【正文】 方形的邊長(zhǎng)為 1﹣ a，剩下的矩形相鄰的兩邊分別為 1﹣ a， a﹣（ 1﹣ a） =2a﹣ 1．由于（ 1﹣ a）﹣（ 2a﹣ 1） =2﹣ 3a，所以（ 1﹣ a）與（ 2a﹣ 1）的大小關(guān)系不能確定，需要分情況進(jìn)行討論．又因?yàn)榭梢赃M(jìn)行三次操作，故分兩種情況： ①1 ﹣ a＞ 2a﹣ 1； ②1 ﹣ a＜ 2a﹣ 1．對(duì)于每一種情況，分別求出操作后剩下的矩形的兩邊，根據(jù)剩下的矩形為 正方形，列出方程，求出 a的值． 【解答】 解：由題意，可知當(dāng) ＜ a＜ 1時(shí)，第一次操作后剩下的矩形的長(zhǎng)為 a，寬為 1﹣ a，所以第二次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為 1﹣ a，第二次操作以后剩下的矩形的兩邊分別為 1﹣ a，2a﹣ 1． 故答案為： 1﹣ a； 此時(shí)，分兩種情況： ① 如果 1﹣ a＞ 2a﹣ 1，即 a＜ ，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為 2a﹣ 1． ∵ 經(jīng)過(guò)第三次操作后所得的矩形是正方形， ∴ 矩形的寬等于 1﹣ a， 即 2a﹣ 1=（ 1﹣ a）﹣（ 2a﹣ 1），解得 a= ； （第 1 題） PEDABC ② 如果 1﹣ a＜ 2a﹣ 1，即 a＞ ，那么第三次操作時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為 1﹣ a． 則 1﹣ a=（ 2a﹣ 1）﹣（ 1﹣ a），解得 a= ． 故答案為： 或 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分兩種情況： ①1 ﹣ a＞ 2a﹣ 1； ②1﹣ a＜ 2a﹣ 1．分別求出操作后剩下的矩形的兩邊． 2． （ 2021聯(lián)考）如圖，矩形 ABCD中， AE平分∠ BAD交 BC于 E，∠ CAE=15176。 ，進(jìn)而得出 AC=BC= a，再利用正八邊形周圍四個(gè)三角形的特殊性得出陰影部分面積即可． 【解答】 解：∵某小區(qū)將原來(lái)正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為 a， ∴ AB=a，且∠ CAB=∠ CBA=45176。第二步，連接 MN分別交 AB、 AC于點(diǎn) E、 F。模擬 )如圖，在菱形 ABCD中， AB = 5， ∠BCD = 120176。 ， ∴∠ ABC=∠ D=30176。山西大同 ， ∴∠ BFC=45176。 ， ∴ AB=AE， ∴∠ ABE=∠ AEB， ∠ BAE=90176。 5月聯(lián)考模擬） 如圖，矩形 ABCD， 點(diǎn) E在 AD邊上，過(guò)點(diǎn) E作 AB的平行線，交 BC于點(diǎn) F，將矩形 ABFE繞著點(diǎn) E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。紹興市浣紗初中等六校 考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)與判定 答案： C 試題解析： ∵ 四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD， 又 ∵△ ADE是等邊三角形， ∴ AE=AD=DE， ∠ DAE=60176。 ， 又 ∵∠ BAC=45176。一模） 如圖，正方形 AEFG的邊 AE放置在正方形 ABCD的對(duì)角線 AC上， EF與 CD交于點(diǎn) M，得四邊形 AEMD，且兩正方形的邊長(zhǎng)均為 2，則兩正方形重合部分（陰影部 分）的面積為（ ） 4 4 2?? B． 4 2 4? C． 8 4 2? D． 21? 答案： A 6． (2021 ，下列四個(gè)結(jié)論： ① OA⊥ BC； ② BC=6 ； ③ sin∠ AOB= ； ④ 四邊形 ABOC是菱形． 其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ） A． ①③ B． ①②③④ C． ②③④ D． ①③④ 【考點(diǎn)】 垂徑定理；菱形的判定；圓周角定理；解直角三角形． 【專題】 幾何圖形問題． 【分析】 分別根據(jù)垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數(shù)的定義對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可． 【解答 】 解： ∵ 點(diǎn) A是劣弧 的中點(diǎn)， OA過(guò)圓心， ∴ OA⊥ BC，故 ① 正確； ∵∠ D=30176。陜西師大附中一模）如圖，在 △ABC 中， AD平分∠ BAC，按如下步驟作圖：第一步，分別以點(diǎn) 為圓心，以大于 21 AD 的長(zhǎng)為半徑在 AD 兩側(cè)作 弧，交于兩點(diǎn) M、 N。聯(lián)考）為增加綠化面積，某小區(qū)將原來(lái)正方形地磚更換為如圖所示的正八邊形植草磚，更換后，圖中陰影部分為植草區(qū)域，設(shè)正八邊形與其內(nèi)部小正方形的邊長(zhǎng)都為 a，則陰影部分的面積為（ ） A． 2a2 B． 3a2 C． 