【正文】 EF⊥GH ，即可得出四邊形 EGFH是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC ， AD=BC， OB=OD， ∴∠FBH=∠EDG ， ∵AE=CF ， ∴BF=DE ， ∵EG∥FH ， ∴∠OHF=∠OGE ， ∴∠BHF=∠DGE ， 在 △BFH 和 △DEG 中， ， ∴BFH≌△DEG （ AAS）； （ 2）解：四邊形 EGFH是菱形；理由如下： 連接 DF，如圖所示： 由（ 1）得： BFH≌△DEG ， ∴FH=EG ， 又 ∵EG∥FH ， ∴ 四邊形 EGFH是平行四邊形， ∵BF=DF ， OB=OD， ∴EF⊥BD ， ∴EF⊥GH ， ∴ 四邊形 EGFH是菱形． 4． （ 2021一模）如圖，已知： AB是 O 的弦， CD 是 O 的直徑， CD⊥ AB， 垂足為 E，且點(diǎn) E是 OD的中點(diǎn)， O 的切線 BM與 AO的延長線相交于點(diǎn) M，連接 AC、 CM （ 1）若 AB=43，求 O 的半徑及弧 AB 的長度 . （ 2）求證：四邊形 ABMC是菱形 . 答案： 解（ 1）連接 OB ∵ OA=OB， E是 AB的中點(diǎn) ∴∠ AOE=∠ BOE, OE⊥ AB 又∵ OE=12 OA ∴∠ OAB=30176。 ，根據(jù)矩形的判定推出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ CE∥ BF， ∴∠ CED=∠ BFD， ∵ D是 BC邊的中點(diǎn)， ∴ BD=DC， 在 △ BDF和 △ CDE中 ， ∴△ BDF≌△ CDE（ AAS）； （ 2）四邊形 BFCE是矩形， 證明： ∵△ BDF≌△ CDE， ∴ DE=DF， ∵ BD=DC， ∴ 四邊形 BFCE是平行四邊形， ∵ BD=CD， DE=BC， ∴ BD=DC=DE， ∴∠ BEC=90176。 ， 在 Rt△ ABD和 Rt△ ACD中， ， ∴ Rt△ ABD≌ Rt△ ACD， ∴∠ BAD=∠ CAD， ∵ AB=AC， ∴ BE=CE； （ 2）四邊形 BFCD是菱形． 證明： ∵ AD是直徑， AB=AC， ∴ AD⊥ BC， BE=CE， ∵ CF∥ BD， ∴∠ FCE=∠ DBE， 在 △ BED和 △ CEF中 ， ∴△ BED≌△ CEF， ∴ CF=BD， ∴ 四邊形 BFCD是平行四邊形， ∵∠ BAD=∠ CAD， ∴ BD=CD， ∴ 四邊形 BFCD是菱形； （ 3）解： ∵ AD是直徑， AD⊥ BC， BE=CE， ∴ CE2=DE?AE， 設(shè) DE=x， ∵ BC=8， AD=10， ∴ 42=x（ 10﹣ x）， 解得： x=2或 x=8（舍去） 在 Rt△ CED中， CD= = =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． （ 2021即 39。2D E x?? ． 在 Rt 39。 ，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得； （ 2）作 AB的中點(diǎn) M，連接 ME，根據(jù) ASA即可證明 △ AME≌△ ECF，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得； （ 3）在 AB上取一點(diǎn) M，使 AM=EC，連接 ME，同（ 2）根據(jù) ASA即可 證明 △ AME≌△ ECF，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ AEF=90176。黑龍江大慶 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。 ． （ 2）∵ OD=BD， ∴∠ DOB=∠ B=30176。時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）如圖②，經(jīng)過點(diǎn) P 再次折疊紙片，使點(diǎn) C 落在直線 PB′上，得點(diǎn) C′和折痕 PQ，若AQ＝ m，試用含有 t的式子表示 m； （ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)點(diǎn) C′恰好落在邊 OA上時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。 ，∠ OCD=90176。 ∴∠ DCF＝ 90186。 ， ∴∠ ECF=135176。