【正文】 滿意的結(jié)果。系統(tǒng)模型是用空間形式給出的線性系統(tǒng)，其目標(biāo)函數(shù)是對象狀態(tài)和控制輸入的二次型。 線性最優(yōu)控制問題包括線性調(diào)節(jié)器和線性伺服系統(tǒng)兩類問題。 拉格朗日方程由廣義坐標(biāo) iq 和 L 表示為： iii fqLqLdtd ??????? 其中， ni ?3,2,1? ， if 為系統(tǒng)沿該廣義坐標(biāo)方向上的外力，在本系統(tǒng)中，設(shè)系統(tǒng)的兩 個廣義坐標(biāo)分別是 1? , 2? , 3? 。 控制的目的是希望通過控制電機(jī)的力矩 , 并通過水平桿的作用 , 達(dá)到控制上、下桿變化的角度 , 使兩者共同平衡在垂直的 180 度的位置上 。各個擺桿的角度由光電碼盤測并直接反饋到控制卡，速度信號可以通過差分方法得到。 A 為狀態(tài)矩陣，由控制對象的參數(shù)決定； B 為控制矩陣； C 為輸出矩陣； D 為直接傳輸矩陣 。 現(xiàn)代控制理論中的狀態(tài)空間法，簡單地說就是將描述系統(tǒng)運(yùn)動的 高階微分方程改寫成一階聯(lián)立微分方程組的形式，或者將系統(tǒng)的運(yùn)動直接用一階微分方程組表示，寫成矩陣形式，這樣就得到了狀態(tài)空間模型。 3） Lagrange方程是以能量觀點(diǎn)建立起來的運(yùn)動方程式，為了列出系統(tǒng)的運(yùn)動方程式，只需要從兩個方面去分析，一個是表征系統(tǒng)運(yùn)動的動力學(xué)量 —— 系統(tǒng)的動能，另一個是表征主動力作用的動力學(xué)量 —— 廣義力。通常把這一方程組叫做 Lagrange方程，其基本形式為： iiid T T Qdt q q?????????? ? ?1, 2,3, ,in? 其中 1 2 3, , , nq q q q 是所研究力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)； 12,nQ Q Q 是作用在此力學(xué)體系上的用廣義坐標(biāo) 1 2 3, , , nq q q q 和 t表示的廣義力； T是用廣義坐標(biāo) 1 2 3, , , nq q q q 表示的動能。在建立倒立擺系環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 13 統(tǒng)的模型時，可以采用牛頓一歐拉方程或 Lagrange方程來求解。 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)是一種典型的非線性系統(tǒng) , 它具有如下特性 : 1) 不確定性 . 主要是模型的參數(shù)誤差以及機(jī)械傳動過程中的減速齒輪間隙所導(dǎo)致 , 不過與直線型倒立擺系統(tǒng)相比 , 由于沒有了導(dǎo)軌上拖動小車的皮帶 , 影 響程度有所改善 . 2) 耦合特性 . 從系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型中可以看到 , 環(huán)型倒立擺擺桿和水平的連桿之間 , 以及多級倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都具有較強(qiáng)耦合。另一種是從系統(tǒng)運(yùn)行和實(shí)驗(yàn) 數(shù)據(jù)建立系統(tǒng)的模型 (模型結(jié)構(gòu)和參數(shù) )，這種方法稱為系統(tǒng)辯識。它是分析、設(shè)計、預(yù)報和控制一個系統(tǒng)的基礎(chǔ)。由于計算機(jī)仿真結(jié)果與實(shí)際實(shí)驗(yàn)總 存在很大的差別，二級倒立擺系統(tǒng)的研制為學(xué)生提供了理論與室踐結(jié)合的可能 本文通過對環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)特點(diǎn)的分析和數(shù)學(xué)模型的建立 ， 選擇了 線性二次型調(diào)節(jié)器(Linear Quadratic Regulator — LQR)控制環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定在垂直向上的平衡點(diǎn)上。因此，倒立擺成為控制理論中經(jīng) 久不衰的研究課題，人們把它喻為 :“任何一個自動控制部門都追求的皇冠上的珍珠”。因此對 倒立擺機(jī)理的研究具有重要的理論和實(shí)際意義，成為控制理論中經(jīng)久不衰的研究課題。