4a2 D． 5a2 【考點(diǎn)】 正多邊形和圓；等腰直角三角形；正方形的性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出∠ CAB=∠ CBA=45176。廣東深圳 天津市和平區(qū) 重慶巴南 DN=BH， ∴∠ MBH=∠ ABH+∠ 5=∠ ANG﹣∠ 6+∠ 5=90176。九年級(jí)下學(xué)期期初考試）如圖，在△ ABC 中， AH⊥ BC于 H，正 方形 DEFG內(nèi)接于△ ABC，點(diǎn) D、 E分別在邊 AB、 AC上，點(diǎn) G、 F在邊 BC上．如果 BC=20，正方形 DEFG的面積為 25，那么 AH的長(zhǎng)是 ． 答案： 7．（ 2021遼寧丹東七中處，當(dāng) △A39。廣東東莞一模） 如圖，三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為 1，則圖中陰影部分面積的和是 __________。 時(shí)，四邊形 AECF是菱形 . （ 1） 證明：在 □ ABCD中， AD=BC， AB=CD， ∠ B=∠ D， ∵ E、 F分別是 □ ABCD的邊 BC、 AD 上的中點(diǎn) , ∴ BE= 2BC， DF= 21AD，則 BE= DF. 在△ ABE和△ CDF中， BE= DF， ∠ B=∠ D， AB=CD， 則△ ABE≌△ CDF； （ 2） 當(dāng)∠ BAC= 90 176。 ﹣ 45176。 ﹣ 90176。∠ AMB=30176。 ∴∠ DFM+∠ DMF=90176。 ，求菱形 BCFE的面積． 【考點(diǎn)】 菱形的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）從所給的條件可知， DE 是 △ ABC 中位線，所以 DE∥ BC 且 2DE=BC， 所以 BC 和EF平行且相等，所以四邊形 BCFE是平行四邊形，又因?yàn)?BE=FE，所以是菱形； （ 2）由 ∠ BEF是 120176。 ， AB=CD， AD=BC，由中點(diǎn)的定義得出 BF=DE，由 SAS證明 △ ABF≌△ CDE即可． 【解答】 證明： ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴∠ B=∠ D=90176。一模） （ 9分）如圖，將矩形 ABCD 繞點(diǎn) A 順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形 39。C 39。 9 0AD BC D ABC? ? ? ? ? ?． ∵ 39。AED C BE? ? ? ， ∴ 39。一模）（ 7分）已知：如圖，正方形 ABCD 的邊長(zhǎng)為 6， BM， DN 分別平分正方形的兩個(gè)外角，且滿足∠ MAN=45176。一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊 BC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作 EF⊥ AE，過(guò)點(diǎn) F作 FG⊥ BC交 BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn) G．． （ 1）求證： ∠ BAE=∠ FEG． （ 2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖 2，四邊形 ABCD是正方形，點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn)． ∠ AEF=90176。 ， ∴∠ AME=135176。 ， ∴∠ ECF=135176。一模）如圖，矩形 ABCD 中， AD=5， AB=3，在 BC 邊上取一點(diǎn)E，使 BE=4，連結(jié) AE，沿 AE剪下△ ABE，將它平移至△ DCF的位置，拼成四邊形 AEFD． （ 1）求證 :四邊形 AEFD是菱形； （ 2）求四邊形 AEFD的兩條對(duì)角線的長(zhǎng) . 答案： （ 1）證明：∵△ ABE平移至△ DCF的位置 . ∴△ ABE≌△ DCF. ∴ BE=CF ∵四邊形 ABCD為矩形 . ∴ AD∥ BC， AD=BC，∠ B=90176。 ∴∠ DCF＝ 90186。廣東 ，∠ OCD=90176。 =30176。時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 再次折疊紙片，使點(diǎn) C 落在直線 PB′上，得點(diǎn) C′和折痕 PQ，若AQ＝ m，試用含有 t的式子表示 m； （ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)點(diǎn) C′恰好落在邊 OA上時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)。聯(lián)考）如圖 1，將菱形紙片 AB（ E） CD（ F）沿對(duì)角線 BD（ EF）剪開，得 到 △ ABD 和△ ECF ， 固 定 △ ABD ，并把△ ABD 與△ ECF 疊 放 在 一起． （ 1）操作：如圖 2，將△ ECF 的頂點(diǎn) F 固定在△ ABD 的 BD 邊上的中點(diǎn)處，△ ECF繞點(diǎn) F 在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí) FC交 BA于點(diǎn) H（ H點(diǎn)不與 B點(diǎn)重合）， FE交 DA于點(diǎn) G（ G點(diǎn) 不與 D點(diǎn)重合）． 