控制。 3） 利用云模型實現(xiàn)對倒立擺的控制，用云模型構(gòu)成語言值，用語言值構(gòu)成規(guī)則，形成一種定性的推理機制。 現(xiàn)代控制在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制中的應(yīng)用 在古典控制理論中，主要考察系統(tǒng)輸出與輸入的 關(guān)系，因而整個理論是基于傳遞函數(shù)來分析與設(shè)計系統(tǒng)的理論。經(jīng)典控制理論中用微分方程、傳遞函數(shù)和頻率特性來描述，而這里則是狀態(tài)方程來描述。 S. Mori等在 1976年對懸掛式倒立擺控制成功。應(yīng)用傳統(tǒng)控制理論的方法實現(xiàn)倒擺系統(tǒng)的控制，其特點是設(shè)法調(diào)整閉環(huán)系統(tǒng)的極點分布以構(gòu)成閉環(huán)穩(wěn)定的倒 立 擺控制系統(tǒng)，但其局限性十分明顯，穩(wěn)定控制的范圍有限，難于處理更為復(fù)雜的復(fù)合 擺系統(tǒng)。 在穩(wěn)定性控制問題上，倒立擺既具有普遍性又具有典型性。 線性二次型調(diào)節(jié)器問題在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置 ,受到控制界的普遍重視 。倒立擺的形狀較為規(guī)則，而且是一個絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，無法通過測量頻率特性方法獲取其數(shù)學(xué)模型。用牛頓一歐拉方程推導(dǎo)時，需要解大量的微分方程，確定各質(zhì)點間相互作用力和運動方面的關(guān)系， 求解聯(lián)立方程，推導(dǎo)過程顯得尤為繁瑣，復(fù)雜 .這里，采用分析力學(xué)中的 Lagrange方程推導(dǎo)圓形軌道倒立擺系統(tǒng)模型。 因此用 Lagrange方程來求解系統(tǒng)的動力學(xué)方程可以大大簡化建模過程。 在 MATLAB中，系統(tǒng)可用 [ DCBA , ]表示，用函數(shù) ss （）來建立控制系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型，或 者將傳遞函數(shù)模型與零極點增益模型轉(zhuǎn)換為系統(tǒng)空間 模型 。 為此 , 需要首先建立被控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。調(diào)節(jié)器問題是針對系統(tǒng)未處于平衡狀態(tài) (通常是狀態(tài)空間原點 )或受脈沖型擾動時，研究利用反饋方法，施以控制，使它回到平衡狀態(tài)。這時就需要在狀態(tài)空間模型下建立最優(yōu)控制策略。 A－ 系統(tǒng)矩陣，是 n n矩陣 。它說明，當(dāng) ??te =0時，代價函數(shù)為零；而誤差越大，則因此付出的代價也就越大。 (3).指標(biāo)函數(shù)的第一項 ? ? ? ?ffT tSete 是在終端時刻 ft 上對誤差要求設(shè)置的代價函數(shù)。 對于二級倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使二級倒立擺在調(diào)節(jié)過程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，這樣，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個狀態(tài)時，下擺和上擺偏角差 32 ?? ? 應(yīng)比下擺的偏角重要 2? ，下擺的偏角 2? 應(yīng)比水平桿偏角 1? 重要。 3） 加權(quán)矩陣 R 的減小，會導(dǎo)致大的控制量，應(yīng)注意控制 U 的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機構(gòu)的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。實質(zhì)上可歸結(jié)為對初始狀態(tài)的識別問題。有限時間調(diào)節(jié)器問題只考察控制系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為。這里應(yīng)用最優(yōu)控制中的定常線性調(diào)節(jié)器理論，選取合適的 Q 、 R ，通過 MATLABY語句 lqr， 得到線性狀態(tài)反饋增益系數(shù) K 。系統(tǒng)的可控性與可觀測性從狀態(tài)的控制 能力和狀態(tài)的識別能力兩個方面反映系統(tǒng)本身的內(nèi)在特性，往往是確定最優(yōu)系統(tǒng)是否有解的先決條件，對 系統(tǒng) 的設(shè)計是至關(guān)重要的。由于這些非線性因素的影響，使得以線性模型為基礎(chǔ)的仿真與實際動態(tài)響應(yīng)有很大差別，甚至使系統(tǒng)不能穩(wěn)定，因而，利用二次型最優(yōu)控制使的系統(tǒng)穩(wěn)定的關(guān)鍵是尋找一個使系統(tǒng)穩(wěn)定的加權(quán)矩陣 Q ,R 。0 ?? QR ， P為滿足 Raccati 方程的唯一正定對稱解： 01 ???? ? QPBP B RPAPA TT 加權(quán)矩陣的選取 盡管二次型最優(yōu)控制理論發(fā)展日趨成熟，但在工程實際應(yīng)用中仍然存在不少問題，一個最關(guān)鍵的問題就是二次型性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣 Q 和 R 的選取。由于加權(quán)矩陣 R是對稱正定，故只要有控制 ??tU 存在，該代價函數(shù)總是正的，而且控制 ??tU 越大，則付出的代價? ? ? ?tRUtUT 也越大。求取最優(yōu)控制 0u ，使基于誤差向量 e構(gòu)成的指標(biāo)函數(shù) : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?dttUtRtUQetetSeteJ TTffT ? ??? 102121 取極小值，其中 S為 1 1對稱半正定矩陣， Q為 l l對稱半正定矩陣， R為 r r對稱半正定矩陣。最優(yōu)控制系統(tǒng)的設(shè)計，就是選擇最優(yōu)控制，以使某一種性能指標(biāo)為最小。二次型問題就是在線性系統(tǒng)約束條件下選擇控制輸入使二次型目標(biāo)函數(shù)達到最小。 首先計算系統(tǒng)的動能： 54321 mmmmm TTTTTT ????? 其中連桿動能， 2mT 為擺桿 1 動能， 3mT 為擺桿 2 動能， 4mT 為質(zhì)量塊 1 動能， 5mT 為質(zhì)量塊 2 動能。計算機從運動控制卡中實時讀取數(shù)據(jù)，確定控制決策（電機的輸出力矩），并發(fā)送給運動控制卡。 連續(xù) 系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為 ： 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 14 ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ?? ?? tDutCxty tButAxtx 式中 ， ??tu 是 1?r 的系統(tǒng)控制輸入 （ r個） 向量， ??tx 是 1?n 的系統(tǒng)狀態(tài)變量， ??ty 則是 1?m 的系統(tǒng)輸出向量。 從方程中可以看出，分析力學(xué)注重的不是力和加速度，而是具有更廣泛意義的能量，擴大了坐標(biāo)的概念 ??1 。 3) 開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng) . 倒立擺桿有兩個平衡狀態(tài) : 垂直向下和垂直向上 . 垂直向下的狀態(tài)是穩(wěn)定的平衡點 , 而垂直向上的狀態(tài)是不穩(wěn)定的平衡點 , 開環(huán)時微小