人教b版高中數(shù)學選修2-2第1章11第3課時導數(shù)的幾何意義(存儲版)
【正文】 ???－23，4927時，有4 927＝ 4 ????????－23＋ a ， a ＝1 2 127. 當切點為 ( 2 , 3 ) 時，有 3 ＝ 4 2 ＋ a ， a ＝－ 5. ∴ 所求的 a 的值為： ① a ＝1 2 127，切點為????????－23，4927； ② a ＝－ 5 ，切點為 ( 2 , 3 ) . 導數(shù)的幾何意義的綜合應用 求曲線 y ＝ 1x 和 y ＝ x2 在它們交點處的兩條切線與x 軸所圍成的三角形的面積． [ 分析 ] 由題意知，只要求出兩曲線的交點坐標及切線方程，再結合三角形的面積公式就能求出． [ 解析 ] 聯(lián)立兩曲線方程得????? y ＝1x，y ＝ x2，解得????? x ＝ 1 ，y ＝ 1 ， 即交點坐標為 ( 1 , 1 ) ． 曲線 y ＝1x在點 ( 1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 11 ＋ Δ x－11Δ x＝ l i mΔ x → 0 － 11 ＋ Δ x＝－ 1 ， 所以曲線 y ＝1x在點 ( 1 , 1 ) 的一條切線方程為 y － 1 ＝－ ( x － 1) ，即 y ＝－ x ＋ 2. 同理，曲線 y ＝ x2在點 (1 , 1 ) 的切線斜率為 f′ ( 1 ) ＝ l i mΔ x → 0 ? 1 ＋ Δ x ?2－ 12Δ x ＝ l i mΔ x → 0 2Δ x ＋ ? Δ x ?2Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ( 2 ＋ Δ x ) ＝ 2. 所以曲線 y ＝ x2在點 ( 1 , 1 ) 的切線方程為 y － 1 ＝ 2( x － 1) ，即 y＝ 2 x － 1. 兩條切線方程 y ＝－ x ＋ 2 和 y ＝ 2 x － 1 與 x 軸所圍成的圖形如圖所示， 所以 S ＝12 1 (2 －12) ＝34，故三角形的面積為34. [ 方法總結 ] 本題將曲線的切線與求三角形的面積相聯(lián)系，要作出草圖幫助分析三角形的位置，從而順利解題． 曲線 y＝ x3在 x0＝ 0處的切線是否存在 ， 若存在 ， 求出切線的斜率和切線方程；若不存在 ， 請說明理由 ． [ 解析 ] 令 y ＝ f ( x ) ＝ x3， Δ y ＝ f (0 ＋ Δ x ) － f ( 0 ) ＝ Δ x3， Δ yΔ x＝ Δ x2，當 Δ x 無限趨近于 0 時，Δ yΔ x無限趨近于常數(shù) 0 ，這說明割線會無限趨近于一個極限位置，即曲線在 x ＝ 0 處的切線存在，此時切線的斜率為 0(Δ yΔ x無限趨近于 0) ，又曲線過點( 0 , 0 ) ，故切線方程為 y ＝ 0. [ 方法總結 ] ( 1 ) y ＝ x3在點 ( 0 , 0 ) 處的切線是 x 軸，符合切線定義．這似乎與學過的切線知識有所不同，其實不然，直線與曲線有兩個公共點時，在其中一點也可能相切．如圖所示． ( 2 ) 對于曲線在點 x0處的切線有下面的情形：若Δ yΔ x( 當 Δ x 無限趨近于 0 時 ) 的極限不存在時，可分兩種情況：其一是趨近于∞ ，則切線的斜率不存在，但切線存在 ( 為垂直于 x 軸的直線 ) ；其二是Δ yΔ x既不趨近于某一常數(shù)也不趨近于 ∞ ，則此時切線不存在 . 求拋物線 y ＝ x 2 過點 ???? ????52 ， 6 的切線方程． [ 錯解 ] ∵ l i mΔ x → 0 f????????52＋ Δ x － f????????52Δ x＝ l i mΔ x → 0 ????????52＋ Δ x2－????????522Δ x ＝ l i mΔ x → 0 ( 5 ＋ Δ x ) ＝ 5 ， ∴ 拋物線過點??
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