【正文】 AR(2) AR (2) MA (1) 實根 MA (2)實根 MA (2) 復根 12. 5 偏自相關函數(shù) （ 不講 理論，只分析特征 ） 偏 自相關函數(shù) 是識別 A R I MA 模型結構的重要手段。 ? 是位移項 （亦稱漂移項） 。 12. 6 時間序列模型的建立與預測 1 ． 對于經濟時間序列，差分次數(shù) d通常取 0 ， 1 或 2 。 3 ． 診斷與檢驗 包括被估參數(shù)的顯著性檢驗和殘差的隨機性檢驗。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 若 ?1 0 ， 交替式指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 AR M A （ 2 ， 2 ） xt= ?1xt 1+ ?2xt 2+ ut + ?1ut 1+ ?2ut 2 k = 1 , 2 有兩個峰值 然后按指數(shù) 或正弦 衰減。 時間序列模型 的建立與預測 （第 3版 309頁） 4 . 時間序列模型預測 以 A R M A ( 1, 1) 模型為例 介紹預測方法。 1 949 ? 2 000 年 51 年間平均每年增加人口 14 23 . 06 萬人，年平均增長率為 1 ‰ 。 （ 2 ） Q 檢驗通過。 其 含義是 51 年間平均 年增加人口數(shù) 是 1 42 8. 6 2 萬 人 。 以 輸出結果 Dyt = 0. 0547 + Dyt 1 + ut為例，一般化為 Dyt = ? + ?1Dyt 1 + ut (1 ?1L ) Dyt = ? + ut 上式 同除差分算子， 可寫為 ， （ 因為 S = ( 1 – L ) 1 = D 1， 表示 無限 累加 ） (1 ?1L ) yt = D 1? + D 1ut = S ? + S ut = ? t +??tiiu1 (1 ?1L ) yt 1 = ? ( t 1) +???10tiiu 上 兩 式 相減， (1 ?1L ) Dyt = ? + ut。 （ 1 ）在打開工作文件的基礎上，從 E V i e w s 主菜單中點擊 Q ui ck 鍵，選擇 E st i m at e Eq u at i on 功能。 1 2 . 6 81 2 . 7 21 2 . 7 61 2 . 8 01 2 . 8 41 2 . 8 81 2 . 9 22 0 0 1YF ? 2 S . E .F o r e c a s t : Y FA c t u a l : YF o r e c a s t s a m p l e : 2 0 0 1 2 0 0 1In c l u d e d o b s e r v a t i o n s : 1Ro o t M e a n S q u a re d E r ro r 0 . 0 2 5 3 5 8M e a n A b s o lu t e E r ro r 0 . 0 2 5 3 5 8M e a n A b s . P e r c e n t E r ro r 0 . 1 9 8 6 8 5 EViews 7 案例 2 中國糧食產量序列（ yt）的 MA 模型 通過這個例子分析怎樣建立 MA 模型。以產量發(fā)生回落計， 中國糧食產量序列 含有 個周期。估計結果見表 1 。 盡管自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)都在正負兩個標準差之內，但是 Q ( 10) 對應的 p 值只有 0. 01 。 （ 2 ）第二個特征是 存在周期性變化 。 （ 4 ）點擊結果窗口中的 F or cas t 鍵， 在隨后彈出的對話框中做出適當選擇，就可以得到 yt和 D yt的動態(tài) 、 靜態(tài) ，結構、非結構 預測值。預測 相對 誤差為 ? =7 6 2 7 6 2 8 8 ?= 0. 00 2 2023 ? 20 06 年的平均預測相對誤差也是 0. 2% 。 對上式兩側求期望， E( D yt) =61 05 ?= 0. 142 9 。 所以模型的隨機誤差序列 滿足 非自相關的要求 。估計結果見 下 表 ： 表 1 中國人口差分序列的 5 個 AR I MA 模型估計結果 D(y ) AR M A(1 , 1 ) AR (1 ) AR (2 ) M A( 1 ) M A( 2 ) ? 0 . 1 4 2 6 ( 1 0 . 1 ) 0 . 1 4 2 9 ( 8 . 7 ) 0 . 1 4 3 4 ( 1 0 . 4 ) 0 . 1 4 1 9 ( 1 4 . 1 ) 0 . 1 4 2 1 ( 1 1 . 6 ) AR (1 ) 0 . 4 0 0 7 ( 2 . 0 ) 0 . 6 1 7 1 ( 5 . 4 ) 0 . 7 3 4 8 ( 5 . 1 ) ? ? ? ? AR (2 ) ? ? ? ? 0 . 1 9 6 1 ( 1 . 4 ) ? ? ? ? M A( 1 ) 0 . 3 6 8 1 ( 1 . 8 ) ? ? ? ? 0 . 6 1 5 1 ( 5 . 5 ) 0 . 7 7 2 8 ( 5 . 6 ) M A( 2 ) ? ? ? ? ? ? ? ? 0 . 2 3 9 8 ( 1 . 7 ) R2 0 . 4 0 9 9 0 . 3 7 9 3 0 . 3 9 9 1 0 . 3 7 0 . 4 1 Q (1 5 ) 5 . 7 (0 . 9 6 ) 6 . 6 (0 . 9 5 ) 6 . 