北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)25夾角的計(jì)算練習(xí)題(存儲(chǔ)版)
【正文】 C，所以 B1C1⊥ 平面 ABO，由于 AO? 平面 ABO，故 B1C⊥ B1O＝ CO，故 AC＝ AB1. (2)因?yàn)?AC⊥ AB1，且 O為 B1C的中點(diǎn)，所以 AO＝ CO 又因?yàn)?AB＝ BC，所以 △ BOA≌△ BOC，故 OA⊥ OB，從而 OA， OB， OB1兩兩互相垂直 ． 以 O為坐標(biāo)原點(diǎn)， OB→ 的方向?yàn)?x軸正方向， |OB |→ 為單 位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 O－ xyz. 因?yàn)?∠ CBB1＝ 60176。n1＝ 0，BC→ PB ＝13， 從 而 PM＝ PBcos∠ BPA＝ 2，所以 AM＝ PA－ PM＝ 3. 綜上所述，存在點(diǎn) M符合題意， AM＝ 3. 。m|n||m|＝ 17. 所以二面角 A－ A1B1－ C1的余弦值為 17. 8． 如圖 ， 在三棱錐 P－ ABC 中 ， AB＝ AC， D 為 BC 的中點(diǎn) ， PO⊥ 平面 ABC， 垂足 O落在線(xiàn)段 AD上 ， 已知 BC＝ 8， PO＝ 4， AO＝ 3， OD＝ 2. (1)證明 ： AP⊥ BC； (2)在線(xiàn)段 AP上是否存在點(diǎn) M， 使得二面角 A－ MC－ B為直二面角 ？ 若存在 ， 求出 AM的長(zhǎng) ； 若不存在 ， 請(qǐng)說(shuō)明理由 ． [解析 ] 方法一： (1)證明：如右圖，以 O 為原點(diǎn)，以射線(xiàn) OD 為 y 軸的正半軸，射線(xiàn)OP為 z軸的正半軸，建 立空間直角坐標(biāo)系 O－ xyz. 則 O(0,0,0)， A(0，－ 3,0)， B(4， 2,0)， C(－ 4,2,0)， P(0,0,4)， AP→ ＝ (0,3,4)， BC→ ＝ (－ 8,0,0)，由此可得 AP→ . 三、解答題 7． (2021 [解析 ] 方法 1：連結(jié) BC1，設(shè)與 B1C交于 O點(diǎn)，連結(jié) A1O. ∵ BC1⊥ B1C， A1B1⊥ BC1， A1B1∩ B1C＝ B1. ∴ BC1⊥ 平面 A1B1C， ∴ A1B在平面 A1B1CD內(nèi)的射影為 A1O.∴∠ OA1B就是 A1B與平面 A1B1CD所成的角， 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為 1. 在 Rt△ A1OB中， A1B＝ 2， BO＝ 22 ， ∴ sin∠ OA1B＝ BOA1B＝222＝12. ∴∠ OA1B＝ 30176。|BM→ |， ∵ AD→ AD→ ) ＝ 14(1－ 12＋ 2－ 12)＝ 12. 所以 cos〈 AF→ ， EC→ 〉＝ AF→ [答案 ] D [解析 ] 如圖， 連結(jié) DM， BC1，則 MC 為 DM在平面 B1C內(nèi)的投影 ． 又因?yàn)?CM⊥ MN，所以 DM⊥ MN. 因?yàn)?MN∥ BC1∥ AD1， 所以 DM⊥ AD1，即 AD1與 DM的夾角為 90176。 C． 60176。DA→ ＝ 0， nBC→ ＝ 0， 從而 EF→ ⊥ BC→ ， 所以 EF⊥ BC． (2)方法一 ： 在圖 1 中過(guò) O作 OG⊥ BF， 垂足為 G連 EG， 由平面 ABC⊥ 平面 BDC， 從而 EO⊥ 平面 BDC， 又 OG⊥ BF， 由三垂線(xiàn)定理知 EG⊥ BF. 因此 ∠ EGO為二面角 E－ BF－ C的平面角 ， 在 △ EOC中 ， EO＝ 12EC＝ 12BC|FG→ |＝122BD→ ＝－ 14. ∴ cos〈 BD→ ， EC→ 〉＝－ 77 .即 cos〈 DB→ ， EC→ 〉＝ 77 . 另解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè) AB＝ BC＝ CD＝ PC＝ A(2,0,0)， C(0,0,0)，B(1， 3， 0)， P(0,0,2) 設(shè)平面 PAB的法向量 n 第 二 章 一、選擇題 1． 平面 α的一個(gè)法向量為 n1＝ (4,3,0)， 平面 β的一個(gè)法向量為 n2＝ (0，－ 3,4)， 則平面α與平面 β夾角的余弦值為 ( ) A．－ 925 B． 925 C． 725 D． 以上都不對(duì) [答案 ] B [解析 ] cos〈 n1， n2〉＝ n1BD→ .∴EC→ FG→ ||n|、 E， F分別為 AC、 DC的中點(diǎn) ． (1)求證 ： EF⊥ BC； (2)求二面角 E－ BF－ C的正弦值 ． [解析 ] (1)方法一：過(guò) E作 EO⊥ BC，垂足為 O，連接 OF，由 △ ABC≌△ DBC 可證出△ EOC≌△ FOC， 圖 1 所以 ∠ EOC＝ ∠ FOC＝ π2， 即 FO⊥ BC． 又 EO⊥ BC， 因此 BC⊥ 平面 EFO. 又 EF? 平面 EFO， 所以 EF⊥ BC． 方法二 ： 由題意 ， 以 B為坐標(biāo)原點(diǎn) ， 在平面 DBC內(nèi)過(guò) B作垂直 BC的直線(xiàn)為 x軸 ， BC所在直線(xiàn)為 y軸 ， 在平面 ABC 內(nèi)過(guò) B 作垂直 BC 的直線(xiàn)為 z 軸 ， 建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系 ， 易得 B(0,
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