【正文】 矩形菱形與正方形 一、選擇題 1． (2021 浙江杭州蕭山區(qū) 模擬 )下列命題中，正確的是（ ） A．菱形的對角線相等 B．平行四邊形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形 C．正方形的對角線相等且互相垂直 D．矩形的對角線不能相等 【考點】 命題與定理． 【分析】 根據(jù)菱形的性質(zhì)對 A進行判斷；根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和軸對稱的定義對 B進行判斷；根據(jù)正方形的性質(zhì)對 C進行判斷；根據(jù)矩形的性質(zhì)對 D進行判斷． 【解答】 解： A、菱形的對角線相互垂直平分，所以 A選項錯誤； B、平行四邊形不是軸對稱圖形，只是中心對稱圖形，所以 B選項 錯誤； C、正方形的對角線相等且互相垂直，所以 C選正確； D、矩形的對角線相等，所以 D選項錯誤． 故選 C． 【點評】 本題考查了命題與定理：判斷一件事情的語句，叫做命題．許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項，一個命題可以寫成 “ 如果 ? 那么 ?” 形式．有些命題的正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理． 2. （ 2021紹興市浣紗初中等六校 5月聯(lián)考模擬） 如圖，矩形 ABCD， 點 E在 AD邊上，過點 E作 AB的平行線，交 BC于點 F，將矩形 ABFE繞著點 E逆時針旋轉(zhuǎn) 60176。，如 果點 F的對應(yīng)點 M落在邊 CD上，點 B的對應(yīng)點 N落在邊 BC上，則 BCAB （ ▲ ） A． 13? B． 325? C． 431? D． 332 3． （ 2021天津南開區(qū)二模） 如圖，在正方形 ABCD的外側(cè)，作等邊三角形 ADE， AC， BE相交于點 F，則 ∠ BFC為（ ） A． 45176。 B． 55176。 C． 60176。 D． 75176。 考點：正方形的性質(zhì)與判定 答案： C 試題解析： ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD， 又 ∵△ ADE是等邊三角形， ∴ AE=AD=DE， ∠ DAE=60176。 ， ∴ AB=AE， ∴∠ ABE=∠ AEB， ∠ BAE=90176。+60176。=150176。 ， ∴∠ ABE=（ 180176。 ﹣ 150176。 ） 247。2=15176。 ， 又 ∵∠ BAC=45176。 ， ∴∠ BFC=45176。+15176。=60176。 ．故選： C． MNED ABC F 4． （ 2021 天津五區(qū)縣 一模 ） 如圖，菱形 ABCD的對角線 AC、 BD相交于點 O， AC=8， BD=6，過點 O作 OH⊥ AB，垂足為 H，則點 O到邊 AB的距離 OH等于（ ） A． 2 B． C． D． 【考點】 菱形的性質(zhì)． 【分析】 因為菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出 OH 的長． 【解答】 解： ∵ 四邊形 ABCD是菱形， AC=8， BD=6， ∴ BO=3， AO=4， AO⊥ BO， ∴ AB= =5． ∵ OH⊥ AB， ∴ AO?BO=AB?OH， ∴ OH= ， 故選 D． 【點評】 本題考查菱形的基本性質(zhì)，菱形的對角線互相垂直平分，菱形的四邊相等，根據(jù)面積相等，可求出 AB邊上的高 OH． 答案： B 5． (2021山西大同 一模） 如圖，正方形 AEFG的邊 AE放置在正方形 ABCD的對角線 AC上， EF與 CD交于點 M，得四邊形 AEMD，且兩正方形的邊長均為 2，則兩正方形重合部分（陰影部 分）的面積為（ ） 4 4 2?? B． 4 2 4? C． 8 4 2? D． 21? 答案： A 6． (2021山西大同 一模）如圖：正方形 ABCD的對角線 BD長為 22。若直線 l滿足：①點 D到直線 l的距離為 3 ， ② A、 C兩點到直線 l的距離相等，則符合題意的直線 l的條數(shù)為（ ） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 答案： C 第 5題圖 7． (2021云南省曲靖市羅平縣二模 )如圖，四邊形 ABCD 是菱形， AC=8， DB=6， DH⊥ AB于 H，則 DH=（ ） A． B． C． 