倒立擺的典型性在于 :作為一個裝置，成本低廉，結(jié)構(gòu)簡單，形象直觀，便于實(shí)現(xiàn)模擬和數(shù)字兩者不同的方式的控制 :作為一個被控對象，又相當(dāng)復(fù)雜，就其本身而言，是一個高階次、不穩(wěn)定、多變量、 非線性、強(qiáng) 耦合 的快速性系統(tǒng)，只有采取行之有效的控制方法方能環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 11 使之穩(wěn)定。黃永宣運(yùn)用經(jīng)典控制理論解決了小車一單擺系統(tǒng)初始狀態(tài)在倒立點(diǎn)位置附近的小范圍穩(wěn)定控制問題。梁任秋等討論了設(shè)計小車一二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)字控制器的一般方法。 .B ryson等在 1970年對一 級倒立擺進(jìn)行控制獲得成功。由于這些分析綜合系統(tǒng)的方法都是建立在對系統(tǒng)狀態(tài)方程的分析上，或者說這些方法是研究在由這些狀態(tài)變量所張成的狀態(tài)空間中對狀態(tài)軌線如何起作用的。要分析一下系統(tǒng)的特性，首先要建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。 在現(xiàn)代控制理論中，系統(tǒng)是用一組狀態(tài)變量構(gòu)成一階微分方程組來描述的，這組狀態(tài)變量能夠表達(dá)系統(tǒng)內(nèi)部運(yùn)動的全部動態(tài)過程，因而它能更深刻地刻劃系統(tǒng)的特征。 9） 采用遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相結(jié)合的方法，首先建立倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，然后為其設(shè)計出神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器，再利用改進(jìn)的遺傳算法訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的權(quán)值，從而實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制，采用 GA學(xué)習(xí)的 NN控制器兼有 NN的廣泛映射能力和 GA快速收斂以及增強(qiáng)式學(xué)習(xí)等性能。 5） 遺傳算法 ((Geic Algorithms GA)，高曉智在 Michine的倒立擺控制 Boxes方案的基礎(chǔ)上，利用 GA對每個 BOX中的控制作用進(jìn)行了尋優(yōu)，結(jié)果表明 GA可以有效地解決倒立擺的平衡問題 。 2） 狀態(tài)反饋 ?H 控制，通過對倒立擺物理模型的分析，建立倒立擺的動力學(xué)模型， 然后使用狀態(tài)空間理論推導(dǎo)出狀態(tài)方程和輸出方程，應(yīng)用狀態(tài)反饋 ?H 和 Kalman濾波相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)對倒立擺的控制 。起初是單純的模糊控制，由于模糊控制的控制規(guī)則較多，導(dǎo)致相應(yīng)控制器的參數(shù)太多而無法很好地選取。其中基于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真研究的有 :翁正新等利用魯棒 ?H 狀態(tài)反饋控制器對二級倒立擺和傾斜導(dǎo)軌上的倒立擺進(jìn)行了控制；樓順天等利用時變不確定性關(guān)聯(lián)系統(tǒng)的魯棒自適應(yīng)控制方法對互耦 雙倒立擺系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)了控制；劉珊中等利用 ?H 狀態(tài)反饋和 Kalman濾波相結(jié)合的方法實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺的控制。1975年 Shozo Mori應(yīng)用此方法和硬件狀態(tài)觀測器對懸 掛式倒立擺模型控制成功 。另一方面是倒立擺的外形結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)了多樣化，不斷出現(xiàn)新型的倒立擺，如旋轉(zhuǎn)式倒立擺、環(huán)形倒立擺平面倒立擺等。一方面是傳統(tǒng)的小車式倒立擺的級數(shù)逐漸增加。 倒立擺系統(tǒng)是一種非線性、多變量和絕對不穩(wěn)定的動態(tài)系統(tǒng)。它深刻地揭示了自然界一種基本的規(guī)律，即一個環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 8 自然不穩(wěn)定的被控對象，通過控制手段可使之具有良好的穩(wěn)定性。