求證： BH?GD=BF2 （ 2）操作：如圖 3，△ ECF的頂點(diǎn) F在△ ABD 的 BD邊上滑動(dòng)（ F 點(diǎn)不與 B、 D點(diǎn)重合），且CF始終經(jīng)過(guò)點(diǎn) A，過(guò)點(diǎn) A作 AG∥ CE，交 FE于點(diǎn) G，連接 DG． 探究： FD+DG= DB ．請(qǐng)予證明． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）根據(jù)菱形的性質(zhì)以及相似三角形的判定得出△ BFH∽△ DGF，即可得出答案； （ 2）利用已知以及平行線的性質(zhì)證明△ ABF≌△ ADG，即可得出 FD+DG的關(guān)系． 【解答】 證明：（ 1）∵將菱形紙片 AB（ E） CD（ F）沿對(duì)角線 BD（ EF）剪開， ∴∠ B=∠ D， ∵將△ ECF的頂點(diǎn) F固定 在△ ABD的 BD邊上的中點(diǎn)處，△ ECF繞點(diǎn) F在 BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)， ∴ BF=DF， ∵∠ HFG=∠ B， 又∵∠ HFD=∠ HFG+∠ GFD=∠ B+∠ BHF ∴∠ GFD=∠ BHF， ∴△ BFH∽△ DGF， ∴ ， ∴ BH?GD=BF2； （ 2 ）∵ AG ∥ CE ， ∴∠ FAG=∠ C， ∵∠ CFE=∠ CEF， ∴∠ AGF=∠ CFE， ∴ AF=AG， ∵∠ BAD=∠ C， ∴∠ BAF=∠ DAG， 又∵ AB=AD， ∴△ ABF≌△ ADG， ∴ FB=DG， ∴ FD+DG=BD， 故答案為： BD． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了相似 三角形的判定以及全等三角形的判定，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出∠ BAF=∠ DAG是解決問題的關(guān)鍵． 23.（ 2021 ． （ 2）∵ OD=BD， ∴∠ DOB=∠ B=30176。廣東東莞 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。,AB＝ BC， ∴∠ BAP＋∠ APB＝ 90186。黑龍江大慶 =135176。 ，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得； （ 2）作 AB的中點(diǎn) M，連接 ME，根據(jù) ASA即可證明 △ AME≌△ ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得； （ 3）在 AB上取一點(diǎn) M，使 AM=EC，連接 ME，同（ 2）根據(jù) ASA即可 證明 △ AME≌△ ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得． 【解答】 解：（ 1） ∵∠ AEF=90176。C 39。2D E x?? ． 在 Rt 39。AD AD? ， ∴ 39。即 39。C 恰好落在 CB 的延長(zhǎng)線上，邊 AB 交邊 39。 ， 在 Rt△ ABD和 Rt△ ACD中， ， ∴ Rt△ ABD≌ Rt△ ACD， ∴∠ BAD=∠ CAD， ∵ AB=AC， ∴ BE=CE； （ 2）四邊形 BFCD是菱形． 證明： ∵ AD是直徑， AB=AC， ∴ AD⊥ BC， BE=CE， ∵ CF∥ BD， ∴∠ FCE=∠ DBE， 在 △ BED和 △ CEF中 ， ∴△ BED≌△ CEF， ∴ CF=BD， ∴ 四邊形 BFCD是平行四邊形， ∵∠ BAD=∠ CAD， ∴ BD=CD， ∴ 四邊形 BFCD是菱形； （ 3）解： ∵ AD是直徑， AD⊥ BC， BE=CE， ∴ CE2=DE?AE， 設(shè) DE=x， ∵ BC=8， AD=10， ∴ 42=x（ 10﹣ x）， 解得： x=2或 x=8（舍去） 在 Rt△ CED中， CD= = =2 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了圓的有關(guān)性質(zhì)：垂徑定理、圓周角定理，三角形全等的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定與性質(zhì)，熟悉圓的有關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵． （ 2021 ， ∴△ EBC是等邊三角形， ∴ BE=BC=CE=6， 過(guò)點(diǎn) E作 EG⊥ BC于點(diǎn) G， ∴ EG=BE?sin60176。 ，根據(jù)矩形的判定推出即可． 【解答】 （ 1）證明： ∵ CE∥ BF， ∴∠ CED=∠ BFD， ∵ D是 BC邊的中點(diǎn)， ∴ BD=DC， 在 △ BDF和 △ CDE中 ， ∴△ BDF≌△ CDE（ AAS）； （ 2）四邊形 BFCE是矩形，