7 (0 . 9 2 ) 1 3 . 9 ( 0 . 4 6 ) 6 . 9 9 ( 0 . 9 0 ) 1 9 5 0 2 0 0 0 51 51 51 51 51 表 1 中第 2 個估計結果是最好的 。 （第 3版 309頁） 12. 6 時間序列模型的建立與預測 4 . 時間序列模型預測 若上面所用的 xt 是 yt的 差分變量， D yt = xt，則 yt = yt 1 + D yt 原序列 T +1 期預測值應按下式計 算 111 ??? ???? ???? TTTTT xyDyyy 對于 t T +1 ，預測式是 , . . .3,2,?? 1 ??????? TTtDyyy ttt 其中1? ?ty是相應上一步的預測結果。 用殘差序列計算 Q 統(tǒng)計量 。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 時間序列模型 的建立與預測 12. 6 時間序列模型的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數(shù)和 偏自相關函數(shù) AR M A （ 1 ， 1 ） xt = ?1xt 1 + ut + ?1ut 1 k =1 有峰值 然后按指數(shù)衰減。 1. 0 0. 50 . 00 . 51 . 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 12. 6 時間序列模型的建立與預測 表 1 AR MA 過程的自相關函數(shù)和 偏自相關函數(shù) MA （ 1 ） xt = ut + ?1ut 1 若 ?1 0 ， k =1 時有 正峰值然后截尾。 建立時間序列 A R IM A 模型的步驟 1 ． 識別 用相關圖和偏相關圖識別模型形式（確定參數(shù) d, p , q ）。 在學習了第 1 3 章 的知識 后也可以用 DF 、 A D F 檢驗判別隨機過程的平穩(wěn)性。 ARMA模型的識別 12. 6 時間序列模型的建立與預測 A R IM A 過程 一般 表達式 ： ? ( L ) Ddy t = ? + ? ( L ) u t 其中 ? ( L ) 和 ? ( L ) 分別是 p 階 自回 歸和 q 階 移動平均算子。 用生成的序列演示。則過程 xt的期望是 E( xt) = ? / ? ( 1 ) = ? / ( 1 ?1 ?2 … ?p) = ? 期望 ? 和漂移項 ? 的關系 是： ? ( 1 ) ? = ? 過程 ， ? ( L ) xt = ? + ? ( L ) ut 可 以 寫為， ? ( L ) ( xt ? ) = ? ( L ) ut 因為打開 ( xt ? ) ，上式 寫為 ? ( L ) xt = ? ( 1 ) ? + ? ( L ) ut = ? + ? ( L ) ut ，與 原過程 相同。其中 ? ( L ) Dd 稱為 廣義自回歸算子 。 A R M A ( p , q ) 過程的 平穩(wěn)性只依賴于其自回歸部分 ，即 ? ( L ) = 0的 全部根取值在單位圓之外（絕對值大于 1 ）。 i?由 AR(p)模型平穩(wěn)性可知， MA(P)模型具有可逆性的條件是 1。 保證 A R ( p ) 過程平穩(wěn)的一個必要但不充分的條件是 p 個自回歸系數(shù)之和要小于 1 ，即 ??pii1? １ AR(p)模型的平穩(wěn)性條件 1 2 . 2 時間序列模型的分類 例 1 2. 1 有 A R ( 1 ) 過程 xt = xt 1 + ut， 現(xiàn)改寫為 ( 1 L ) xt = ut xt = 1? ut = ( 1 + L + L2 + 0. 2 16 L3 + … ) ut = ut + 0 .6 ut 1 + 6 ut 2 + 0. 2 16 ut 3 + … 平穩(wěn)的 A R ( 1 ) 過程變換成為無限階的移動平均過程。 對于一階自回歸過程 xt = ?1 xt 1 + ut ， 保持其平穩(wěn)的條件是特征方程? ? L ) = ( 1 ?1 L ) = 0 的根的絕對值必須大于 1 ，即滿足 | 1/ ?1 | ? 1 或 | ?1 | 1 。 i j i jt t t i jL L x L x x????滯后算子的零次方等于 1。 對于隨機過程 xt，一階差分可表示為 xt xt 1 = D xt = ( 1 L ) xt = xt L xt 其中 D 稱為一階差分算子 。 ??? ?)( txE ??? 2)( ?txVar ???? 2),( kktt xxCov ?14 數(shù)據的平穩(wěn)性對時間序列分析非常重要，經典的時間序列回歸分析，都是假定數(shù)據是平穩(wěn)的。而在每年中同一時刻（如 t = 2時）的水位紀錄是不相同的。 時間序列分析 方法的發(fā)展過程 ? 基礎 階段 ： ? 1927年， AR模型 ? ， MA模型， ARMA模型 ? 核心 階段 ： ? 1970年，出版 《 Time Series Analysis Forecasting and Control》 ? 提出 ARIMA模型（ Box— Jenkins 模型） ? Box— Jenkins模型 實際上是主要運用于單變量、同方差場合的線性模型 ? 完善 階段 ： ? 異方差場合 ? Robert ， 1982年， ARCH模型 ? Bollerslov， 1986年 GARCH模