【正文】 證明： ∵△ BDF≌△ CDE， ∴ DE=DF， ∵ BD=DC， ∴ 四邊形 BFCE是平行四邊形， ∵ BD=CD， DE=BC， ∴ BD=DC=DE， ∴∠ BEC=90176。 由折疊知，點(diǎn) B、 F關(guān)于直線 GE所在直線對(duì)稱 ∴∠ FBE=∠ EGH ∵ ABCD是正方形 ∴ AB=BC ∠ C=∠ ABC=90176。一模）如圖，已知： AB是 O 的弦， CD 是 O 的直徑， CD⊥ AB， 垂足為 E，且點(diǎn) E是 OD的中點(diǎn)， O 的切線 BM與 AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn) M，連接 AC、 CM （ 1）若 AB=43，求 O 的半徑及弧 AB 的長(zhǎng)度 . （ 2）求證：四邊形 ABMC是菱形 . 答案： 解（ 1）連接 OB ∵ OA=OB， E是 AB的中點(diǎn) ∴∠ AOE=∠ BOE, OE⊥ AB 又∵ OE=12 OA ∴∠ OAB=30176。 ﹣ ∠ AOM， ∠ CON=90176。 ∴∠ DAG=∠ AED． 3.（ 2021青島一模） 已知：如圖，在矩形 ABCD中，點(diǎn) E在邊 AD上，點(diǎn) F在邊 BC上，且 AE=CF，作 EG∥FH ，分別與對(duì)角線 BD交于點(diǎn) G、 H，連接 EH， FG． （ 1）求證： △BFH≌△DEG ； （ 2）連接 DF，若 BF=DF，則四邊形 EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】 矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）由平行四邊形的性質(zhì)得出 AD∥BC ， AD=BC， OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG ， ∠OHF=∠OGE ，得出 ∠BHF=∠DGE ，求出 BF=DE，由 AAS即可得出結(jié)論； （ 2）先證明四邊形 EGFH 是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出 EF⊥GH ，即可得出四邊形 EGFH是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ， AD=BC， OB=OD， ∴∠FBH=∠EDG ， ∵AE=CF ， ∴BF=DE ， ∵EG∥FH ， ∴∠OHF=∠OGE ， ∴∠BHF=∠DGE ， 在 △BFH 和 △DEG 中， ， ∴BFH≌△DEG （ AAS）； （ 2）解：四邊形 EGFH是菱形；理由如下： 連接 DF，如圖所示： 由（ 1）得： BFH≌△DEG ， ∴FH=EG ， 又 ∵EG∥FH ， ∴ 四邊形 EGFH是平行四邊形， ∵BF=DF ， OB=OD， ∴EF⊥BD ， ∴EF⊥GH ， ∴ 四邊形 EGFH是菱形． 4． （ 2021廣東深圳廣東河源黑龍江齊齊哈爾 答案： 125186。一模）在矩形 ABCD中 ， AB=4,BC=3，點(diǎn) P在 AB上。 ∴ BM2+DN2=BM2+BH2=MH2=MN2， ∵ BD= AB=8， ∴ 22+（ 8﹣ 2﹣ MN） 2=MN2， ∴ MN= ． 故答案為： ． 5． (2021 在 RT△ ABG和 RT△ ADF中， ， ∴ Rt△ ABG≌ Rt△ ADF（ SAS）， ∴∠ 1=∠ 2，∠ 7=∠ G， AF=AG， ∴∠ GAE=∠ 2+∠ 3=∠ 1+∠ 3=∠ BAD﹣∠ EAF=90176。 ， ∵∠AME=∠CMF ， ∴△AEM∽△CFM ， ∴ ， ∵AE=6 ， EF=8， FC=10， ∴ ， ∴EM=3 ， FM=5， 在 Rt△AEM 中， AM= =3 ， 在 Rt△FCM 中， CM= =5 ， ∴AC=8 ， 在 Rt△ABC 中， AB=AC?sin45176。 河南三門峽 廣東深圳一模） 下列命題 ：①等腰三角形的角平分線平分對(duì)邊；②對(duì)角線垂直且相等的四邊形是正方形；③正六邊形的邊心距等于它的邊長(zhǎng)；④過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，其切線長(zhǎng)相等．其中真命題有（ ）個(gè)． A． 1個(gè) B． 2個(gè) C． 3個(gè) D． 4個(gè) 答案： A 14.（ 2021一模）如圖 4，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn) P、 Q分別是 CD、 AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) E從點(diǎn) A向點(diǎn) B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn) B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn) F 從點(diǎn) P出發(fā)， 沿 P→ D→ Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn) E、 F 的運(yùn)動(dòng)速度相同．設(shè)點(diǎn) E的運(yùn)動(dòng)路程為 x，△ AEF的面積為 y，能大致刻畫 y與 x的函數(shù)關(guān)系的圖象是【 】 答案： B 11. （ 2021 =6 =3 cm， ∴ BC=2BE=6 cm，故 ② 正確； ∵∠ AOB=60176。云南省曲靖市羅平縣 ．故選： C． MNED ABC F 4． （ 2021 ， ∴∠ ABE=（ 180176。