同年，張飛舟等采用相平面分析法并結(jié)合人的控制經(jīng)驗(yàn)，實(shí)現(xiàn)了一、二、三軸倒立擺的擬人智能控制。 1999年，李巖等運(yùn)用基于 PD控制的專家智能控制本實(shí)現(xiàn)了二級倒立擺的穩(wěn)定控制。 Zuren等在 1984年運(yùn)用部分狀態(tài)和線性 函數(shù)觀測器結(jié)構(gòu)，在模擬計算機(jī)上應(yīng)用了同一算法， 1987年他們使用離散二次性能指標(biāo)修改了這一控制器。 1998年，王佳斌用 BP網(wǎng)絡(luò)控制倒立擺。 Mori等設(shè)計了一個組合控制器，既可以擺起倒立擺，還可以維持它在垂直向上方向上的平衡。同年，張葛祥等建立了三軸倒立擺的 數(shù)學(xué)模型，并分析了系統(tǒng)的可控制性和可觀測性，給出了智能控制算法的思路。在數(shù)學(xué)模型方面， Larbe得到了在二維坐標(biāo)中的簡單多軸倒立擺系統(tǒng)的運(yùn)動方程。 2021年，劉妹琴等用進(jìn)化 RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制二軸倒立擺。 2021年，單波等利用基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的預(yù)測控制算法對倒立擺的控制進(jìn)行了仿真。 1989年， Anderson和 Grantham運(yùn)用函數(shù)最小化和 Lyapunov穩(wěn)定方法成功產(chǎn)生了一個優(yōu)化反饋控制器?，F(xiàn)在 最有潛力的控制方法主要有基于模糊邏輯的模 糊控制系統(tǒng)，基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的神經(jīng)控制系統(tǒng)以 及基于知識的專家控制系統(tǒng)。智能控制是人工智能，自動控制與計算機(jī)相結(jié)合的產(chǎn)物，利用人類智能實(shí)現(xiàn)控制目的。這就是說，控制理論所依賴的工具 —— 數(shù)學(xué)，限制了其應(yīng)用。 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 6 自動控制理論己經(jīng)過八十余年的歷程，具備了從經(jīng)典到現(xiàn)代嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系?，F(xiàn)代控制理論是基于系統(tǒng)內(nèi)部描述的狀態(tài)方程進(jìn)行時域分析的狀態(tài)空間方法、最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辯識和自適應(yīng)控制等等。一般處理的系統(tǒng)是單變量的系統(tǒng)，數(shù)學(xué)模型簡單，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法、相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。 自動控制理論是研究自動控制共同規(guī)律的技術(shù)科學(xué)。 控制理論研究如何改進(jìn)動態(tài)系統(tǒng)的性能以達(dá)到所需目標(biāo)，這個廣義定義 包含了 人類活動的許多方面。自動控制是一門理論性很強(qiáng)的工程技術(shù)，我們把實(shí)現(xiàn)這種技術(shù)的理論叫做“自動理論”。因而 受到了普遍的重視。早在 60年代，人們就開始了對倒立擺系統(tǒng)控制的 研究。隨著徽機(jī)的廣泛應(yīng)用，又陸 續(xù)實(shí)現(xiàn)了數(shù)控二級倒立擺的穩(wěn)定。通過對它的研究不僅可以解決控制中的理論問題，還能將控制 理論 設(shè)計的三個主要基礎(chǔ)學(xué)科 :力學(xué)、數(shù)學(xué)和電學(xué) (包含計算機(jī) )進(jìn)行有機(jī)的綜合應(yīng)用， 在多種控制理論與方法的研究和應(yīng)用中，特別是工程實(shí)踐中，存在一種可行性的試驗(yàn)問題，將其理論和方法得到有效的經(jīng)驗(yàn)，倒立擺可為此提供一個從控制理論通往實(shí)踐的橋 梁。例如 ，按控制方式可分為開環(huán)控制、反饋控制、復(fù)合控制等 。人造衛(wèi)星準(zhǔn)確地進(jìn)入預(yù)定軌道運(yùn)行并回收等，這一切 都是以高水平的自動控制技術(shù)為前提的。所謂自動控制，是指在沒有人直接參與的情況下，利用外加的設(shè)備或裝置 (稱控制裝置或控制器 )，使機(jī)器、 設(shè)備或生產(chǎn)過程 (統(tǒng)稱被控對象 )的某個工作 狀態(tài)或參數(shù) (即被控量 )自動地按照預(yù)定的規(guī) 律運(yùn)行。 