北京交通大學(xué)劉曉分布擬合檢驗(存儲版)
【正文】 ： 15 例 有1 0 0 0人按性別和是否色盲分類如下： 男 女 正常 4 4 2 5 1 4 色盲 38 6 按照遺傳學(xué)模型，這些數(shù)字應(yīng)有下列相對的概率： 2,2,2,222qqpqpp?， 其中pq ?? 1． 問數(shù)據(jù)是否與模型相符合？ 16 本題所要檢驗的假設(shè)為 0H： ? ?? ?212,212,122,222432221pqppqpppppqpppp???????????? 其中4321 , pppp分別為男性正常，女性正常，男性色盲，女性色盲的概率．由于? ?ppp ii ?依賴于未知參數(shù)p，所以衡量實際頻數(shù)與理論頻數(shù)的偏差的綜合指標(biāo) ? ??? ????ri iiipnpnn122? 中含有未知參數(shù)p，因此它不能作為檢驗統(tǒng)計量，我們必須對它進(jìn)行修改， 17 一個很自然的做法就是將上式中的ip用它的估計量ip?來替 代．為此，我們首先求出參數(shù)p的極大似然估計量p?，并由此得到ip的估計量? ?ppp ii ?? ?．然后將此代入上式，得統(tǒng)計量 ? ??? ????ri iiipnpnn122???． 18 顯然， 它也可以用來衡量實際頻數(shù)與理論頻數(shù)的偏差，也就是數(shù)據(jù)與模型的偏差的綜合指標(biāo)．現(xiàn)在的問題是，當(dāng)??n時，它的極限分布是否仍是2?分布？假如仍是2?分布，其自由度是否仍是 1?r ？英國著名的統(tǒng)計學(xué)家 R . A .F i s h e r 解決了這個問題，從而推廣了2?統(tǒng)計量的極限定理． 19 根據(jù)某項指標(biāo)，總體被分成 r 類： rAAA , 21 ?． 設(shè)類iA所占的比例為ip， ? ?ri ,2,1 ??．這里 ? ?mii pp ??? , 21 ?? 依賴于m個未知參數(shù)m??? , 21 ?． 20 如果j?的極大似然估計量為j??， ? ?mj ,2,1 ??．那么 ? ?? ?1??2122??????? ??mrpnpnn Lri iii??． 其中? ?mii pp ??? ?,?,?? 21 ??，? ?ri ,2,1 ??． 21 此時，顯著性檢驗問題 0H：類iA所占的比例為? ?mii pp ??? , 21 ??， ? ?ri ,2,1 ??． 的顯著性水平近似等于?的檢驗的拒絕域為 ? ? ? ?? ?1:, 212211 ???? ? mrxxxW n ????． 22 例 在上述色盲與性別的問題中，似然函數(shù)為 ? ?? ? ? ?62385 1 44 4 22121222 ???????? ???????? ???????? ?????????ppppppL ? ? ? ? 505 1 49 5 61 0 0 01221ppp ???， 由似然方程? ?0?dppdL，得p的極大似然估計值為 ?p， 23 從而得諸ip的估計值ip?，? ?4,3,2,1?i分別為 0 0 4 0 ,4 9 5 9 ,． 由1000638514442 ?????n知理論頻數(shù)分別為 ,45,455． 24 取??，由于 4?r ，1?m，所以? ? ? ? 9 9 2 ????? ?? ? mr，因此檢驗的拒絕域為 ? ?? ?:, 2211 ?? ?nxxxW ?． 而我們所觀察到的實際頻數(shù)分別為6,38,5 1 4,4 4 2，由此算得2?統(tǒng)計量的值為 ? ? ? ? ? ? ? ?45453845545544222222??????????． 25 由于? ? ? ? 2 ?????? ?? ? mr，所以不拒絕0H，可以認(rèn)為 關(guān)于色盲與性別 的 觀察數(shù)與遺傳學(xué)模型是相符合的 ． 26 三、分布擬合的檢驗 27 設(shè)? ?nXXX , 21 ?是取自總體? ?xFX ~中的一個樣本，需要檢驗的原假設(shè)為 0H：總體分布函數(shù)為? ?xF 0． 其中? ?xF 0稱為理論分布．它可以是一個完全已知的分布，也可以是一個僅依賴于有限個實參數(shù)且具體數(shù)學(xué)形式已知的分布函數(shù)．這個分布檢驗問題就是檢驗數(shù)據(jù)是否與理論分布相符合．在樣本容量較大時，這個問題可用分類數(shù)據(jù)的2?檢驗來解決．這時的2?檢驗稱為分布擬合的2?檢驗． 28 1 、總體 X 為離散型隨機(jī)變量 29
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