12 D． 24 【考點】 菱形的性質(zhì)． 【分析】 設(shè)對角線相交于點 O，根據(jù)菱形的 對角線互相垂直平分求出 AO、 BO，再利用勾股定理列式求出 AB，然后根據(jù)菱形的面積等對角線乘積的一半和底乘以高列出方程求解即可． 【解答】 解：如圖，設(shè)對角線相交于點 O， ∵ AC=8， DB=6， ∴ AO=AC= 8=4， BO=BD= 6=3， 由勾股定理的， AB= = =5， ∵ DH⊥ AB， ∴ S 菱形 ABCD=AB?DH=AC?BD， 即 5DH= 8 6， 解得 DH= ． 故選 A． 【點評】 本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理，主要利用了菱形的對角線互相垂直平分的性質(zhì)，難點 在于利用菱形的面積的兩種表示方法列出方程． 8． (2021山東棗莊模擬 )如圖，在半徑為 6cm的 ⊙ O中，點 A是劣弧 的中點，點 D是優(yōu)弧 上一點，且 ∠ D=30176。 ，下列四個結(jié)論： ① OA⊥ BC； ② BC=6 ； ③ sin∠ AOB= ； ④ 四邊形 ABOC是菱形． 其中正確結(jié)論的序號是（ ） A． ①③ B． ①②③④ C． ②③④ D． ①③④ 【考點】 垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【專題】 幾何圖形問題． 【分析】 分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對各選項進行逐一判斷即可． 【解答 】 解： ∵ 點 A是劣弧 的中點， OA過圓心， ∴ OA⊥ BC，故 ① 正確； ∵∠ D=30176。 ， ∴∠ ABC=∠ D=30176。 ， ∴∠ AOB=60176。 ， ∵ 點 A是劣弧 的中點， ∴ BC=2CE， ∵ OA=OB， ∴ OA=OB=AB=6cm， ∴ BE=AB?cos30176。 =6 =3 cm， ∴ BC=2BE=6 cm，故 ② 正確； ∵∠ AOB=60176。 ， ∴ sin∠ AOB=sin60176。 = ， 故 ③ 正確； ∵∠ AOB=60176。 ， ∴ AB=OB， ∵ 點 A是劣弧 的中點， ∴ AC=AB， ∴ AB=BO=OC=CA， ∴ 四邊形 ABOC是菱形， 故 ④ 正確． 故選： B． B A C D 第 9 題圖 【點評】 本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題． 9. (2021陜西師大附中模擬 )如圖，在菱形 ABCD中， AB = 5， ∠BCD = 120176。 ， 則對角線 AC 等于（ ） 20 B. 15 C. 10 D. 5 【答案】 D 10．（ 2021河南洛陽一模）如圖 4，正方形 ABCD的邊長為4，點 P、 Q分別是 CD、 AD的中點，動點 E從點 A向點 B運動，到點 B時停止運動；同時，動點 F 從點 P出發(fā)， 沿 P→ D→ Q運動，點 E、 F 的運動速度相同．設(shè)點 E的運動路程為 x，△ AEF的面積為 y，能大致刻畫 y與 x的函數(shù)關(guān)系的圖象是【 】 答案： B 11. （ 2021遼寧丹東七中一模） 下列說法 不正確 ． ． ． 的是（ ） A．一組鄰邊相等的矩形是正方形 B．對角線相等的菱形是正方形 C．對角線互相垂直的矩形是正方形 D．有一個角是直角的平行四邊形是正方形 答案： D 12.（ 2021河大附中一模）如圖，在 △ABC 中， AD平分∠ BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點 為圓心，以大于 21 AD 的長為半徑在 AD 兩側(cè)作 弧，交于兩點 M、 N。第二步，連接 MN分別交 AB、 AC于點 E、 F。第三步，連接 DE、 BE=8， ED =4， CD=3，則 BD的長是 ( ) A． 4 B． 6 C． 8 D． 12 第 12題 答案： B 13.（ 2021黑龍江大慶一模） 下列命題 ：①等腰三角形的角平分線平分對邊；②對角線垂直且相等的四邊形是正方形；③正六邊形的邊心距等于它的邊長；④過圓外一點作圓的兩條切線，其切線長相等．其中真命題有（ ）個． A． 1個 B． 2個 C． 3個 D． 4個 答案： A 14.