關(guān)鍵 詞 : 倒立擺； ＬＱＲ ；最優(yōu)控制；狀態(tài)方程 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 2 Abstract The inverted pendulum is an ideal equipment, which enables the possibility to validate the validity and the feasibility of some control theories, The inverted pendulum is a natural unstable equipment and can effectively reflects many matters in the control process. The model of the inverted pendulum is: as an equipment, low cost, simple machinery, easy to perform all kinds of controls in simulation and digital。倒立擺本身是一個自然不穩(wěn)定體，在控制過程中能有效地反映控制中的許多問題。倒立擺就是這樣一個較為理想的實(shí)驗(yàn)裝置。 本文 在環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上得出系統(tǒng)的狀態(tài)方程 , 應(yīng)用線性二次型最優(yōu)控制策略 , 對環(huán)型二級倒立擺進(jìn)行ＬＱＲ控制器的設(shè)計與ＭＡＴＬＡＢ仿真實(shí)驗(yàn) ， 并給出了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。 optimal control 環(huán)型二級倒立擺 LQR 控制 3 目 錄 １ 概述 ?????????????????????????????????????????? ４ １ .１ 當(dāng)前國內(nèi)外控制理論發(fā)展概述 ??????????????????????????? ５ １ .２ 倒立擺系統(tǒng)的歷史 ?????????????????????????????????? ６ １ .３ 倒立擺控制系統(tǒng)的發(fā)展動向 ?????????????????????????????? ７ １ .４ 現(xiàn)代控制在倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制中的應(yīng)用 ????????????? ??????????? ９ １ .５ 對倒立擺系統(tǒng)研究的意義 ??????????????????????????????? １０ １ .６ 本文的主要工作 ???????????????????????????????????? １ １ ２ 環(huán)型倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 ????????????????????????????? １ ２ ２ .１ 環(huán)型倒立擺的特點(diǎn) ????????????????????????????????? １ ２ ２ .２ Lagrange方程的特點(diǎn) ???????????? ???????????????????? １ ２ ２ .３ 狀態(tài)空間模型 ??????????????????????????????????? １ ３ ２ .４ 環(huán)型二級倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立 ????????????????????????? １４ ３ 線性二次型最優(yōu)控制器（ LQR）的設(shè)計 ?????????????????????????? ２１ ３ .１ 線性二次型最優(yōu)控制理論 ?????????????????????????????? ２ １ ３ .１ .１ 二次型最優(yōu) 控制理論 ??????????????????????????????? ２ １ ３ .１ .２ 加權(quán)矩陣的選取 ????????????????????????????????? ２３ ３ .２ 系統(tǒng)的可控性與可觀測性 ?????????????????????????????? ２ ４ ３ .３ 環(huán)型二級倒立擺 LQR 調(diào)節(jié)器 的設(shè)計 ?????????????????????????? ２ ４ ３ .３ .１ 設(shè)計要求 ?????????????????????????????? ?????? ２ ５ ３ .３ .２ 理論分析 ????