一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊 BC上的點(diǎn)，過點(diǎn)E作 EF⊥ AE，過點(diǎn) F作 FG⊥ BC交 BC的延長線于點(diǎn) G．． （ 1）求證： ∠ BAE=∠ FEG． （ 2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖 2，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn)． ∠ AEF=90176。AED C BE? ? ? ， ∴ 39。C 39。 ， AB=CD， AD=BC，由中點(diǎn)的定義得出 BF=DE，由 SAS證明 △ ABF≌△ CDE即可． 【解答】 證明： ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴∠ B=∠ D=90176。 ∴∠ DFM+∠ DMF=90176。 ﹣ 90176。 時(shí)，四邊形 AECF是菱形 . （ 1） 證明：在 □ ABCD中， AD=BC， AB=CD， ∠ B=∠ D， ∵ E、 F分別是 □ ABCD的邊 BC、 AD 上的中點(diǎn) , ∴ BE= 2BC， DF= 21AD，則 BE= DF. 在△ ABE和△ CDF中， BE= DF， ∠ B=∠ D， AB=CD， 則△ ABE≌△ CDF； （ 2） 當(dāng)∠ BAC= 90 176。廣東東莞遼寧丹東七中 DN=BH， ∴∠ MBH=∠ ABH+∠ 5=∠ ANG﹣∠ 6+∠ 5=90176。 天津市和平區(qū) 聯(lián)考）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為 a，則陰影部分的面積為（ ） A． 2a2 B． 3a2 C． 4a2 D． 5a2 【考點(diǎn)】 正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠ CAB=∠ CBA=45176。陜西師大附中一模） 如圖，正方形 AEFG的邊 AE放置在正方形 ABCD的對角線 AC上， EF與 CD交于點(diǎn) M，得四邊形 AEMD，且兩正方形的邊長均為 2，則兩正方形重合部分（陰影部 分）的面積為（ ） 4 4 2?? B． 4 2 4? C． 8 4 2? D． 21? 答案： A 6． (2021 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)與判定 答案： C 試題解析： ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD， 又 ∵△ ADE是等邊三角形， ∴ AE=AD=DE， ∠ DAE=60176。 5月聯(lián)考模擬） 如圖，矩形 ABCD， 點(diǎn) E在 AD邊上，過點(diǎn) E作 AB的平行線，交 BC于點(diǎn) F，將矩形 ABFE繞著點(diǎn) E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 ， ∴∠ BFC=45176。 ， ∴∠ ABC=∠ D=30176。第二步，連接 MN分別交 AB、 AC于點(diǎn) E、 F。聯(lián)考）如圖，矩形 ABCD中， AE平分∠ BAD交 BC于 E，∠ CAE=15176。一模）如圖，正方形 ABCD中，點(diǎn) E、 F分別是 BC、 CD邊上的點(diǎn)，且∠ EAF=45176。河南洛陽CD 是直角三角形時(shí)， AP的長為 . C D A P B A′ A P B D C A′ E 圖 1 圖 2 A B C D A B C D E F ① ② A B CD E G M N ③ 答案： 2或 78 12.（ 2021（結(jié)果保留π） 答案： 8π3 22. （ 2021=45176。 ∴ AB=BM 在△ COM和△ BOM中 OC=OB ∠ COM=∠ BOM OM=OM ∴△ COM≌△ BOM（ SAS） ∴ CM=BM=AB ∴ AB∥ CM ∴ ABCD是菱形 6． (2021 ，可得 ∠ EBC為 60176。 39。BC BC? ， ∴ 39。連接 MC， NC， MN． （ 1）求證： BM?DN=36； （ 2）求∠ MCN的度數(shù)； 答案：（ 7分）（ 1）證明略（ 3分） （ 2） 135度 （ 4分） 14.（ 2021 ， 又 ∵∠ ECF=180176。. ∴ EF=EC+CF=EC+BE=BC=AD. ∴四邊形 AEFD為平行四邊形 . 在 Rt△ ABE中，根據(jù)勾股定理得： AE=2 2 2 2A B B E 3 4 5? ? ? ? ∵AD=5, ∴AD=AE. ∴ 四邊形 AEFD為菱形 . （ 2）連結(jié) DE、 AF. 求出 DE=10. 求出 AF=310. 18.