20xx年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試考前適應(yīng)性試題一數(shù)學(xué)理word版含解析(存儲(chǔ)版)
【正文】 ???，所以 2 3 1 0c o s 1 s in10??? ? ?，所以 sin 1tancos 3?? ???． 故直線 PE 與平面 PCD 所成角的正切值為 13． 20．（ 12 分）如圖，橢圓 ? ?22: 1 0xyC a bab? ? ? ?經(jīng)過(guò)點(diǎn) 4133M??????，且點(diǎn) M 到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為 22． （ l）求橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程； （ 2）若 R ， S 是橢圓 C 上的兩個(gè)點(diǎn)，線段 RS 的中垂線 l 的斜率為 12且直線 l 與 RS 交于點(diǎn) P ，O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證： P ， O ， M 三點(diǎn)共線． 【答案】 （ 1） 2 2 12x y??；（ 2）見解析． 【解析】 （ 1）因?yàn)辄c(diǎn) M 到橢圓的兩焦點(diǎn)的距離之和為 22， 所以 2 2 2a? ，解得 2a? ． 又橢圓 C 經(jīng)過(guò)點(diǎn) 4133M??????，所以222241331ab? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???． 所以 2 1b? ．所以橢圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 2 2 12x y??． （ 2）因?yàn)榫€段 RS 的中垂線 l 的斜率為 12， 所以直線 RS 的斜率為 2? ．所以可設(shè)直線 RS 的方程為 2y x m?? ? ． 據(jù)2 2212y x mx y?? ???? ????得 229 8 2 2 0x mx m? ? ? ?， 設(shè)點(diǎn) ? ?11Rx y， ， ? ?22S x y， ， ? ?00P x y， ， 所以1289mxx??， ? ?1 2 1 2 1 2 822 2 2 2 2 299mmy y x m x m x x m m? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以 120 429xx mx ???， 120 29yy my ???， 因?yàn)?014yx? ，所以 0014yx? ， 所以點(diǎn) P 在直線 14yx?上， 又點(diǎn) ? ?00O， ， 4133M??????，也在直線 14yx?上， 所以 P ， O ， M 三點(diǎn)共線． 21．（ 12 分）已知函數(shù) ? ? ? ? ? ?2e 1 1xf x k x k? ? ? ? ? R． （ 1）若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?0??， 上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù) k 的最小值； （ 2）若函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?01， 上無(wú)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍． 【答案】 （ 1）實(shí)數(shù) k 的最小值是 1? ；（ 2） ? ? ?22 e 1??? ? ? ? ??， ，． 【解析】 （ 1）函數(shù) ? ? ? ? ? ?2e 1 1xf x k x k? ? ? ? ? R的定義域?yàn)?R ， ? ? 22e 1xf x k? ? ? ?． 討論：當(dāng) 1k? 時(shí)， ? ? 0fx? ? ， 此時(shí)函數(shù) ??fx在 R 上單調(diào)遞增，滿足題設(shè)； 當(dāng) 1k? 時(shí)，令 22e 1 0x k? ? ? ，得 11ln22kx ?? ；令 ? ?22e 1 0x k? ? ? ，得 11ln22kx ?? ， 所以此時(shí)函數(shù) ??fx在區(qū)間 11ln22k?????????，上單調(diào)遞減，在區(qū)間 11ln22k?????????，上單調(diào)遞增． 又函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?0??， 上單調(diào)遞增，所以 11ln 022k? ? ，解得 11k? ?? ． 綜上，實(shí)數(shù) k 的最小值是 1? ． （ 2）由 ? ? ? ?2e 1 1 0xf x k x? ? ? ? ?，得 ? ?2e 1 1x kx? ? ? ． 設(shè) ? ? 2e xgx? ， ? ? ? ?11h x k x? ? ?，則 “ 函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?01， 上無(wú)零點(diǎn) ” 等價(jià)于 “ 函數(shù) ? ? 2e xgx?與函數(shù) ? ? ? ?11h x k x? ? ?的圖象在 ? ?01， 上沒有公共點(diǎn) ” ． 討論： 當(dāng) 1k? 時(shí)， ? ? ? ?11h x k x? ? ?在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù)，函數(shù) ? ? 2e xgx? 在 R 上也是單調(diào)遞增函數(shù)． 作出函數(shù) ? ? ? ?11h x k x? ? ?與函數(shù) ? ? 2e xgx? 滿足題意的草圖（草圖可能有兩種情況）如下： （ ⅰ ）如圖 1， ? ? ? ?11gh? ，即 ? ?2e 1 1 1k? ? ? ? ，解得 22ek?? ； （ ⅱ ）如圖 2， ? ? 1g x k? ?? 對(duì)任意 ? ?01x?， 恒成立． 又當(dāng) ? ?01x?， 時(shí)， ? ?22e min 2x ? ，所以 12k?? ，解得 1k?? ． 又 1k? ，得 11k? ? ? ．綜上， 22ek?? 或 11k? ? ? ； 當(dāng) 1k? 時(shí)，符合題意； 當(dāng) 1k? 時(shí)， ? ? ? ?11h x k x? ? ?在 R 上是單調(diào)遞減函數(shù)， ? ? 2e xgx? 在 R 上是單調(diào)遞增函數(shù)． 作出函數(shù) ? ? ? ?11h x k x? ? ?與函數(shù) ? ? 2e xgx? 的草圖如下： 觀察圖象可知， 1k? 符合題意． 綜上，所求實(shí)數(shù) k 的取值范圍是 ? ? ?22 e 1??? ? ? ? ??， ，． 請(qǐng)考生在 2 23 題中任選一題作答 ,如果多做 ,則按所做的第一題計(jì)分。 回答第Ⅱ卷時(shí)，將答案填寫在答題卡上，寫在試卷上無(wú)效。寫在試卷上無(wú)效。 13．已知向量 a 與 b 的夾角為 60? ， 2?a ， 3?b ，則 32??ab__________． 【答案】 6 【解析】 2?a ， 3?b ， a 與 b 的夾角為 60? ， 1c o s 6 0 2 3 32?? ? ? ? ? ? ? ? ?a b a b， 又 2 223 2 9 12 4 36 12 3 3
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