【正文】 如圖，已知菱形 ABCD的對(duì)角線 AC． BD的長分別為 6cm、 8cm，AE⊥ BC于點(diǎn) E，則 AE的長是（ ） A． B． C． D． 第 14題 答案： D 15.（ 2021 ， ∴ sin45176。廣東深圳 ，則下列結(jié)論： △ ODC是等邊三角形； ② BC=2AB； ③ ∠ AOE=135176。 河南三門峽 天津市南開區(qū) 浙江鎮(zhèn)江對(duì)角線 BD交 AE于點(diǎn) M，交 AF于點(diǎn) N．若 AB=4 ， BM=2，則 MN的長為 ． 【分析】 延長 BC到 G，使 BG=DF連接 AG，在 AG截取 AH=AN，連接 MH、 BH，證得 Rt△ ABG≌Rt△ ADF，△ AMN≌△ AMH，△ DFN≌△ BGH，△ AEF≌△ AEG，最后利用等量代換求得答案即可． 【解答】 解：如圖，延長 BC到 G，使 BG=DF連接 AG，在 AG截取 AH=AN，連接 MH、 BH． ∵四邊形 ABCD為正方形， ∴ AB=BC=CD=AD，∠ 4=∠ 5=45176。 =45176。 +45176。模擬 )如圖，點(diǎn) E在正方形 ABCD的邊 CD上．若 △ ABE的面積為 8， CE=3，則線段 BE的長為 5 ． 【考點(diǎn)】 正方形的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理． 【分析】 根據(jù)正方形性質(zhì)得出 AD=BC=CD=AB，根據(jù)面積求出 EM，得出 BC=4，根據(jù)勾股定理求出即可． 【解答】 解： 過 E作 EM⊥ AB于 M， ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ AD=BC=CD=AB， ∴ EM=AD， BM=CE， ∵△ ABE的面積為 8， ∴ AB EM=8， 解得： EM=4， 即 AD=DC=BC=AB=4， ∵ CE=3， 由勾股定理得： BE= = =5， 故答案為： 5． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了三角形面積，正方形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出 BC的長，難度適中． 6. （ 2021一模）如圖 6，在平面直角坐標(biāo)系中，直線 y= 3x+3與 x軸、 y軸分別交干 A、 B兩點(diǎn)，以 AB為邊在第一象限作正方形 ABCD，點(diǎn) D在雙曲線 y=xk (k≠ 0)上，將正方形沿 x軸負(fù)方向平移 a個(gè)單位長度后，點(diǎn) C恰好落在該雙曲線上，則 a的值是 . 答案： 2 8.（ 2021處，則 AP的長為 ． 答案： 32 或 94 附：詳解： ①點(diǎn) A落在矩形對(duì)角線 BD上，如圖 1，∵ AB=4， BC=3，∴ BD=5， 根據(jù)折疊的性質(zhì)， AD=A′ D=3， AP=A′ P，∠ A=∠ PA′ D=90176。遼寧丹東七中河大附中黑龍江齊齊哈爾廣東 2=10cm， ∵ CE∥ AO， FA BCDE第 13 題 ∴△ DCE∽△ DOA， ∴ ， 即 ， 解得 DC=20cm． 故答案為： 20． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查正方形各邊都相等，每個(gè)角都是直角的性質(zhì)和相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例的性質(zhì)，需要熟練掌握并靈活運(yùn)用． 16.（ 2021?廣東?一模）如圖，已知正方形 ABCD 的邊長為 2， E 是邊 BC 上的動(dòng)點(diǎn)， BF⊥ AE交 CD于點(diǎn) F，垂足為 G，連結(jié) CG．下列說法：① AG＞ GE；② AE=BF；③點(diǎn) G運(yùn)動(dòng)的路徑長為π；④ CG的最小值為 ﹣ 1．其中正確的說法是 ．（把你認(rèn)為正確的說法的序號(hào)都填上） 答案：②③ 17.（ 2021?廣東東莞?聯(lián)考）將 正方形與直角三角形紙片按如圖所示方式疊放在一起，已知正方形的邊長為 20cm，點(diǎn) O為正方形的中心， AB=5cm，則 CD的長為 20 cm． 答案： 20． 18.（ 2021?廣東河源?一模）如圖，矩形 ABCD的對(duì)角線 AC， BD相交于點(diǎn) O， CE∥ BD， DE∥ AC，若 AC = 4 cm，則四邊形 CODE的周長為 。 答案： 8 cm 21.