【正文】 =∠ GCF，可證 △ ECG≌△ FCG，故 EG=GF，即GE=BE+GD． ② 在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中， P值無(wú)變化．證明：如圖， 延長(zhǎng) BA交 y軸于 E點(diǎn)，則 ∠ AOE=45176。山西大同 一模）問題情境：如圖將邊長(zhǎng)為 8cm的正方形紙片 ABCD折疊，使點(diǎn)B 恰好落在 AD 邊的中點(diǎn) F 處，折痕 EG分別交 AB、 CD于點(diǎn) E、 G， FN 與 DC 交于點(diǎn) M，連接BF交 EG于點(diǎn) P. 獨(dú)立思考： （ 1） AE=_______cm，△ FDM的周長(zhǎng)為 _____cm （ 2）猜想 EG與 BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論 . 拓展延伸： 如圖 2，若點(diǎn) F不是 AD的中點(diǎn)，且不與點(diǎn) A、 D重合： ①△ FDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論 . ②判斷（ 2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請(qǐng)直 接寫出新的結(jié)論（不需證明） . 答案： 090M B OC D C M A B? ? ?? ? ?Q又 MCO= 　 　 且 CD （ 1） 3， 16 (2)EG⊥ BF, EG=BF 則 ∠ EGH+∠ GEB=90176。二模 )在 △ ABC 中， D 是 BC邊的中點(diǎn)， E、 F 分別在 AD 及其延長(zhǎng)線上， CE∥ BF，連接 BE、 CF． （ 1）求證： △ BDF≌△ CDE； （ 2）若 DE=BC，試判斷四邊形 BFCE是怎樣的四邊形，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】 矩形的判定；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）根據(jù)平行線得出 ∠ CED=∠ BFD，根據(jù) AAS推出兩三角形全等即可； （ 2）根據(jù)全等得出 DE=DF，根據(jù) BD=DC 推出四邊形是平行四邊形，求出 ∠ BEC=90176。 ， ∴∠ EBC=60176。模擬 )如圖，已知 △ ABC內(nèi)接于 ⊙ O，且 AB=AC，直徑 AD交 BC于點(diǎn) E，F(xiàn)是 OE上的一點(diǎn)，使 CF∥ BD． （ 1）求證： BE=CE； （ 2）試判斷四邊形 BFCD的形狀，并說明理由； （ 3）若 BC=8， AD=10，求 CD的長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 垂徑定理；勾股定理；菱形的判定． 【分析】 （ 1）證明 △ ABD≌△ ACD，得到 ∠ BAD=∠ CAD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明； （ 2）菱形，證明 △ BFE≌△ CDE，得到 BF=DC，可知四邊形 BFCD是平行四邊形，易證 BD=CD，可證明結(jié)論； （ 3）設(shè) DE=x，則根據(jù) CE2=DE?AE列方程求出 DE，再用勾股定理求出 CD． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AD是直徑， ∴∠ ABD=∠ ACD=90176。ABCD ，點(diǎn) C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn) 39。AC ，如圖． ∵四邊形 ABCD為矩形， ∴∠ ABC= 90176。BC AD? ． 由旋轉(zhuǎn)，得 39。BE DE? ． 設(shè) AE x? ，則 39。中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 4 月卷） 如圖，AB CDB 39。 ，在直角 △ ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到 ∠ BAE+∠ AEB=90176。 ﹣ 45176。 ∴∠ BAE=∠ CEF ∴ 在 △ AME和 △ ECF中， ， ∴△ AME≌△ ECF（ ASA）， ∴ AE=EF． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的 聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵． 16.（ 2021一模） (本題 11分）如 圖，在正方形 ABCD中， AB=5， P是 BC邊上任意一點(diǎn)， E 是 BC 延長(zhǎng) 線上一點(diǎn)，連接 AP，作 PF⊥ AP，使 PF＝ PA，連接 CF， AF， AF 交CD邊于點(diǎn) G，連接 PG． （ 1）求證：∠ GCF＝∠ FCE； （ 2）判斷線段 PG， PB與 DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）若 BP＝ 2，在直線 AB 上是否存在一點(diǎn) M，使四 邊形 DMPF是平行四邊形，若存在，求出 BM的 長(zhǎng)度，若不存在，說明理由． 