（ 2021一 模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點(diǎn)（小 正方形的頂點(diǎn)）上，請?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)， AB、 BC為邊的兩個(gè)對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中，∠ PCB=90176。 ， ∴∠ CAO=∠ AOD=30176。廣東東莞 ， 在 Rt△ ADB和 Rt△ ACB中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB，∴ AD=BC， 又∵ AB是⊙ O的直徑，∴ AB≠ CD，∴四邊形 ABCD是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點(diǎn) D的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時(shí)點(diǎn) D在 D1的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn) D在 D D3的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點(diǎn) A分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設(shè) BE=x，∵ tan∠ PBC= ，∴ AE= ， 在 Rt△ ABE中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12，∴ CE=BC﹣ BE=6， 由 四 邊 形 AECF 為 矩 形 ， 可 得 AF=CE=6 ， CF=AE=12 ，在 Rt △ AFD2 中，∴ ， ， 綜上所述， CD的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 20.（ 2021一模） (本題 11分）如 圖，在正方形 ABCD中， AB=5， P是 BC邊上任意一點(diǎn)， E 是 BC 延長 線上一點(diǎn)，連接 AP，作 PF⊥ AP，使 PF＝ PA，連接 CF， AF， AF 交CD邊于點(diǎn) G，連接 PG． （ 1）求證：∠ GCF＝∠ FCE； （ 2）判斷線段 PG， PB與 DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論； （ 3）若 BP＝ 2，在直線 AB 上是否存在一點(diǎn) M，使四 邊形 DMPF是平行四邊形，若存在，求出 BM的 長度，若不存在，說明理由． 答案： （ 1）證明：過點(diǎn) F作 FH⊥ BE于點(diǎn) H， ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ ABC＝∠ PHF＝∠ DCB＝ 90186。 ﹣ 45176。中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測 4 月卷） 如圖，AB CDB 39。BC AD? ． 由旋轉(zhuǎn)，得 39。ABCD ，點(diǎn) C 的對應(yīng)點(diǎn) 39。 ， ∴∠ EBC=60176。一模）問題情境：如圖將邊長為 8cm的正方形紙片 ABCD折疊，使點(diǎn)B 恰好落在 AD 邊的中點(diǎn) F 處，折痕 EG分別交 AB、 CD于點(diǎn) E、 G， FN 與 DC 交于點(diǎn) M，連接BF交 EG于點(diǎn) P. 獨(dú)立思考： （ 1） AE=_______cm，△ FDM的周長為 _____cm （ 2）猜想 EG與 BF之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系， 并證明你的結(jié)論 . 拓展延伸： 如圖 2，若點(diǎn) F不是 AD的中點(diǎn)，且不與點(diǎn) A、 D重合： ①△ FDM的周長是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論 . ②判斷（ 2）中的結(jié)論是否仍然成立，若不成立請直 接寫出新的結(jié)論（不需證明） . 答案： 090M B OC D C M A B? ? ?? ? ?Q又 MCO= 　 　 且 CD （ 1） 3， 16 (2)EG⊥ BF, EG=BF 則 ∠ EGH+∠ GEB=90176。 ， ∴ GC=GC， ECG=∠ FCG， 在 △ ECG和 △ FCG中， ， ∴△ ECG≌△ FCG， ∴ EG