（ 2021廣東深圳浙江鎮(zhèn)江 AD=AB， ∵ AF=DE， 在△ DAE與△ ABF中， ， ∴△ DAE≌△ ABF（ SAS）， ∴∠ ADE=∠ BAF， ∵∠ DAG+∠ BAF=90176。二模） 如圖 1，在正方形 ABCD中， E是 AB上一點(diǎn)， F是 AD延長線上一點(diǎn)，且 DF= :CE=CF. (1)在圖 1中，若 G 在 AD 上，且 ∠ GCE= GE， BE， GD三線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論 . (2)運(yùn)用 (1)中解答所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下面兩題： ① 如圖 2，在四邊形 ABCD中 ∠ B=∠ D=900， BC=CD，點(diǎn) E，點(diǎn) G分別是 AB邊， AD邊上的動(dòng)點(diǎn) .若 ∠ BCD=α ， ∠ ECG=β ，試探索當(dāng) α 和 β 滿足什么關(guān)系時(shí)，圖 1中 GE， BE， GD三線段之間的關(guān)系仍然成立，并說明理由 . ② 在平面直角坐標(biāo)中，邊長為 1的正方形 OABC的兩頂點(diǎn) A， C分別在 y軸、 x軸的正半軸上，點(diǎn) O在原點(diǎn)．現(xiàn)將正方形 OABC繞 O點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng) A點(diǎn)第一次落在直線 y=x上時(shí)停止旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中， AB邊交直線 y=x于點(diǎn) M， BC邊交 x軸于點(diǎn) N(如圖 3).設(shè) △ MBN的周長為 p，在旋轉(zhuǎn)正方 形 OABC 的過程 中， p 值是否有變化？若不變，請(qǐng)直接寫出結(jié)論． 考點(diǎn)：四邊形綜合題 答案：見解析 試題解析：（ 1） ∵ 在 △ EBC和 △ FDC中， ∴△ EBC≌△ FDC， ∴∠ DCF=∠ BCE， ∵∠ GCE=45176。 ，即 ∠ DCG+∠ DCF=45176。 ﹣ ∠ AOM=45176。= ∠ OCN． 在 △ OAE和 △ OCN中， ． ∴△ OAE≌△ OCN（ ASA）． ∴ OE=ON， AE=CN． 在 △ OME和 △ OMN中 ． ∴△ OME≌△ OMN（ SAS）． ∴ MN=ME=AM+AE． ∴ MN=AM+CN， ∴ P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=2． ∴ 在旋轉(zhuǎn)正方形 OABC的過程中， P值無變化． (2021 設(shè) AO為 x，則 OE=12 x ∴ x=4 ∴弧 AB長 l= （ 2）由（ 1）∠ OAB=∠ OBA=30176。山西大同 ∴∠ DFM+∠ AFE=90176。云南省曲靖市羅平縣云南省 ，即可得 △ BEC是等邊三角形，求得 BE=BC=CE=6，再過點(diǎn) E作 EG⊥ BC于點(diǎn) G，求的高 EG的長，即可求得答案． 【解答】 （ 1）證明： ∵ D、 E分別是 AB、 AC的中點(diǎn)， ∴ DE∥ BC且 2DE=BC， 又 ∵ BE=2DE， EF=BE， ∴ EF=BC， EF∥ BC， ∴ 四邊形 BCFE是平行四邊形， 又 ∵ BE=EF， ∴ 四邊形 BCFE是菱形； （ 2）解： ∵∠ BEF=120176。云南省山東棗莊 一模） （ 7分）如圖，在 ABC△ 中， AD 平分 BAC? ， 過點(diǎn) D 分別作 DE AC∥ 、 DF AB∥ ，分別交 ACAB、 于點(diǎn) FE、 ． 求證：四邊形 AEDF 是菱形． 答案：證明：∵ DE AC∥ 、 DF AB∥ ， ∴四邊形 AEDF 是平行四邊形． ∵ AD 平分 BAC? ， ∴ BAD CAD? ?? ． ∵ DE AC∥ ， ∴ ADE CAD? ?? ． FED CBA（第 11 題） ∴ ADE EAD? ?? ． ∴ AE DE? ． ∴平行四邊形 AEDF 是菱形． 12.（ 2021 39。CD于點(diǎn) E ． （ 1）求證： 39。DCBA 答案：解：（ 1） 連結(jié) AC、 39。AC AC? ， ∴ 39。39。BC AD? ． ∵ 39。CBE? ． ∴ 39。 90D???， 由勾股定理，得 22(2 ) 1xx? ? ? ． 解得 54x? ． ∴ 54AE? ． 13.（ 2021上海市閘北區(qū)E（第 12 題） 矩形 OMPN的頂點(diǎn) O在原點(diǎn)， M、 N分別在 x軸和y軸的正半軸上， OM=6， ON=3，反比例函數(shù)xy 6?