（ 2021湖北襄陽一模） 如圖，已知菱形 ABCD的對角線 AC． BD的長分別為 6cm、 8cm，AE⊥ BC于點 E，則 AE的長是（ ） A． B． C． D． 第 14題 答案： D 15.（ 2021廣東東莞聯(lián)考）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為 a，則陰影部分的面積為（ ） A． 2a2 B． 3a2 C． 4a2 D． 5a2 【考點】 正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠ CAB=∠ CBA=45176。 ，進而得出 AC=BC= a，再利用正八邊形周圍四個三角形的特殊性得出陰影部分面積即可． 【解答】 解：∵某小區(qū)將原來正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長都為 a， ∴ AB=a，且∠ CAB=∠ CBA=45176。 ， ∴ sin45176。 = = = ， ∴ AC=BC= a， ∴ S△ ABC= a a= ， ∴正八邊形周圍是四個全等三角形，面積和為： 4=a2． 正八邊形中間是邊長為 a的正方形， ∴陰影部分的面積為： a2+a2=2a2， 故選： A． 【點評】 此題主要考查了正八邊形的性質(zhì)以及等腰直角三角形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出 S△ ABC的值是解題關(guān)鍵． 16.（ 2021廣東深圳一模）下列命題中是假命題的是（ ） A．一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形 B．一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形是矩形 C．一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．一組鄰邊相等的矩形是正方形 【考點】 正方形的判定；平行四邊形的判定；菱形的判定；矩形的判定． 【專題】 證明題． 【 分析】 做題時首先熟悉各種四邊形的判定方法，然后作答． 【解答】 解： A、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形（平行四邊形判定定理）；故 A不符合題意． B、一組對邊相等且有一個角是直角的四邊形，不一定是矩形，還可能是不規(guī)則四邊形，故B符合題意． C、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故 C不符合題意； D、一組鄰邊相等的矩形是正方形，故 D不符合題意． 故選： B． 【點評】 本題主要考查各種四邊形的判定，基礎(chǔ)題要細心． 17.（ 2021廣東深圳聯(lián)考）正方形 ABCD的一條對角線長為 8，則這個正方形的面積是 A． 24 B． 32 C． 64 D． 128 答案： B 18.（ 2021廣東深圳聯(lián)考）如圖，矩形 ABCD中， AE平分∠ BAD交 BC于 E，∠ CAE=15176。 ，則下列結(jié)論： △ ODC是等邊三角形； ② BC=2AB； ③ ∠ AOE=135176。 ； ④ S△ AO E=S△ COE， 其中正確的結(jié)論的個數(shù) 有 A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 答案 ： C 19.（ 2021 河南三門峽 二模） 如圖，小明在作線段 AB 的垂直平分線時，他是這樣操 作的： 分別以 A和 B為圓心，大于 AB21 的長為半徑畫弧，兩弧相交 于 C、 D兩點，直線 CD即為所求．根據(jù)他的作圖方法可知四邊形 ADBC一定是（ ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．無法確定 答案： B 20.（ 2021 河南三門峽 一 模） 菱形的邊長是 10，一條對角線長是 12， C B A D 則此菱形的另一條對角線是 ( ) A. 10 B. 24 C. 8 D. 16 答案： D 二、填空題 1． （ 2021 天津市和平區(qū) 一 模） 長為 1，寬為 a的矩形紙片（ ＜ a＜ 1），如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于矩形寬度的正方形（稱為第一次操作）；再把剩下的矩形如圖那樣折一下，剪下一個邊長等于此時矩形寬度的正方形（稱為第二次操作）；如