答案： （ 1）證明：過點(diǎn) F作 FH⊥ BE于點(diǎn) H， ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ ABC＝∠ PHF＝∠ DCB＝ 90186。 ∴∠ GCF＝∠ FCE AB CDEFGP AB CDEFGP H K M （ 2） PG＝ PB＋ DG 證明：延長(zhǎng) PB至 K，使 BK=DG, ∵四邊形 ABCD是正方形 ∴ AB=AD, ∠ ABK＝ ADG=90186。 ， 在 Rt△ ADB和 Rt△ ACB中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB，∴ AD=BC， 又∵ AB是⊙ O的直徑，∴ AB≠ CD，∴四邊形 ABCD是對(duì)等四邊形． （ 3）如圖 3，點(diǎn) D的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時(shí)點(diǎn) D在 D1的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn) D在 D D3的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點(diǎn) A分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設(shè) BE=x，∵ tan∠ PBC= ，∴ AE= ， 在 Rt△ ABE中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12，∴ CE=BC﹣ BE=6， 由 四 邊 形 AECF 為 矩 形 ， 可 得 AF=CE=6 ， CF=AE=12 ，在 Rt △ AFD2 中，∴ ， ， 綜上所述， CD的長(zhǎng)度為 1 12﹣ 或 12+ ． 20.（ 2021 ，； ∵ OD=CD， ∴∠ COD=∠ OCD=60176。廣東東莞（直接寫出結(jié)果即可） 解：（ 1）根據(jù)題意，有∠ OBP = 90176。 ， ∴∠ CAO=∠ AOD=30176。 ﹣ 30176。一 模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，樂老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點(diǎn)（小 正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)， AB、 BC為邊的兩個(gè)對(duì)等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對(duì)等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中，∠ PCB=90176。－ 45186。. ∴ EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD. ∴四邊形 AEFD為平行四邊形 . 在 Rt△ ABE中，根據(jù)勾股定理得： AE=2 2 2 2A B B E 3 4 5? ? ? ? ∵AD=5, ∴AD=AE. ∴ 四邊形 AEFD為菱形 . （ 2）連結(jié) DE、 AF. 求出 DE=10. 求出 AF=310. 18.（ 2021 ∴∠ AME=∠ ECF ∵∠ AEB+∠ BAE=90176。 ， 又 ∵∠ ECF=180176。 ，且 EF交正方形外角 ∠ DCG的平分線于點(diǎn) F，求證： AE=EF． 經(jīng)過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點(diǎn) M，連接 ME，則 AM=EC，易證△ AME≌△ ECF，所以 AE=EF．請(qǐng)借助圖 1完成小明的證明； 在（ 2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （ 3）小聰提出：如圖 2，如果把 “ 點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn) ” 改為 “ 點(diǎn) E是邊 BC上（除 B， C外）的任意一點(diǎn) ” ，其它條件不變，那么結(jié)論 “ AE=EF” 仍然成立，你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) ∠ AEF=90176。連接 MC， NC， MN． （ 1）求證： BM?DN=36； （ 2）求∠ MCN的度數(shù)； 答案：（ 7分）（ 1）證明略（ 3分） （ 2） 135度 （ 4分） 14.（ 2021ADE? ≌ 39。BC BC? ， ∴ 39。B 39。 39。 ， AB=CD， AD=BC， ∵ 點(diǎn) E是 AD的中點(diǎn)，點(diǎn) F是 BC的中點(diǎn)， ∴ DE= AD BF= BC， ∴ BF=DE， 在 △ ABF和 △ CDE中， ， ∴△ ABF≌△ CDE（ SAS）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定；熟練掌握矩形的性質(zhì)，熟記全等三角形的判定方法 SAS是解決問題的關(guān)鍵． 10． (2021 ，可得 ∠ EBC為 60176。 ∴∠ AFE=∠ DMF ∴△ AEF∽△ DFM ∴ =F M DAEF FDAE的 周 長(zhǎng)的 周 長(zhǎng)VV 設(shè) AF為 x， FD=8x ∴ 23 2 2 2(8 )x A E A E? ? ? 26416xAE ?? ∴ 88 xx A E A E A EF M D ??? ? ?的 周 長(zhǎng) FMD的周長(zhǎng) =22 2( 8 ) ( 8 ) 16( 64 ) 1616 6416x x xx x? ? ???? ? ∴△ FMD的周長(zhǎng)不變 ②（ 2）中結(jié)論成立 7． (2021 ∴ AB=BM 在△ COM和△ BOM中 OC=OB ∠ COM=∠ BOM OM=OM ∴△ COM≌△ BOM（ SAS） ∴ CM=BM=AB ∴ AB∥ CM ∴ ABCD是菱形 6． (2021=90176。=45176。 時(shí)，四邊形 AECF是菱形 . 2.（ 2021 齊河三模） 如圖，正方形 ABCD 中，點(diǎn) E， F 分別在邊 AB， BC 上， AF＝ DE， AF 和DE相交于點(diǎn) G. (1)觀察圖形，寫出圖中所有與 ∠ AED相等的角； (2)選擇圖中與 ∠ AED相等的任意一個(gè)角，并加以證明． DFAE CBDFAE CB 答案：（ 1）由圖可知，∠ DAG，∠ AFB，∠ CDE與∠ AED相等； （ 2）選擇∠ DAG=∠ AED，證明如下： ∵正方形 ABCD， ∴∠ DAB=∠ B=90176。（結(jié)果保留π） 答案： 8π3 22. （ 2021聯(lián)考）將正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長(zhǎng)為 20cm，點(diǎn) O為正方形的中心， AB=5cm，則 CD 的長(zhǎng)為 20 cm． 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)題意四邊形 BOCE是正方形，且邊長(zhǎng)等于大正方形的邊長(zhǎng)的一半，等于 10cm，再根據(jù)△ DCE和△ DOA相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可． 【解答】 解：如圖， ∵點(diǎn) O為正方形的中心， ∴四邊形 BOCE是正方形，邊長(zhǎng) =20247。CD 是直角三角形時(shí)， AP的長(zhǎng)為 . C D A P B A′ A P B D C A′ E 圖 1 圖 2 A B C D A B C D E F ① ② A B CD E G M N ③ 答案： 2或 78 12.（ 2021一模） 小明嘗試著將矩形紙片 ABCD（ 如圖①， ADCD） 沿過 A點(diǎn)的直線折疊，使得 B 點(diǎn)落在 AD邊上的點(diǎn) F處，折痕為 AE（ 如圖②）；再沿過 D點(diǎn)的直線折疊，使得 C點(diǎn)落在 DA邊上的點(diǎn) N處， E點(diǎn)落在 AE邊上的點(diǎn) M處，折痕為 DG（ 如圖③）．如果第二 次折疊后， M 點(diǎn)正好在∠ NDG 的平分線上，那么矩形 ABCD 長(zhǎng)與寬的比值為 ． [來(lái) 答案： 2 10.（ 2021河南洛陽(yáng)﹣ 45176。一模）如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn) E、 F分別是 BC、 CD邊上的點(diǎn)，且∠ EAF=45176。一 模） 長(zhǎng)為 1，寬為 a的矩形紙片（ ＜ a＜ 1），如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個(gè)邊長(zhǎng)等于此時(shí)矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如此反復(fù)操作下去，若在第 n次操作后，剩下的矩形為正方形，則操作終止． （ I）第二次操作時(shí)，剪下的正方形的邊長(zhǎng)為 1﹣ a ； （ Ⅱ ）當(dāng) n=3時(shí)， a的值為 或 ．（用含 a的式子表示） 【考點(diǎn)】 翻折變換（折疊問題）． 【分析】 根據(jù)操作步驟，可知每一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)都等于原矩形的寬．所以首先需要判斷矩形相 鄰的兩邊中，哪一條邊是矩形的寬．當(dāng) ＜ a＜ 1時(shí)，矩形的長(zhǎng)為 1，寬為 a，所以第一次操作時(shí)所得正方形的邊長(zhǎng)為 a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為 1﹣ a， a．由 1﹣ a＜ a可知，第二次操作時(shí)所得正