二模） 如圖，在正方形 ABCD的外側(cè)，作等邊三角形 ADE， AC， BE相交于點(diǎn) F，則 ∠ BFC為（ ） A． 45176。 矩形菱形與正方形 一、選擇題 1． (2021 B． 55176。 ﹣ 150176。 天津五區(qū)縣 二模 )如圖，四邊形 ABCD 是菱形， AC=8， DB=6， DH⊥ AB于 H，則 DH=（ ） A． B． C． 12 D． 24 【考點(diǎn)】 菱形的性質(zhì)． 【分析】 設(shè)對(duì)角線相交于點(diǎn) O，根據(jù)菱形的 對(duì)角線互相垂直平分求出 AO、 BO，再利用勾股定理列式求出 AB，然后根據(jù)菱形的面積等對(duì)角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【解答】 解：如圖，設(shè)對(duì)角線相交于點(diǎn) O， ∵ AC=8， DB=6， ∴ AO=AC= 8=4， BO=BD= 6=3， 由勾股定理的， AB= = =5， ∵ DH⊥ AB， ∴ S 菱形 ABCD=AB?DH=AC?BD， 即 5DH= 8 6， 解得 DH= ． 故選 A． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對(duì)角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點(diǎn) 在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程． 8． (2021 ， ∴ sin∠ AOB=sin60176。遼寧丹東七中湖北襄陽一模）下列命題中是假命題的是（ ） A．一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 【考點(diǎn)】 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定． 【專題】 證明題． 【 分析】 做題時(shí)首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答． 【解答】 解： A、一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（平行四邊形判定定理）；故 A不符合題意． B、一組對(duì)邊相等且有一個(gè)角是直角的四邊形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，故B符合題意． C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故 C不符合題意； D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故 D不符合題意． 故選： B． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細(xì)心． 17.（ 2021 二模） 如圖，小明在作線段 AB 的垂直平分線時(shí)，他是這樣操 作的： 分別以 A和 B為圓心，大于 AB21 的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交 于 C、 D兩點(diǎn)，直線 CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形 ADBC一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法確定 答案： B 20.（ 2021=8 ? =4 ， ∴S 正方形 ABCD=AB2=160， 圓的面積為： π? （ ） 2=80π ， ∴ 正方形與其外接圓之間形成的陰影部分的面積為 80π ﹣ 160． 故答案為： 80π ﹣ 160． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正方形與圓的面積的求解方法，以及勾股定理的應(yīng)用．此題綜合性較強(qiáng)，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 3． (2021﹣ 45176。山東棗莊若將△ DAP沿 DP折疊，使點(diǎn) A落在矩形對(duì)角線上的 A39。 11.（ 2021一模） 如圖，矩形 ABCD 的邊長(zhǎng) AB=8， AD=4，若將△ DCB 沿 BD 所在直線翻折，點(diǎn) C落在點(diǎn) F處， DF與 AB交于點(diǎn) E. 則 cos∠ ADE = ． 答案： 45 14.（ 2021一模） 如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC，BD相交于點(diǎn) O， CE∥ BD， DE∥ AC，若 AC = 4 cm，則四邊形 CODE的周長(zhǎng)為 。聯(lián)考）如圖，矩形 ABCD中， AD=4，∠ CAB=30o，點(diǎn) P 是線段 AC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) Q是線段 CD上的動(dòng)點(diǎn)，則 AQ+QP的最小值是 PQA BCD 答案： 34 三、 解答題 1． (2021天津南開區(qū) ﹣ 45176?！?AOE=60176。 四邊形 GHBC是矩形，∴ GH=BC=AB ∴△ AFB全等△ HEG ∴ BF=EG (3)①△ FDM的周長(zhǎng)不發(fā)生變化 由折疊知∠ EFM=∠ ABC=90176。 ， ∴ 平行四邊形 BFCE是矩形． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平行線性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定，平行四邊形的判定的應(yīng)用，注意：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形． 8． (2021 =6 =3 ， ∴ S 菱形 BCFE=BC?EG=6 3 =18 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查菱形的判定和性質(zhì)以及三角形中位線定理，以及菱形的面積的計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)．注意證得 △ BEC是等邊三角形是關(guān)鍵． 9． (2021吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)39。AB CC? ． 由旋轉(zhuǎn)，得 39。39。ADE? 中， 39。D 39。 ， ∴∠ AEB+∠ FEG=90176。 ． ∴∠ AME=∠ ECF， ∴ 在 △ AME和 △ ECF中， ， ∴△ AME≌△ ECF， ∴ AE=EF； （ 3）在 AB上取一點(diǎn) M，使 AM=EC，連接 ME． ∴ BM=BE， ∴∠ BME=45176。一模）如圖，在 □ ABCD中， E、 F分別是邊 AB、 CD的中點(diǎn)， BG∥ AC交 DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G． （ 1）求證： △ ADF≌△ CBE； （ 2）若四邊形 AGBC是矩形，判斷四邊形 AECF是什么特殊的四邊形？并證明你的結(jié)論． GF CEA BD 答案： （ 1）證明：∵ □ ABCD，∴ AD=CB，∠ D=∠ ABC， AB=CD， 又∵ E、 F分別是邊 AB、 CD 的中點(diǎn)，∴ DF=BE，∴ △ ADF∽≌△ CBE； 四邊形 AECF為菱形；∵矩形 AGBC，∴∠ ACB=90176。 ∵ AP⊥ PF, ∴∠ APB＋∠ FPH＝ 90186。,AP=PF ∴∠ PAF＝∠ PFA＝ 45 186。聯(lián)考）在由 m n（ m n＞ 1）個(gè)小正方形組成的矩形網(wǎng)格中，研究它的一條對(duì)角線所穿過的小正方形個(gè)數(shù) f， （ 1）當(dāng) m、 n互質(zhì)（ m、 n除 1外無其他公因數(shù)）時(shí)，觀察下列圖形并完成下表： m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：當(dāng) m、 n互質(zhì)時(shí)，在 m n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、n的關(guān)系式是 f=m+n﹣ 1 （不需要證明）； （ 2）當(dāng) m、 n不互質(zhì)時(shí)，請(qǐng)畫圖驗(yàn)證你猜想的關(guān)系式是否依然成立． 【考點(diǎn)】 作圖 — 應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖；規(guī)律型：圖形的變化類． 【分析】 （ 1）通過觀察即可得出當(dāng) m、 n互質(zhì)時(shí)，在 m n的矩形網(wǎng)格中，一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 n的關(guān)系式， （ 2）當(dāng) m、 n不互質(zhì)時(shí)，畫出圖即可驗(yàn) 證猜想的關(guān)系式不成立． 【解答】 解：（ 1）表格中分別填 6， 6 m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 6 3 4 7 6 f與 m、 n的關(guān)系式是： f=m+n﹣ 1． 故答案為： f=m+n﹣ 1． （ 2） m、 n不互質(zhì)時(shí)，猜想的關(guān)系 式不一定成立，如下圖： ． 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了作圖﹣應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，關(guān)鍵是通過觀察表格，總結(jié)出一條對(duì)角線所穿過的小正方形的個(gè)數(shù) f與 m、 n的關(guān)系式，要注意 m、 n互質(zhì)的條件． 21.（ 2021 ， 由旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)知： ∠ COA=∠ CAO=∠ B=30176。廣東河源 （ 1）如圖①，當(dāng)∠ BOP＝ 30176。 ﹣ 2 30176。聯(lián)考）如圖，△ OBD中， OD=BD，△ OBD繞點(diǎn) O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ OAC，此 時(shí) B， D， C三點(diǎn)正好在一條直線上，且點(diǎn) D是 BC的中點(diǎn)． （ 1）求∠ COD度數(shù)； （ 2）求證：四邊形 ODAC是菱形． 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；菱形的判定． 【分析】 （ 1）如圖，根據(jù)題意證明△ OBC 為直角三角形，結(jié)合 OC= ，求出 ∠ B 即可解決 問題．