【正文】 ? 上式即為羅伊恒等式，羅伊恒等式刻畫了馬歇爾需求函數(shù)和間接效用函數(shù)之間的關(guān)系。 , A、支出最小化問題的形式 m in. : ( ) ( . )0pxs t u x u 2 6?19 169。 ),( upxx hii ??( , )( , ) ( . )hiiie p ux x p u 2 11p? ????24 169。 ? 證明恒等式 1：見附錄 )],(,[),( mpvpxmpx hii ?),(max),(..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????)),(,(),(..minmpvxxmpvutspxhh ??? ( , ) ( , ( , ) )hx p m x p v p m??28 169。 ( , )hx x x p u?且( 39。39。所以一定有： mmpvpe ?)],(,[ )],(,[),( mpvpxmpx hii ?ix ( p,m)hix [ ,v( p ,m )]i( p,m)hix [ p ,v( p ,m )]e( , ) mmvpe ?)],(,[ ),(max),(**..)(maxmpvumpxxmpxtsxuu?????mmpvpepxmpvpxxmpvutspxhh?????)),(,(min)),(,(),(..min?31 169。對這一問題的分析即為消費者行為的比較靜態(tài)分析，它刻畫了消費者的最優(yōu)消費束隨著價格和收入變動而變動的軌跡。 將一次齊次效用函數(shù)做一個正的單調(diào)變換所得到的效用函數(shù)就是位似效用函數(shù)。 ),( mpx 021 ),( 0021h uppx44 169。 ? 商品自身價格變化的替代效應(yīng)總是小于 0的，即： ? 根據(jù)謝潑德引理有： ，并且對其再次求關(guān)于的微分，可得： ? 因此要證明 ，只要證明 即可，而由于支出函數(shù)是關(guān)于價格的凹函數(shù) (祥見附錄 ) ，因此必有 *( , ) ( , ) ( , )( , ) ( . )hi i iiiix p m x p u x p mx p m 2 13p p m? ? ?? ? ?? ? ?*( , ) , , , , ( . )hiix p u 0 i j 1 n 2 14p? ??? ),(),( upxp upe hii ??? ihi2i2pupxupe???? ),(),( 0puxihi ??),( * 0pupe2i2 ?? ),( 0pp2i2 ??? ),48 169。一般有： ? 若自變量（ X）只發(fā)生微小的變化，即 X→0 ，則： Y Δ Y Y Δ Y XεX Δ X X Δ X Y? ? ?因變量（ ）變化的百分比自變量（ ）變化的百分比ΔX 0 ΔX 0Δ Y Y Δ Y X dY Xε li m li mΔ X X Δ X Y dX Y??? ? ?51 169。 , B、古諾加總規(guī)則 ? 對于馬歇爾需求函數(shù)有： （ 1,2… ），這一等式關(guān)系就是所謂的古諾加總規(guī)則。 :14:0705:14Mar2310Mar23 ? 1故人江海別，幾度隔山川。 , March 10, 2023 ? 很多事情努力了未必有結(jié)果，但是不努力卻什么改變也沒有。 2023年 3月 10日星期五 5時 14分 7秒 05:14:0710 March 2023 ? 1空山新雨后，天氣晚來秋。 2023年 3月 10日星期五 上午 5時 14分 7秒 05:14: ? 1最具挑戰(zhàn)性的挑戰(zhàn)莫過于提升自我。勝人者有力，自勝者強。 。 2023年 3月 10日星期五 5時 14分 7秒 05:14:0710 March 2023 ? 1做前，能夠環(huán)視四周；做時，你只能或者最好沿著以腳為起點的射線向前。 , March 10, 2023 ? 雨中黃葉樹，燈下白頭人。 , A、恩格爾加總規(guī)則 ? 為消費者在商品 i上花費的消費支出占其總收入的比重，即： ，顯然， 。 , 交叉價格效應(yīng)及其對稱性 ? 交叉價格效應(yīng)： ? 交叉價格替代效應(yīng)的對稱性 ? 等式（ ）的證明：見附錄 ( , ) ( , * ) ( , )( , ) ( . )hi i ijjjIETE SEx p m x p u x p mx p m i j 2 16p p m? ? ?? ? ? ?? ? ?交叉價格交叉價格( , )( , ) , , , ( . )hh jijix p ux p u i j 1 n 2 17pp?? ????50 2023/3/10 169。 , B、關(guān)于斯盧茨基方程的幾點說明 ? 自價格效應(yīng) ? 斯盧茨基方程對需求法則的修正 ? 交叉價格效應(yīng)及其對稱性 47 169。 43 169。 , u x x12? ??（ 4）位似偏好的、和 40 169。 , 對偶原理的圖示 圖 2－ 3 對偶原理的流程圖 解出反函數(shù) u 馬歇爾需求函數(shù) x(p,m) ?？怂剐枨蠛瘮?shù) 代入目標函數(shù) 羅伊恒等式 代入目標函數(shù) 謝潑德引理 支出函數(shù) e(p,u) 解出反函數(shù) m 間接效用函數(shù) v(p,m) ( , )hx pu代入 m=e(p,u) mxptsxu??..)(maxuxuts xp ??)(..min34 169。 , C、恒等式 3 ： ? 恒等式 3說的是，價格為 p、效用水平為 v()（即在價格為 p且收入為 m情況下所獲得的最大效用）時的最小支出恰好等于 m； ? 證明：根據(jù)恒等式 1： ，這說明 和 屬于同一個消費束，因此它們對應(yīng)的收入（支出）水平是相同的。 ) 。 )],(,[),( upepxupx ihi ?( , )hx u ( , ) ( , )hm px p u e p u??( , )hx p u39。 , 幾個重要恒等式 如果效用函數(shù)是嚴格單調(diào)和連續(xù)的，且消費者效用極大化和支出最小化問題均有解，則我們可以發(fā)現(xiàn)下面四個恒等關(guān)系式： 恒等式 1： 恒等式 2： 恒等式 3： 恒等式 4： )],(,[),( mpvpxmpx hii ? )],(,[),( upepxup ihi ? mmpvpe ?)],(,[ uupepv ?)],(,[馬歇爾需求函數(shù) 與希克斯需求函數(shù)的對偶關(guān)系 間接效用函數(shù)與支出函數(shù)的對偶關(guān)系 27 169。 23 169。 支出最小化問題與?？怂剐枨蠛瘮?shù) 支出函數(shù)及其性質(zhì) ?？怂剐枨蠛瘮?shù)與支出函數(shù)的關(guān)系：謝潑德引理 17 169。 , 性質(zhì) 5的證明： ? 即要證明，對于所有的 a， 是一個凸集 ? 假設(shè) p1和 p2滿足 ? 定義預(yù)算集： ? ? 可以斷言： ，若不然，存在某個 x：