的圖像與 PN交于 C，與 PM交于 D，過點(diǎn) C作 CA⊥ x軸于點(diǎn) A，過點(diǎn) D作 DB⊥y軸于點(diǎn) B， AC與 BD交于點(diǎn) G． （ 1）求證： AB//CD ； （ 2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)是否若存在點(diǎn) E，使以 B、 C、 D、 E為頂點(diǎn)， BC為腰的梯形是等腰梯形？若存在，求點(diǎn) E的坐標(biāo)；若不存在請(qǐng)說明理由． 答案： 解：∵矩形 OMPN ， OM＝ 6， ON＝ 3 ∴點(diǎn) P（ 6， 3） ∵點(diǎn) C、 D都在反比例函數(shù)6y x=圖像上， 且點(diǎn) C在 PN上，點(diǎn) D在 PM上， ∴點(diǎn) C（ 2， 3），點(diǎn) D（ 6， 1） 又 DB⊥ y軸， CA⊥ x軸， ∴ A（ 2， 0）， B（ 0， 1） ∵ BG＝ 2， GD＝ 4， CG＝ 2， AG＝ 1 ∴12AGGC=， 2142BGGD== ∴=AG BGGC GD ∴ AB∥ CD． （第 14 題圖） G O y A x B C D N P M 又解：求直線 CD的解析式為1 42yx= +，直線 AB 的解析式為1 12= +． 因?yàn)閮芍本€的斜率相等，在 y軸上的截距不等，所以兩直線平行．（酌情給分） （ 2）①∵ PN∥ DB ∴當(dāng) DE1＝ BC時(shí)，四邊形 BCE1D是等腰梯形 此時(shí) Rt△ CNB≌△ Rt△ E1PD， ∴ PE1＝ CN＝ 2， ∴點(diǎn) E1（ 4， 3） ②∵ CD∥ AB， 當(dāng) E2在直線 AB上， DE2＝ BC＝ 22， 四邊形 BCDE2為等腰梯形， 直線 AB的解析式為1 12yx= + （第 14題圖） O y A x B C D N P M G ∴設(shè)點(diǎn) E2（ x，1 12x+） DE2=BC=2， ∴8)21()6( 22 ??? xx 5281?x，42?x（舍去） ∴ E2（528，59?）； 15.（ 2021 ，即可得到 ∠ AEB+∠ FEG=90176。 ， 又 ∵ 直角 △ ABE中， ∠ BAE+∠ AEB=90176。 ﹣ ∠ FCG=180176。 ， ∴∠ AME=135176。 ， ∠ AEB+∠ CEF=90176。 ，又∵ E為 AB中點(diǎn)， ∴ CE=21AB=AE，同理 AF=FC，∴ AF=FC=CE=EA，∴四邊形 AECF為菱形 ． 17.（ 2021湖北襄陽 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而∠ FHC＝ 90186。＝ 45186。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點(diǎn) A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符合條件的點(diǎn) D，使四邊形 ABCD為對(duì)等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1所示（畫 2個(gè)即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑 ，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。廣東東莞 =60176。 ， ∴∠ AOD=90176。 ， ∴ AC∥ OD，而 AC=OD， ∴四邊形 ADOC為平行四邊形，而 OC=OD， ∴四邊形 ODAC是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的判定、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、直角三角形的 判定、菱形的判定等幾何知識(shí)點(diǎn)，并能靈活運(yùn)用． 22.（ 2021一 模） 已知一張矩形紙片 OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn) A（ 11， 0）， B（ 0， 6），點(diǎn) P為 BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) P不與點(diǎn) B， C重合），經(jīng)過點(diǎn) O、 P折疊該紙片，得點(diǎn) B′和折痕OP．設(shè) BP＝ t 。 OB = 6， 在